一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编为大家整理的“2015届高考数学（文科）一轮总复习三角函数、解三角形”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

第四篇三角函数、解三角形
第1讲弧度制及任意角的三角函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第________象限角．
解析∵sinα＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案三
2．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于________．
解析设圆的半径为r，由题意知rsin12＝1，
∴r＝1sin12，∴弧长l＝αr＝1sin12.
答案1sin12
3．(2014苏中联考)若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．
解析由题意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.
答案2π5，9π10，7π5，19π10
4．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
解析由sin3π4＞0，cos3π4＜0知角θ是第四象限的角，
∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
答案7π4
5．有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.
其中正确的命题是________．
解析①正确，②不正确，
∵sinπ3＝sin2π3，而π3与2π3角的终边不相同．
③不正确．sinα＞0，α的终边也可能在y轴的正半轴上．
④不正确．在三角函数的定义中，cosα＝xr＝xx2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．
答案①
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝______.
解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案－8
7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα＝____.

解析因为A点纵坐标yA＝45，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35.
答案－35
8．函数y＝2cosx－1的定义域为________．
解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．
答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)
二、解答题
9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α180°的元素α写出来．
解(1)①S＝{α|α＝60°＋k360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝k360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α180°的元素α为－60°，120°.
10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解(1)设圆心角是θ，半径是r，则
2r＋rθ＝10，12θr2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．
∴扇形的圆心角为12.
(2)设圆的半径为rcm，弧长为lcm，
则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.
∴圆心角α＝lr＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．
解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有3a－9≤0，a＋2＞0，解得－2＜a≤3.
答案(－2,3]
2．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题是________．
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－10时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案③
3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝________.
解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.
答案0
二、解答题
4．已知sinα＜0，tanα＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求α2终边所在的象限；
(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．
解(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合为
α|2k＋1π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.
(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋3π2，
得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，
故α2终边在第二、四象限．
(3)当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，
所以tanα2sinα2cosα2取正号；
当α2在第四象限时，tanα2＜0，sinα2＜0，cosα2＞0，
所以tanα2sinα2cosα2也取正号．
因此，tanα2sinα2cosα2取正号.

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2012届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习教案

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“2012届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习教案”，仅供参考，希望能为您提供参考！

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：
1．掌握三角函数的概念、图象与性质；熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式，且会推导掌握它们之间的内在联系。掌握正弦、余弦定理，平面向量及有关的概念，向量的数量积以及坐标形式的运算。
2．熟练掌握解决以下问题的思想方法
本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论（如对正弦、余弦函数的图象的对称轴经过最高点或最低点，对称中心为三角函数值为零的点，应熟练的写出对称轴的方程及对称中心的坐标；应用三角函数线解三角方程、比较三角函数值的大小；对三角函数的角的限制及讨论；常数1的代换等）。
3．特别关注
（1）与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题；
（2）向量、解三角形以及三角函数的图象与性质等知识交汇点命题；
（3）与测量、距离、角度有关的解三角形问题。

第一讲三角函数的图象与性质

【最新考纲透析】
1．了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
2．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
3．能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。
4．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，]的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性。
5．理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.
6．了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。
7．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1：三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用
考情聚焦：1．三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用，在近几年高考中时常出现。
2．该类问题出题背景选择面广，易形成知识交汇题。
3．多以选择题、填空题的形式出现，属于中、低档题。
考向链接：1．三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。
2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。
例1：（2010届日照五莲一中高三段检）如图，以Ox为始边作角α与β（），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（，）
（1）求的值；
（2）若，求。
解：（1）由三角函数定义得，
∴原式
（）=
（2），∴
∴，∴

要点考向2：函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象问题
考情聚焦：1．三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式的问题，年看都会在高考中出现。
2．试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下，求解析式或另处一些量。多数考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。
3．三种题型都有可能出现，属于中、低档题。
考向链接：1．已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法。由图中的最大、最小值求出A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ的值。
2．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为，其他依次类推即可。
例2：已知是实数，则函数的图象不可能是()
【解析】选D.对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，
它的振幅大于1，但周期反而大于了．
要点考向3：与三角函数的性质有关的问题
考情聚焦：1．有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查，是高考考查的重点内容。
2．试题背景呈现多样性、选择面广，往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。
3．三种题型都有可能出现，属中、低档题。
例3：已知函数
⑴求的最小正周期及对称中心；
⑵若，求的最大值和最小值.
【解析】⑴
∴的最小正周期为，
令，则，
∴的对称中心为；
⑵∵∴∴∴
∴当时，的最小值为；当时，的最大值为

【高考真题探究】
1．（2010陕西高考理科Ｔ3）对于函数，下列选项中正确的是（）
（A）在（，）上是递增的（B）的图像关于原点对称
（C）的最小正周期为2（D）的最大值为2
【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。
【思路点拨】是奇函数B
【规范解答】选B因为，所以是奇函数，因而的图像关于原点对称，故选B
2．（2010全国卷Ⅰ理科Ｔ2）记,那么
A.B.-C.D.-
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.
【思路点拨】由及求出，再利用公式
求出的值.
【规范解答】选B.【解析1】,
所以
【解析2】，
.
3．（2010重庆高考文科Ｔ１5）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第i段弧所对的圆心角为（i=1,2,3），则
【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.
【规范解答】作三段圆弧的连心线，连结一段弧的两个端点，如图所示,△是正三角形，点P是其中心，根据圆的有关性质可知，第i段弧所对的圆心角为都是，
所以
【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答.
4．（2010福建高考文科Ｔ１0）将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）
A.4B.6C.8D.12
【命题立意】本题考查三角函数的图像平移，解三角方程。
【思路点拨】先进行平移后，再比较与原函数的差异，解三角方程，或采用代入法求解。
【规范解答】选B，把向左平移个单位得，
又该函数图像与原函数图像重合，所以恒成立，，，所以k不可能为6。
【方法技巧】注意应把变为而非。图像的变换问题，依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减，上加下减”即可解决。一般地，函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到。
5．（2010广东高考文科Ｔ16）设函数，，，
且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．
【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.
【思路点拨】（2）由已知条件求出，从而求出的解析式；
（3）由
【规范解答】（1）
（2），，所以的解析式为：
（3）由得，即
，
【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解.
6．（2010湖北高考文科Ｔ16）已经函数
(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变化得出？
（Ⅱ）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合。
【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】(Ⅰ)先将函数解析式等价变形为的形式，再与的表达式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。
（Ⅱ）将函数变形为或的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。
【规范解答】(Ⅰ)，所以要得到的图象只需把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可。
（Ⅱ），
当且仅当时取得最小值，此时对应的的集合为。
【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到或的形式（两函数所用三角函数要同名），然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。
2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到或的形式，然后结合三角函数的图像和性质求解。

【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1.已知△ABC中，，则（）
(A)(B)(C)(D)
2.下列关系式中正确的是（）
A．B．
C．D．
3.已知，那么角是（）
Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角
4．已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）
（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位
5．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（，0）对称，则的最小值是（）
A．B．C．D．
6．已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是()
（A）（B）
（C）（D）

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．若，则.
8．（2010苏、锡、常、镇四市高三调研）函数的最小正周期为．
9．函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则=.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．(本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
11．（2010广州高三六校联考）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由.
12．已知向量
（1）若求x的值；
（2）函数，若恒成立，求实数c的取值范围．

参考答案
一、选择题
1．【解析】选D.由知A为钝角，cosA0排除A和B，再由选D.

2．【解析】选C.因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即.

3．【解析】选C.

4．【解析】选C.方法1：
方法2：
故选C。

5．【解析】选A.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为
，
由
令

6．【解析】选C.，由题设的周期为，∴，
由得，，故选C
二、填空题
7．【解析】由题意可知在第三象限，∴，
答案：

8．答案：

9．【解析】因为，，所以.
答案：3

三、解答题
10．【解析】（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.
（2）∵，，∴，
∴，
∴.

11．【解析】（1）由图象知
的最小正周期,故
将点代入的解析式得,又,∴
故函数的解析式为
(2)
，
故为偶函数.

12．解析：（1）
由
因此
（2）
则恒成立，得

【备课资源】

解三角形

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是小编为大家整理的“解三角形”，仅供参考，大家一起来看看吧。

第九课时§2.3。4解三角形应用举例（四）
一、教学目标
1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
二、教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB，h=csinA=asinC，h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.探析新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，=，c=，S=bcsinA=b
A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
S=3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得cosB==≈0.7697
sinB=≈≈0.6384应用S=acsinB，得
S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB==≈0.7532，sinB=0.6578应用S=acsinBS≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设===k，显然k0，所以
左边===右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
Ⅲ.课堂练习：课本练习第1、2题
Ⅳ.课时小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业：课本习题2-3A组第12、14、15题
五、教后反思：

2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。那么，你知道教案要怎么写呢？下面的内容是小编为大家整理的2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案，但愿对您的学习工作带来帮助。

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第二讲三角变换与解三角形
【最新考纲透析】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

【核心要点突破】
要点考向1：三角变换及求值
考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。
3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。
考向链接：1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1）；
（2）角的变换；
（3）。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数R)的值域
解析：（Ⅰ）由题意得mn=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
要点考向2：正、余弦定理的应用
考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。
2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。
3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。
考向链接：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010辽宁高考理科Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要点考向3：三角函数的实际应用
考情聚焦：1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。
2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。
3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。
例3：（2010江苏高考Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。
故所求的是m。

【高考真题探究】
1．（2010福建高考文科Ｔ2）计算的结果等于（）
A.B.C.D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B，。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，的逆用公式为“降幂公式”，即为，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。
2．（2010海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则=.
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设，则，由的面积为可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
3．（2010天津高考理科Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=()
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
4．（2010北京高考理科Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。
【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。
【规范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5．（2010天津高考理科Ｔ１7）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，
【规范解答】（1）由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知又因为，所以
由，得从而
所以
6．（2010陕西高考理科Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形
【规范解答】
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．（2010届山东省实验高三一诊（文））已知点在第四象限,则角的终边在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若，则的值为()
A．B．C．D．
3．函数的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（2010届广东高三六校联考（理））如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝（）
A．2B．5C．4D．1

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于_____
8．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____．
9.已知△ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则A=_______.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．（本小题满分12分）已知．
（1）求；
（2）求的值．
11．已知函数的最小正周期为.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.
12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】选A.依题意，画出图形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=COcos∠DCO
=cos（π-2θ）=-cos2θ，
过O作OH⊥AC于H点，则
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又A是三角形的内角,∴A=.
答案：
10．解析：（1），
（2）原式＝
=．

11．解析:（1）
当时，
当时，取得最大值为，最小值为
（2）令，得
当时，，当时，，满足要求的对称中心为
12．解析：（1）由及正弦定理得，
……………………………………3分
是锐角三角形，……………………………………6分
（2）解法1：由面积公式得
……………………9分
由余弦定理得
由②变形得……………………………………12分
解法2：前同解法1，联立①、②得
……………………………………9分
消去b并整理得解得
所以故……………………………………12分

【备课资源】

解斜三角形

5.4解斜三角形

●知识梳理
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2－2bccosA；①
b2=c2+a2－2cacosB；②
c2=a2+b2－2abcosC.③
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得
cosA=；
cosB=；
cosC=.
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
特别提示
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.
●点击双基
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是
A.sinA+cosA=B.＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解析：由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
3.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于
A.B.1+
C.D.2+
解析：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b为边长，∴b=1+.
答案：B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案：
5.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.
解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.
剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.
证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.
思考讨论
（1）该题若用余弦定理如何解决?
解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.
所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.
（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?
解：由题设a2=b（b+c），得=①，
作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
【例2】已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）设AB=3，求AB边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－，
即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.
设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.
评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
【例3】在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.
●闯关训练
夯实基础
1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.
答案：B
2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A.75°B.60°C.50°D.45°
解析：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.
∴DF=.
∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大.
答案：C
3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.
解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案：45°
4.在△ABC中，若∠C=60°，则=_______.
解析：=
=.（*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°
解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有两值.
答案：C
培养能力
6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=的取值范围.
解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥.
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）.
又∵R=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+
=sin（2A－30°）+.
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.
8.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求的取值范围.
解：令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），则总有sinB=，sinC=（图略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值范围为［，］.
探究创新
9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）
解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.
因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.
则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=
=
=
=
=≥，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.
所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）.
●思悟小结
1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot.
2.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.
3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.
5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.
6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.
●教师下载中心
教学点睛
1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.
2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.
拓展题例
【例1】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.
（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.
故当A=B=C=时，ymin=.
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥.
【例2】在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.
分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.

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