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专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
阶段质量评估（二）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．已知向量均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于（）
A．B．C．D．4
2．已知为第三象限角，则所在的象限是（）
A．第一或第二象限B.第二或第三象限
C.第一或第三象限D.第二或第四象限
3．函数的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．（）
A．B．C．D．
5．在中，，则（）
（A）（B）（C）（D）
6．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
7．函数是（）
A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
8．设数，则下列结论正确的是（）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．把的图象向右平移个单位，得到一个奇函数的图象
D．的最小正周期为上为增函数
9．已知中，的对边分别为，，，则（）
A.2B．4＋C．4—D．
10．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（）
A.B.
C.D.
11．已知平面内任一点O满足则“”是“点P在直线AB上”的（）
A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．将函数的图象向左平移m个单位（m0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．设向量，若向量与向量共线，则实数=。
14．已知=2，则的值为．
15．在锐角中，则的值等于，
的取值范围为.
16．在ABC中，已知，且，
则ABC的形状是。

三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．(本小题12分)已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（II）求函数的零点的集合。

18．(本小题12分)设函数，，，
且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．m.jAb88.COM

19．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.

20．（本小题满分12分）
已知A、B、C是△ABC三内角，向量
（1）求角A的大小；
（2）若AB+AC=4，求△ABC外接圆面积的取值范围。

21．(本小题满分12分)已知函数，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求k的取值范围.

22．(本小题满分14分）向量满足，.
(1)求关于k的解析式；
(2)请你分别探讨⊥和∥的可能性,若不可能,请说明理由,若可能,求出k的值；
(3)求与夹角的最大值.
参考答案
一、选择题
1．【解析】选A
2．【解析】选D.
3．【解析】选B.
4．【解析】选C..
5．【解析】选A.
6．【解析】选B因为=（2，4），=（1，3），
所以
7．【解析】选A.因为为奇函数,,所以选A.
8．【解析】选C.因为的图像的对称中心在X轴上，对称轴对应的函数值为最值，
又。所以A、B不正确；对于C：把的图象向右平移个单位，则为奇函数。故C正确。
9．【解析】选A.
由可知,,所以,
由正弦定理得,故选A
10．答案：C
11．【解析】选C根据平面向量基本定理知：且
P在直线AB上.
12．【解析】选A.，
二、填空题
13．【解析】因为，所以因向量与向量共
线，所以
答案：2
14．【解析】∵tan=2,∴;
所以==.
答案：
15．【解析】设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
所以
答案：2
16．答案：等边三角形
三、解答题
17.解析:【命题立意】考查三角函数的基本公式和基本性质.
【思路点拨【首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式，再考查三角函数的基本性质.
【规范解答】（1）因为f(x)=
=2sin(2x+,
所以，当2x+=2k,即x=k
（2）方法1由(1)及f(x)=0得sin(2x+,所以
2x+
故函数f(x)的零点的集合为{x|x=k.
方法2由f(x)=0得2
由sinx=0可知x=k
故函数f(x)的零点的集合为{x|x=k.
【方法技巧】1、一般首先利用三组公式把散形化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式.一组是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二组是诱导公式和基本关系式.三组是倍角公式、半角公式和两角和公式的逆运算.2、考查基本性质，包括单调性、周期性、对称性和函数值域等.
18.解析:【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.
【思路点拨】（2）由已知条件求出，从而求出的解析式；
（3）由
【规范解答】（1）
（2），，所以的解析式为：
（3）由得，即
，
【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解.
19.解析：（Ⅰ）因为，，
所以.
由已知得.
所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以且.
由正弦定理得.
又因为，
所以，.
所以.
20.解析：（1）
即
（2）由（1）得
当且仅当AB=AC=2时上式取“=”
又
………………10分
设△ABC外接圆半径为R，
则
∴△ABC外接圆面积的取值范围是
21.【解析】（Ⅰ）.
据题意，，即，所以，即.
从而，故.
（Ⅱ）因为，，则
当时，.
据题意，，所以，解得.

22.解析:(1)由已知有,
又∵,则可得
即.
(2)∵,故与不可能垂直.
若∥,又,则与同向,
故有.
即,又,故
∴当时,∥.
(3)设,的夹角为,则
当,即时,,
又,则的最大值为.
注:此处也可用均值不等式或导数等知识求解.

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2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。那么，你知道教案要怎么写呢？下面的内容是小编为大家整理的2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案，但愿对您的学习工作带来帮助。

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第二讲三角变换与解三角形
【最新考纲透析】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

【核心要点突破】
要点考向1：三角变换及求值
考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。
3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。
考向链接：1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1）；
（2）角的变换；
（3）。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数R)的值域
解析：（Ⅰ）由题意得mn=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
要点考向2：正、余弦定理的应用
考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。
2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。
3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。
考向链接：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010辽宁高考理科Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要点考向3：三角函数的实际应用
考情聚焦：1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。
2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。
3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。
例3：（2010江苏高考Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。
故所求的是m。

【高考真题探究】
1．（2010福建高考文科Ｔ2）计算的结果等于（）
A.B.C.D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B，。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，的逆用公式为“降幂公式”，即为，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。
2．（2010海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则=.
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设，则，由的面积为可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
3．（2010天津高考理科Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=()
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
4．（2010北京高考理科Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。
【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。
【规范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5．（2010天津高考理科Ｔ１7）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，
【规范解答】（1）由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知又因为，所以
由，得从而
所以
6．（2010陕西高考理科Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形
【规范解答】
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．（2010届山东省实验高三一诊（文））已知点在第四象限,则角的终边在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若，则的值为()
A．B．C．D．
3．函数的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（2010届广东高三六校联考（理））如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝（）
A．2B．5C．4D．1

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于_____
8．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____．
9.已知△ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则A=_______.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．（本小题满分12分）已知．
（1）求；
（2）求的值．
11．已知函数的最小正周期为.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.
12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】选A.依题意，画出图形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=COcos∠DCO
=cos（π-2θ）=-cos2θ，
过O作OH⊥AC于H点，则
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又A是三角形的内角,∴A=.
答案：
10．解析：（1），
（2）原式＝
=．

11．解析:（1）
当时，
当时，取得最大值为，最小值为
（2）令，得
当时，，当时，，满足要求的对称中心为
12．解析：（1）由及正弦定理得，
……………………………………3分
是锐角三角形，……………………………………6分
（2）解法1：由面积公式得
……………………9分
由余弦定理得
由②变形得……………………………………12分
解法2：前同解法1，联立①、②得
……………………………………9分
消去b并整理得解得
所以故……………………………………12分

【备课资源】

2015届高考数学（文科）一轮总复习三角函数、解三角形

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编为大家整理的“2015届高考数学（文科）一轮总复习三角函数、解三角形”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

第四篇三角函数、解三角形
第1讲弧度制及任意角的三角函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第________象限角．
解析∵sinα＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案三
2．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于________．
解析设圆的半径为r，由题意知rsin12＝1，
∴r＝1sin12，∴弧长l＝αr＝1sin12.
答案1sin12
3．(2014苏中联考)若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．
解析由题意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.
答案2π5，9π10，7π5，19π10
4．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
解析由sin3π4＞0，cos3π4＜0知角θ是第四象限的角，
∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
答案7π4
5．有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.
其中正确的命题是________．
解析①正确，②不正确，
∵sinπ3＝sin2π3，而π3与2π3角的终边不相同．
③不正确．sinα＞0，α的终边也可能在y轴的正半轴上．
④不正确．在三角函数的定义中，cosα＝xr＝xx2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．
答案①
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝______.
解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案－8
7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα＝____.

解析因为A点纵坐标yA＝45，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35.
答案－35
8．函数y＝2cosx－1的定义域为________．
解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．
答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)
二、解答题
9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α180°的元素α写出来．
解(1)①S＝{α|α＝60°＋k360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝k360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α180°的元素α为－60°，120°.
10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解(1)设圆心角是θ，半径是r，则
2r＋rθ＝10，12θr2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．
∴扇形的圆心角为12.
(2)设圆的半径为rcm，弧长为lcm，
则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.
∴圆心角α＝lr＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．
解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有3a－9≤0，a＋2＞0，解得－2＜a≤3.
答案(－2,3]
2．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题是________．
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－10时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案③
3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝________.
解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.
答案0
二、解答题
4．已知sinα＜0，tanα＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求α2终边所在的象限；
(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．
解(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合为
α|2k＋1π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.
(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋3π2，
得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，
故α2终边在第二、四象限．
(3)当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，
所以tanα2sinα2cosα2取正号；
当α2在第四象限时，tanα2＜0，sinα2＜0，cosα2＞0，
所以tanα2sinα2cosα2也取正号．
因此，tanα2sinα2cosα2取正号.

解三角形

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是小编为大家整理的“解三角形”，仅供参考，大家一起来看看吧。

第九课时§2.3。4解三角形应用举例（四）
一、教学目标
1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
二、教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB，h=csinA=asinC，h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.探析新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，=，c=，S=bcsinA=b
A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
S=3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得cosB==≈0.7697
sinB=≈≈0.6384应用S=acsinB，得
S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB==≈0.7532，sinB=0.6578应用S=acsinBS≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设===k，显然k0，所以
左边===右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
Ⅲ.课堂练习：课本练习第1、2题
Ⅳ.课时小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业：课本习题2-3A组第12、14、15题
五、教后反思：

2017届高考数学考前回扣教材-三角函数、平面向量

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，减轻高中教师们在教学时的教学压力。关于好的高中教案要怎么样去写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“2017届高考数学考前回扣教材-三角函数、平面向量”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

回扣3三角函数、平面向量
1.准确记忆六组诱导公式
对于“kπ2±α，k∈Z”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.
2.同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0).
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
(2)cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ.
(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1tanαtanβ.
(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba).
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα.
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.
5.三种三角函数的性质
函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx
图象
单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增
对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)
对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)

6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)的图象
(1)“五点法”作图：
设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.
(3)图象变换：
y＝sinx――――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)
――――――――――――→横坐标变为原来的1ωω0倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)
――――――――――――→纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ).
7.正弦定理及其变形
asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
8.余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.
9.面积公式
S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.
10.解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.
(4)已知三边，利用余弦定理求解.
11.平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则ab＝|a||b|cosθ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab＝x1x2＋y1y2.
12.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0.
13.利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝aa＝x2＋y2.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
14.利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝ab|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.
15.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA.
(2)O为△ABC的重心OA→＋OB→＋OC→＝0.
(3)O为△ABC的垂心OA→OB→＝OB→OC→＝OC→OA→.
(4)O为△ABC的内心aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω0时，需把ω的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为φω，而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.
7.ab0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；
ab0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.
1.2sin45°cos15°－sin30°的值等于()
A.12B.22C.32D.1
答案C
解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32.故选C.
2.要得到函数y＝sin2x的图象，可由函数y＝cos(2x－π3)()
A.向左平移π6个单位长度得到
B.向右平移π6个单位长度得到
C.向左平移π12个单位长度得到
D.向右平移π12个单位长度得到
答案D
解析由于函数y＝sin2x＝cos(π2－2x)＝cos(2x－π2)＝cos[2(x－π12)－π3]，所以可由函数y＝cos(2x－π3)向右平移π12个单位长度得到函数y＝sin2x的图象，
故选D.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()
A.3B.932C.332D.33
答案C
解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①
∵C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①和②得ab＝6，
∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332，
故选C.
4.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是()
A.3B.1＋2C.2D.2(tan18°＋tan27°)
答案C
解析由题意得，tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，
即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1，
所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，
所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2，故选C.
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定
答案B
解析∵bcosC＋ccosB＝asinA，
∴sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝1，∴A＝π2，三角形为直角三角形.
6.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是()
A.锐角B.钝角C.直角D.不确定
答案A
解析∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角，∴A＋Bπ2，即Aπ2－B0，∴sinAsin(π2－B)＝cosB，
∴pq＝sinA－cosB0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角.
7.f(x)＝12sin(2x－π3)＋32cos(2x－π3)是()
A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数
答案C
解析f(x)＝12sin(2x－π3)＋32cos(2x－π3)＝sin(2x－π3＋π3)＝sin2x，是最小正周期为π的奇函数，故选C.
8.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，|b|＝12|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为()
A.0B.π4C.2π3D.π
答案D
解析|b|＝12|a|＝52，而(a＋2b)(2a－b)＝02a2－2b2＋3ba＝0ba＝－52，从而cos〈b，a〉＝ba|b||a|＝－1，〈b，a〉＝π，故选D.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：
①若ABC，则sinAsinBsinC；
②若cosAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC为等边三角形；
③若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；
④若(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则△ABC为钝角三角形；
⑤存在A，B，C使得tanAtanBtanCtanA＋tanB＋tanC成立.
其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号).
答案①②④
解析若ABC，则abcsinAsinBsinC；
若cosAa＝cosBb＝cosCc，则cosAsinA＝cosBsinBsin(A－B)＝0A＝Ba＝b，同理可得a＝c，所以△ABC为等边三角形；若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△ABC为等腰或直角三角形；若(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则tanA＋tanB＝1－tanAtanB，因此tan(A＋B)＝1C＝3π4，△ABC为钝角三角形；在△ABC中，tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC恒成立，
因此正确的命题为①②④.
10.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sinA＝________.
答案817
解析由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，所以sinA＋4cosA＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－sinA4)2＝1，sinA＝817(0舍去).
11.若tanθ＝3，则cos2θ＋sinθcosθ＝________.
答案25
解析∵tanθ＝3，
∴cos2θ＋sinθcosθ＝cos2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝1＋tanθtan2θ＋1＝1＋332＋1＝25.
12.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c＝ta＋(1－t)b，则实数t的值为________.
答案1或0
解析c＝ta＋(1－t)bc2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1t＝0或t＝1.
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(A＋C).
(1)求角B的大小；
(2)求函数f(x)＝2sin2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值.
解(1)由已知，bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，
即sinBcosA＝－(2sinC＋sinA)cosB，
即sin(A＋B)＝－2sinCcosB，
则sinC＝－2sinCcosB，
∴cosB＝－12，即B＝2π3.
(2)f(x)＝2sin2x＋sin2xcos2π3－cos2xsin2π3
＝32sin2x－32cos2x＝3sin(2x－π6)，
即x＝π3＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3.
14.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f(A)＝1，b＝2，c＝3，求a的值.
解(1)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，
所以f(x)的最小正周期为π.
由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，
得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z).
(2)由题意知f(A)＝2sin(2A－π4)＝1，
sin(2A－π4)＝22，
又∵A是锐角，
∴2A－π4＝π4，
∴A＝π4，
由余弦定理得a2＝2＋9－2×2×3×cosπ4＝5，
∴a＝5.

文章来源：http://m.jab88.com/j/51704.html

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