2.5平面向量应用举例
课前预习学案
一、预习目标
预习《平面向量应用举例》,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容
阅读课本内容,整理例题,结合向量的运算,解决实际的几何问题、物理问题。另外,在思考一下几个问题:
1.例1如果不用向量的方法,还有其他证明方法吗?
2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么?
3.例3中,⑴为何值时,|F1|最小,最小值是多少?
⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习内容
1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
二、学习过程
探究一:(1)向量运算与几何中的结论"若,则,且所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?
(2)举出几个具有线性运算的几何实例.
例1.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
已知:平行四边形ABCD.
求证:.
试用几何方法解决这个问题
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”?
(1)建立平面几何与向量的联系,
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,
(3)把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练:中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点O,设
(1)证明A、O、E三点共线;
(2)用表示向量。
例2,如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的
中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
探究二:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事?
例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题:
⑴为何值时,|F1|最小,最小值是多少?
⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?
例4如图,一条河的两岸平行,河的宽度m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?
变式训练:两个粒子A、B从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为
,(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s;(2)计算s在方向上的投影。
三、反思总结
结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题
代数化的特点,数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致,又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决实际问题的步骤。
四、当堂检测
1.已知,求边长c。
2.在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长。
3.在平面上的三个力作用于一点且处于平衡状态,的夹角为,求:(1)的大小;(2)与夹角的大小。
课后练习与提高
一、选择题
1.给出下面四个结论:
①若线段AC=AB+BC,则向量;
②若向量,则线段AC=AB+BC;
③若向量与共线,则线段AC=AB+BC;
④若向量与反向共线,则.
其中正确的结论有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.河水的流速为2,一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸,则小
船的静止速度大小为()
A.10B.C.D.12
3.在中,若=0,则为()
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定
二、填空题
4.已知两边的向量,则BC边上的中线向量用、表示为
5.已知,则、、两两夹角是
课后练习答案
1.B2.B3.C4.
经验告诉我们,成功是留给有准备的人。教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助教师掌握上课时的教学节奏。教案的内容要写些什么更好呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《高一数学应用举例031》,大家不妨来参考。希望您能喜欢!
1.2解三角形应用举例第一课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语
2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二、教学重点、难点
教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解
教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图
三、教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?
2、设置情境
请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。
3、新课讲授
(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC=,ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
提问1:ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?
提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。
分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边。
解:根据正弦定理,得=
AB====≈65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?
老师指导学生画图,建立数学模型。解略:akm
例2、如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析:这是例1的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形,所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,
ACD=,CDB=,BDA=,在ADC和BDC中,应用正弦定理得
AC==
BC==
计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB=
分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA=60
略解:将题中各已知量代入例2推出的公式,得AB=20
评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式。
4、学生阅读课本4页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。
5、课堂练习:课本第14页练习第1、2题
6、归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
四、课后作业
1、课本第22页第1、2、3题
2、思考题:某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?
解:由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得
cosC==,
则sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中,由正弦定理得
MC===35
从而有MB=MC-BC=15
答:汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
作业:《习案》作业三
一名优秀的教师就要对每一课堂负责,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,使高中教师有一个简单易懂的教学思路。高中教案的内容具体要怎样写呢?经过搜索和整理,小编为大家呈现“高一数学应用举例033”,相信您能找到对自己有用的内容。
1.2解三角形应用举例第三课时一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,使高中教师有一个简单易懂的教学思路。那么,你知道高中教案要怎么写呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《高一数学应用举例034》,仅供参考,大家一起来看看吧。
1.2解三角形应用举例第四课时文章来源:http://m.jab88.com/j/51673.html
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