高三数学《三角函数图象与性质》知识点总结
1.周期函数
(1)周期函数的定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
3.解题方法
1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω0)的形式,再根据三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内.
注意区分下列两种形式的函数单调性的不同:
(1)y=sin(ωx-π/4);(2)y=sin(π/4-ωx).
2.周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x+T)=f(x),其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个x值不满足f(x+T)=f(x),都不能说T是函数f(x)的周期.
3.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
4.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:
(1)利用sinx、cosx的值域;
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2));
(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助教师能够井然有序的进行教学。写好一份优质的教案要怎么做呢?以下是小编为大家收集的“高三数学三角函数的图象解析式”仅供您在工作和学习中参考。
一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,2.会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解Aω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二.建构知识网络1.三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:"若0
三角函数的图象与性质概念辨析
画出,y=cosx在上的图像是本单元的重中之重,同学们不仅会用单位中的函数线画,而且会特殊角三角函数值列出“十三”个点或“五点法”,还要会徒手描出示意图,才能实现看图说性质想图说性质无图也能说性质的熟练程度.这里蕴含着以下几个问题.
1.作图的基本方法是描点法,用单位圆中的三角函数线画图实质上是列表的(十三点)一个方法,它与“十三点”法的区别只在于“十三点法”的函数值是用数给出,而单位圆法中的函数值是用有向线段的数量给出.在画,y=cosx的图像时,都借助了函数的周期性,在取点时,注意研究了函数曲线的存在范围,特殊点,变化趋势,对称性,一定要取到最大值点,最小值点,零点.这些常规方法一走要讲清.
2.画的图像时,难点在列出“五个点”,这五个恰好又是同一周期的五个特殊点:三个零点,一个最大值点,一个最小值点,以为例.
令t=,则u=sint,首先列出u=sint的“老五点”
t0
010-10
Y=2sin
020-20
上面方法的核心是用换元的思想根据的“老五点”列出了y=2sin()图像上的五点.这里体现了如何将一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题的转化思想,同时也在告诉同学们,我们总是用已知的知识去解决未知的问题,进一步体会到简单与复杂.未知与已知之间的对立、统一的辨证关系.为了给同学更大的思维空间.教师最好不直接告诉同学们如何列出在一个周期内的五个特殊点?这样对培养学生的转化能力是有益的.
3.在讲周期函数概念过程中注意培养学生的抽象概括能力.学生自己抽象概括出周期函数的定义是不现实的,但我们不能因此就放弃培养学生抽象概括能力的机会.可考虑如下进行:
(1)通过对一类事物的观察发现,抽象出该类事物的共同的本质属性.
问题1:请观察下列函数值随着变量变化时,其函数值的变化的共性是什么?
①
②
③
④在数列中,对一切nN都有
发现其共性是:函数值是随自变量周而复始地变化.
(2)第二步是将上述粗浅的认识进一步数学化,精确化,这里的关键是请同学注意如何用数学语言刻画“函数值随自变量周而复始地变化”.首先四个函数都存在一个不为零的常数T,①2#②2#③2#④6#,第二将这个常数加到定义域中的任意一个自变量上,其函数值就重复出现,即永远成立,于是得出周期函数的精确的数学定义;
对于给定的函数,定义域为M,如果存在一个不为零的常数T,对于M中的任意一个x的值,必有X+TM,使得永远成立,那么函数叫做周期函数,其中不为零的常数T就叫做周期函数的周期.
(3)第三步是进一步理解定义
①函数的周期性是揭示了函数值随自变量周而复始的变化的属性,如果我们认识到了函数的周期性,在研究函数性质时,只须研究该函数在一个周期内的性质,就可以了解该函数在整个定义域上的性质.
②如果一个周期函数y=的周期为T,显然KT(KZ)也是周期.但从研究函数性质而言,我们感兴趣的,也是最有实用价值的是诸周期中最小的正周期.
③根据周期函数定义判断一个函数是否是周期函数,关键是找到一个T(),使得对定义域中的任意一个x,均成立.
4.讲已知三角函数值求角时时可考虑利用单位圆中的三角函数线,用数形结合的思想,先画出角的终边,再写出所求的角,并且先求通解,后求特解更好接受.
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三角函数的图象和性质变式
1.三角函数图象变换:
将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
变式1:将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
解:(1)先将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍(横坐标不变),即可得到函数的图象;
(2)再将函数上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象;
(3)再将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.
变式2:将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
解:(1)先将函数图象上各点的纵坐标缩小为原来的(横坐标不变),即可得到函数的图象;
(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
(3)再将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.
变式3:将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
解:
另解:
(1)先将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象;
(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
(3)再将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数的图象.
2.三角函数性质
求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合.
(1);(2)
变式1:已知函数在区间上的最小值是,则的最小值等于()
(A)(B)(C)2(D)3
答案选B
变式2:函数y=2sinx的单调增区间是()
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
答案选A.因为函数y=2x为增函数,因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.
变式3:关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在,使f(x)是奇函数;
④对任意的,f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。
答案:①,kπ(k∈Z);或者①,+kπ(k∈Z);或者④,+kπ(k∈Z)
解析:当=2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx是奇函数.当=2(k+1)π,k∈Z时f(x)=-sinx仍是奇函数.当=2kπ+,k∈Z时,f(x)=cosx,或当=2kπ-,k∈Z时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
文章来源:http://m.jab88.com/j/105352.html
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