作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“科学记数法教学设计”，相信能对大家有所帮助。<m.JAb88.CoM/p>学习目标:借助身边熟悉的事物进一步体会大数,并会用科学记数法表示大数。
学习重点:能用科学记数法表示大数
学习难点:对科学记数法法则的理解
学习过程:
一、生活中有比100万更大的数吗?
生活中有比100万更大的数吗?请试举出几个例子。(学生可能会举出课本上的三个例子,引导创设以下问题情境)
请同学们看下面的问题:
1、我国现在约有14亿人口,每个人每天平均需要的基本粮食(米、面)为0.5千克,算一算每天全国人民需要吨基本粮食?一个月需要吨?一年需要吨?
2、中国国家图书馆藏书大约有2亿册,居世界第5位,如果我们班60名同学每人借阅2本书,那么中国图书馆的藏书大约可供个我们这样的班借阅?
3、我国的陆地国土面积为960平方千米,如果把它换算成平方米,则在96后面应添
个零?如果把它换算成平方厘米,则在96后面应添个零?
从上面的问题中,你发现这些数据有什么特点?
(学生讨论:甲:这些数据都比较大,比100万都大;乙:这些数据读和写都比较困难…..)
(师:请同学们想一想,有没有更简单的方法来表示它们,使我们便于书写和读这些比较大的数?这就是我们今天要学习的“科学记数法”,板书课题:科学记数法.通过师生互动,引导学生不断思考,引出课题,激发学生学习兴趣,活跃课堂气氛)
二、探索科学记数法
1、回顾有理数的乘方运算,算一算:
10=10=10=10=
讨论:10表示什么?指数与运算结果中的0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系?
一般地,10的n次幂,在1的后面有个0。
(通过这个问题的设置,让学生对幂的意义进行回忆,弄清指数与其结果中零的个数的关系,经此帮助学生对科学记数的理解)
2、课堂练习:把下列各数写成10的幂的形式:
100000=10000000=1000000000=
(通过这个题的学习,让学生进一步体会用幂的形式表示数的简便性从而导出用科学记数法表示大数)
我们可以借助10的幂的形式来表示大数。
比如:1300000000=1.3×10,69600000000=6.96×10,300000000=
98000000=,10100000000=,61000000=。
下面请同学们用这种方法表示我们开始问题中的大数。(可以用计算器进行计算)
3、科学记数法:一个大于10的数可以表示成的形式,其中1≤a10,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法(scientificnotation)。
(通过前面问题的探讨,要求学生思考、交流,在教师的引导下,得出科学记数法的概念。)
三、应用举例,巩固概念
1、强强从图书馆查了一些资料,请你把其中的数据用科学记数法表示出来。
(1)人的大脑约有10,000,000,000个细胞;
(2)全世界人口约为61亿;
(3)光的速度为300,000,000米/秒;
(4)中国森林面积约为128,630,000公顷;
(5)2002年赴韩国观看世界杯足球赛的中国球迷超过了1.5万人。
2.二十一世纪,纳米技术将被广泛应用。纳米是长度计量单位。1米=10纳米,则55米可以用科学记数法表示为多少纳米呢?
3.《国际新闻》节目中报道了这样一则消息:
联合国劳工组织预计受2001年“9.11”恐怖事件的影响,全球旅游业可能有9×10人失业,美国保险公司安邦集团认为此次恐怖事件对全球经济造成的损失将高达1×10美元,其中仅美国市场的损失预计超过1×10美元。
这则消息中的数据是用科学记数法表示出来的,请你把它们所代表的原来的数表示出来。
4.把调查北京在所有申奥城市中享有最高程度的民众支持率,支持北京申奥的北京市民有1299万人,小明与小颖打算把这个数据用科学记数法表示出来,但他们的想法却不一样。
小明认为结果是:0.1299×10人
小颖认为结果是:12.99×10人
你有什么想法呢?
(引导学生积极思考,主动回答,目的是通过该组题目的训练,进一步让学生体会用科学记数法表示大数的必然性)
四.学习小结:
通过本节课的学习,你有哪些收获与感受?你学到了什么知识?
设计意图:通过设计丰富的数学问题情境,激发学生的好奇心和主动学习的愿望。生活中有很多比100万还大的数,这些数在书写和读都比较困难,学生往往都有争强好胜的心理,通过设置问题情境,引导学生去主动探索,寻找出一种表示大数的方法。

扩展阅读

《罗马法的起源与发展》教学设计

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助授课经验少的高中教师教学。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？小编特地为大家精心收集和整理了“《罗马法的起源与发展》教学设计”，希望对您的工作和生活有所帮助。

《罗马法的起源与发展》教学设计
课标要求
一、了解罗马法的主要内容
二、了解罗马法在维系罗马帝国统治中的作用
三、理解法律在人类社会生活中的价值
授课程序
导入新课:教师利用余秋雨在《行者无疆》中的对欧洲各个城市的描绘的文字导入新课：（幻灯片展示）世界上有很多美好的词汇，可以分配给欧洲各个城市，例如精致，古典，舒适，神秘，壮观，只有一个词，留给那唯一的城市，这个词叫伟大，这个城市叫罗马。
讲授新课：
板书课题：罗马法的起源与发展
（幻灯片展示）本课三大课标
（过渡）要落实本课三大课标，首先我们来了解罗马法
板书：一、罗马法的概念
（幻灯片展示）：罗马法：指的是公元前6世纪末至公元7世纪古罗马奴隶制国家所制定和实施的全部法律制度。
教师强调：罗马法并不是在一开始就是一部完整的法律,在这一千多年的历史长河中，罗马法随着罗马国家的发展而演变,呈现较为明显的阶段性和连续性。
（过渡）罗马法发展经过了哪些阶段呢?
板书：二、罗马法的发展阶段
（幻灯片展示）:罗马法发展三个阶段的表格
要求学生阅读课本将表格补充完整，教师根据学生回答的情况，对表格进行补充解读。
（重难点突破）：师生探究后教师总结：
（幻灯片展示）：1、习惯法到成文法的进步性在哪里?
2、公民法发展为万民法的原因?
3、罗马法的核心内容是什么？
（过渡）：罗马法伴随着罗马国家的发展而发展，那么罗马法对罗马国家发展有什么影响呢？
板书：三、罗马法的影响
（重难点突破）师生共同通过对史料的分析探究得出：
（幻灯片展示）：对当时：维系和稳定了罗马帝国的统治；
对后世：成为近代欧美国家立法和司法的蓝本；
罗马法中的精神成为近代资产阶级反封建的有力武器。
（过渡）：唯物史观认为，认识事物应该用一分为二，辩证的方法，罗马法对当时和后世产生的积极影响的同时，存在哪些局限呢？
师生解读史料得出：
（幻灯片展示）：罗马法存在的局限
1.罗马法宣扬君权神授、保护奴隶制度，妇女地位低下。
2.罗马法所倡导的法律面前人人平等是有条件的。
3.法律是统治阶级意志的体现，罗马法体现的是奴隶主贵族的利益。
最后教师小结本课内容（幻灯片展示）
布置作业
附板书设计：
罗马法的起源与发展
一、罗马法的概念
二、罗马法的发展阶段
三、罗马法的影响

罗马法的起源与发展教学设计

第6课罗马法的起源与发展

一、课标要求

本课程教学以高中新课程标准为依据，在引导学生学习古代罗马法律的起源与发展历史知识的基础上，了解罗马法的主要内容，及其在维系罗马帝国统治中的作用和对后世的深远影响。

二、教学目标

目标

内容

知识与能力

过程与方法

情感态度价值观

识记

理解

运用

罗马法的起源与发展

罗马法；《十二铜表法》；万民法；《查士丁尼民法大全》

罗马法的演变是古罗马历史变迁的反映，在发展过程中具有明显的连续性和统一性。

以案说法

问题探究

罗马法是通行于整个古代罗马世界的法律，对于维系和稳定庞大的罗马帝国的统治起到重要的作用。罗马法代表统治阶级的利益，为维护罗马帝国统治而存在。《查士丁尼民法大全》是罗马史上也是欧洲历史上第一部全面系统的法典，是重要的人类文化遗产，对后世尤其是近代文明产生了重要的影响。中国现行的《民法通则》和《继承法》也受到了罗马法的影响，深入了解罗马法的历史沿革具有重要的现实意义。

罗马法的主要内容

罗马法的主要内容

探究罗马法内容的变迁

情境再现，以案说法

罗马法作用和影响

罗马法维系帝国的统治；对欧美法律的发展以及民主化进程影响深远

罗马法对世界文明进程的影响

分析罗马法对于维系罗马帝国的作用；从中西历史发展的两个方面比较罗马法的影响

查阅资料探究问题历史比较

三、教学重点、难点

重点

罗马法的主要内容和万民法对维系罗马帝国的统治所起的作用

难点

罗马法的起源与发展；罗马法的影响

四、教学方法

以案例为主的问题式、启发式教学

五、学习方法

以问题为中心的合作探究

六、学情分析

学生对罗马国家的发展有一定的了解，但对罗马法未曾接触过，学习本课内容有较大难度，

所以要从学生已知知识出发学习未知内容，并且要联系实际，以案例来学习法律内容

七、教学过程

[导入新课]

师：辉煌属于希腊，宏伟归于罗马。上节课我们一起学习了古希腊的民主政治，领略了希腊的辉煌，这节课我们一起感受罗马的宏伟。你认为罗马的宏伟表现在哪里呢？

生：罗马通过扩张建立了地跨欧亚非的大帝国

师：所以有“条条大路通罗马”之说，罗马帝国的维系主要依靠两大支柱，一是所向披靡的罗马军团，二是博大而缜密的罗马法律。今天我们一起学习罗马法的起源与发展。

[讲授新课]

师：什么是罗马法呢？

生：它指的是公元前6世纪末至公元7世纪古代罗马制定和实施的全部罗马法律，

师：罗马法随着罗马国家的发展而演变，呈现出较为明显的阶段性。罗马国家的发展情况如何？罗马法又是怎样发展演变的呢？首先罗马国家的建立情况怎样？

生：公元前8世纪中期，罗马城建立。公元前6世纪末罗马共和国建立。贵族垄断着政治经济大权，平民却缺地或少地。

师：现在请大家看一个案例，由此来了解罗马早期的法律：

“罗莫洛是一个仁慈、善良的贵族，也是罗马一支军队的首领。生前立遗嘱，希望把他一半的财产捐给那些跟随他作战受伤或战死士兵的家人。但罗莫落死后，他的家人却不履行罗莫洛的遗嘱，受伤或战死士兵的家人因此告上了法庭，请同学们想一想，法官会怎么判呢？”

生：法官会偏袒罗莫洛的家人。

师：为何如此？

生：因为罗马共和国早期只有习惯法，没有成文法，无形中为法官故意压迫平民，袒护贵族提供了方便。

师：对，所谓的习惯法就是未经政府明确承认而被一般人接受默认为社会生活中相互关系的法律方式，具有很大的伸缩性和不确定性，许多贵族出身的法官，往往循旧例裁判，随心所欲解释法律，为保护贵族特权提供了方便。那什么时候有了成文法？它是怎样产生的？

生：公元5世纪中期，由贵族组成了十人委员会，制定了《十二铜表法》，它标志着罗马成文法的诞生。这是平民不断与贵族斗争的结果。

师：正如我们这个案例中，本可以得到地的平民其权利不能得到维护，势必要进行斗争，而这个案例只是反映当时罗马社会围绕权利问题平民和贵族两个阶层分裂的一个缩影，社会矛盾的加深，平民的持续抗争，使早期罗马国家局势动荡，罗马的贵族为了共和国的统治制定了《十二铜表法。如果还是上一个案例，根据《十二铜表法》，法官会怎么判呢？依据是什么？

生：根据《十二铜表法》第五表：死者的财产需按其遗嘱进行处理。罗莫洛一半的财产将捐给那些跟随他作战受伤或战死士兵的家人。

师：对，通过这个案例和相关法律条文，你如何评价《十二铜表法》？

生：《十二铜表法》标志着罗马成文法的诞生，它的内容相当广泛，法律条文也比较明晰，审判、量刑皆有发可依，在一定程度上限制了贵族特权，保护了平民利益。《十二铜表法》的颁发目的是维护奴隶主贵族的根本利益。

师：法律体现统治阶级的意志，是阶级专政的工具之一，罗马共和国是一个奴隶制国家，《十二铜表法》的颁发目的是维护奴隶主贵族的根本利益，此外它还带有原始落后的陋习。

师：罗马共和国时期开始了长期的对外扩张，伴随着罗马的扩张，罗马公民法演变为万民法，什么是公民法？什么是万民法？请从主体范围和内容方面进行比较。

生：略

师：通过比较我们可以发现公民法的局限性，一是主体范围狭小，二是内容保守，形式主义色彩浓厚。那么公民法是如何发展到万民法的呢？

生：略

师：虽然有了万民法，但罗马统治还是比较困难，我们通过下面的案例来了解。“古罗马大将恺撒进兵埃及，与美丽的埃及女王克丽奥佩特拉一见钟情，两人还有了一个私生子，当恺撒归国执政之后，克丽奥佩特拉携儿子赴罗马与恺撒相会，并向罗马法庭为自己和儿子申请罗马籍，请问法官会判给克丽奥佩特拉和她的儿子享有罗马籍吗？为什么？

生：不会，因为公民法的适用范围仅限于罗马公民，而克丽奥佩特拉是埃及女王，私生子也是在埃及出生的，无法享受罗马公民权，所以法院不会判给克丽奥佩特拉和她的儿子享有罗马籍。

师：那这种现象合理吗？

生：不合理

师：怎么解决的？

生：罗马帝国对各行省上层人士大量授予公民权，3世纪初，罗马帝国境内自由民之间公民与非公民的区别开始消失，公民法与万民法之间的区别失去了意义。

师：，公元395年，罗马帝国分为东西两个帝国，其中西罗马不久就因为“蛮族”的攻击而灭亡，震惊了东罗马皇帝查士丁尼一世，他积极改革内政，设立专门委员会编纂罗马法，形成了法律汇编，即《民法大全》，标志着罗马法体系的最终完成。

请同学概括罗马法的起源与发展

生：略

师：罗马法的主要内容请同学根据示意图回答

生：略

师：罗马法中还渗透着自然法思想。古罗马法学家认为，自然界的很多法则，如理性、自由、平等都必须体现在法律当中。西塞罗被人称为“自然法之父”。现在请看这一份案例，这是公元2世纪的一件事：

“卢修斯是亚历山大港的一个平凡的经营航运的小商人，他向放高利贷的大商人加图借贷5000枚金币，并立下了契约半年后归还6000枚金币，可是卢修斯下半年经营不善，无力还钱，为此加图告上法庭要求剥夺卢修斯的家产，并让卢修斯家的二十个奴隶成为他家的奴隶。请问，法官同意加图的要求吗？

生：会，因为万民法作为罗马帝国统治范围内的国际法，主要调整财产关系，规定奴隶制和私有财产权不可侵犯。

师：对，万民法的核心内容之一就是承认财产神圣不可侵犯。其中最重要的就是对债权的规定和解释，制定了解决各类债务纠纷的适用条款，另外奴隶制也是不可侵犯，所以卢修斯家的奴隶只得乖乖地作为一种财富或物品被判定归属于加图家，那么卢修斯可以随意安排或处置这些奴隶么？

生：可以，因为万民法规定奴隶在法律上是“可以购买的东西”，无异于其它一切形式的财产，可以被买卖和出租，奴隶也必须无条件的服从主人。

师：。案例4：〈孔雀东南飞〉通过描写因家长反对，刘兰芝、焦仲卿夫妻两人殉情而死的家庭悲剧，表达了古代中国的广大人民要求争取婚姻自由的强烈愿望！请问在古罗马时代，孔雀东南飞的悲剧会经常出现吗？

生：不会，子女的财产权和婚姻自主权得到保证。

师：案例5：古代中国妇女与古罗马妇女哪一个在家庭中的地位高？

生：古罗马妇女地位高，罗马法制约或消除父家长权、夫权

师：罗马法对罗马帝国所起的作用？

生：罗马法的制定和实施是为了维系和稳定帝国统治，它为皇帝和元老院的权力提供了法律依据；为维护奴隶制度，保护统治阶级的政治和经济利益，巩固了帝国的社会基础；顺应经济的发展和变化，对私有财产加以保护，笼络上层阶级；帝国还建立了大量的自治市，把罗马法律和政治制度推向帝国的每一个角落，进一步稳固了帝国的政治和经济基础。

师：（引用耶林的话并出示材料）

罗马法是世界史上最丰富、体系最完善、对后世影响最广泛的古代法律。大家看一下下面的资料，说说罗马法对后世的影响：

（1）《拿破仑法典》的内容出总则以外，共有3编2281条。第一编是人法，是关于个人和亲属的规定，实际上关于民事权利主体的规定；第二编是物法，规定了各种财产和所有权及其他物权；第3编是关于取得所有权的各种方法，这一遍规定了继承、赠与、遗嘱和夫妻财产制，还规定了债法。

（2）“私有财产是神圣不可侵犯的权利。除非由于合法认定的公共需要的明显要求，并且在事先公平补偿的条件下，任何人的财产不能被剥夺。”

——《人权宣言》

（3）“我们认为下面这些真理是不言而喻的：一切人生来就是平等的，他们被造物主赋予他们固有的、不可转让的权利，其中有生命、自由一起追求幸福的权利。”

——美国《独立宣言》

（4）“第二条：中华人民共和国民法调整平等主体的公民之间、法人之间、公民和法人之间的财产关系和人身关系。

第三条：当事人在民事活动中的地位平等。

第四条：民事活动应当遵循自愿、公平、等价有偿、诚实信用的原则。

第五条：公民、法人的合法的民事权益受法律保护，任何组织和个人不得侵犯。”

——《中华人民共和国民法通则》

生：它是欧洲历史上最早的一套比较系统完备的法律体系，它的很多原则和制度对近代资产阶级革命或立法产生重要影响，对中国也有一定影响。

师：罗马法是欧洲大陆法系的基础，是现代资本主义法制的先声，世界资本主义的发展与罗马法的复兴密不可分，自19世纪以来，欧洲大多数国家皆以罗马法为法制基础，制定本国的法律制度，如《法国民法典》《德国民法典》等。

师：再看这些资料：

“没有东西比皇帝陛下更高贵和更神圣，皇帝敕令具有法律的效力”。

妇女不得参与任何公务，因而她们不能担任法官，或行使地方官吏的职责，或提出诉讼，

或为他人担保，或担任律师。——《民法大全》

以上规宣扬君权至定可以得出罗马法有何局限性？

生：君权至上，妇女地位不高女不平等。

师：以上材料表明这种在自由民“法律面前人人平等”是有条件的。法律体现统治阶级的意志，是阶级专政的工具之一，所以罗马法也不能例外地具有鲜明的阶级特征，但是罗马法还制约或消除父家长权、夫权等，子女的财产权和婚姻自主权得到保证，并在2000多年前就宣扬“法律面前人人平等”的理念，毕竟是一个社会的巨大进步。

阅读材料：法是一种自然的权利，是理智的人的精神和理性，是衡量正义与非正义的标准……自然法是整个法律科学的思想基础和各种具体法规的指导原则，它高于一切人定法和人为权力。

——（古罗马）西塞罗

中国历代有卷帙浩繁，分支众多的法律，法有“六典”，刑有“八议”都是对特权与等级的保护。……中国法的界定十分模糊，倒是皇帝圣旨、朝廷法令、祖宗遗训更具威力。因为法自君出，皇帝“钦定”法律，皇权置于法律之上，法律对皇权约束作用微乎其微。……这遗风流传至今即权大于法，有法不依，拟法不严，徇情枉法。

——史仲文《中国人走出死胡同》

结合以上材料，比较古代中国的政治制度和古代希腊罗马的政治制度，完成下列填空：

古代中国是一个的社会

古代希腊罗马是一个的社会

生：古代中国是一个专制，人治的社会古代希腊罗马是一个民主法制的社会

巩固练习

1、罗马成文法诞生的标志（）

A习惯法的废除B《十二铜表法》的颁布

C公民法的确定D《民法大全》的编纂

2、罗马法体系最终完成的标志是（）

A《十二铜表法》的颁布B公民法的形成

C公民法演变为万民法D《民法大全》的编纂

3、公民法和万民法最主要的不同（）

A内容的不同B制定者不同

C适用范围的不同D制定的依据不同

4、罗马法强调“财产神圣不可侵犯”的根本目的是（）

A维护社会的等级和秩序

B维护奴隶主阶级的利益

C避免纠纷

D体现公平公正原则

D体现公平公正原则

5、组织编纂《民法大全》的东罗马帝国的皇帝是（）

A屋大维B查士丁尼C凯撒D哈德良

6、万民法提倡“法律面前人人平等”此处的“人人”指（）

A自由民B包括奴隶在内的所有人

C罗马公民D万邦自由民

7、早期罗马习惯法可随意解释，此举对谁最有利（）

A平民B贵族C奴隶D罗马所有公民

8、罗马法有广义和狭义之分，狭义上的罗马法指（）

A万民法B《十二铜表法》

C《民法大全》D罗马公民法

教学反思：

学生在以前的学习和平时的见闻中，对罗马帝国都已有一定的感性认识，但较少涉及罗马法这一方面及对法律认识较为缺乏，因而需要从学生所熟悉的知识中引发其对罗马法的兴趣。另外，学生在以前的学习中已积累了不少近代资产阶级法律的相关知识，因而可以从已知推向未知，使学生更为清晰的了解古代罗马法对后世的影响。

高二上册数学《数学归纳法》教学设计

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么，你知道教案要怎么写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《高二上册数学《数学归纳法》教学设计》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

高二上册数学《数学归纳法》教学设计

教材分析：

“数学归纳法”既是高中数学中的一种重要的数学方法。它贯通了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2、过程与方法目标

通过多米诺骨牌实验加深对数学归纳法的原理的理解，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

教学重点和难点

教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。

教学难点：

（1）数学归纳法的原理；

教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

教学过程：

（一）:

如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？

（二）新课讲解

1、多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒（奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

2、类比总结（板书）

板书例1

引导学生总结数学归纳法步骤：

第二步的证明没有用到假设，这不是数学归纳法

注意：递推基础不可少，

归纳假设要用到，

结论写明莫忘掉。

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）

②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。

③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时

命题形式的差别。弄清左端应增加的项。

④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因

式分解、添拆项、配方等，并用上假设。

课堂练习

①用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（C）

A．1B.C．D.

②用数学归纳法证明命题时，假设那么

③课本37页练习1,2,3

（三）、课堂小结

1、数学归纳法能够解决哪一类问题？

一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题

2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？

两个步骤和一个结论，缺一不可

3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？

关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确

4、数学归纳法体现的核心思想是什么？

递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题

注意类比思想的运用

（四）、作业:39页习题2-3A组1,2,3

（五）、板书设计:

数学归纳法（一）例1：……学生板演

数学归纳法：证明：…………

1.…………

2.……

…………

用二分法求方程的近似解教学设计

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师能够井然有序的进行教学。关于好的教案要怎么样去写呢？小编为此仔细地整理了以下内容《用二分法求方程的近似解教学设计》，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

教学设计
3.1.2用二分法求方程的近似解
教学设计(一)
作者：张兴娟，邯郸市第四中学高级教师．本教学设计获“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动一等奖．
学习准备
教师需要明了：
1．新教材为什么增加求方程的近似解？
2．为什么用“二分法”求方程的近似解？
3．本节内容在教材中的地位和作用．
4．明确学生现有的水平和可能的发展水平．
学生需要复习：方程的根与函数的零点的相关知识．
在此基础上，根据学生“最近发展区”确定本课时教学和学习目标．
教学目标
1．了解二分法是求方程近似解的一种方法．
2．会用二分法求给定精确度的方程的近似解．
3．在具体问题情境中感受逐步逼近的过程．
4．培养学生观察、分析数据的能力．
5．培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神．
教学重点与难点
重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解．
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解．
教学方法与教学手段
教学方法：“问题驱动”，启发、探究
学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解
教辅工具：计算机、投影仪、计算器
教学过程
1．设置情境，提出问题
问题1：你会求哪些类型方程的解？
写一写你不会求解的方程．
设计意图
让学生感受有大量的方程不能求解，引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲．
问题2：能不能求方程的近似解？
2．自主探究，获得新知
以求方程x3＋3x－1＝0的近似解(精确度0.1)为例进行探究．
探究1：怎样确定解所在的区间？
(1)图象法(数形结合)：
(2)试值法：
设f(x)=x3+3x－1，f(0)=－1＜0，f(1)=3＞0.
复习：(1)方程的根与函数零点的关系；
(2)根的存在性定理．
探究2：怎样缩小解所在的区间？
幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？
设计意图
在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离，不仅激发学生学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想．
问题3：为什么要取中点，好处是什么？
设计意图
体会二分法优于其他如“三分法”，“四分法”，华罗庚的“优选法”等．
探究3：区间缩小到什么程度满足要求？
设计意图
利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性．
问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？
通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了．
二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求零点近似值的步骤：
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
3．例题剖析，巩固新知
【例】借助计算器用二分法求方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精确度0.01)．
两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．同时演示用Excel程序求方程的近似解．
设计意图
(1)演示Excel程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合．进一步明确为什么用“二分法”求方程的近似解．(2)算法流程比较简洁，便于编写计算机程序，利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了．
4．知识迁移，生活应用
(1)猜商品价格；
(2)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为__________．
5．检验成果，巩固提升
(1)下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是()
思维升华：在零点的附近连续且f(a)f(b)＜0.
(2)方程4x＋2x－11＝0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗？
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
说明：二分法不仅能求方程的近似解，有时也能求方程的精确解．
6．回顾反思
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？
(1)预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学生思考)．
如图所示，区间[a，b]上有多个零点，还能否用二分法求方程的近似解？如果能，该怎样做？
(2)学生课堂生成新问题(不同的班级可能会有不同的问题，具体问题具体解决)．
课外作业
1．书面作业
(1)习题3.1A组3,4,5；
(2)求2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．
2．知识链接阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
板书设计
课题：(投影显示)
1．提出问题：
2．自主探究：
3．抽象概括：
4．巩固练习：
5．归纳总结：
教学反思
1．注重学生参与知识的形成过程；
2．注重培养学生的应用意识；
3．恰当地利用现代信息技术．
教学设计(二)
作者：冯红果，泉州市第七中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖．
整体设计
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书数学1》人教A版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；
3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．
教学重点与难点
教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．
教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．
教学过程
教学基本流程图
教学情境设计
教学设计学情预设设计意图知识链接
创
设
情
境
引
出
课
题
1．大家都看过《幸运52》吧，今天咱也试一回(出示游戏)．
2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？
3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？
4．“二分”的思路是什么？1．教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．
2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．
3．对于“问题2”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．
4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.1．利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．
2．通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．
3．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．
4．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．
师
生
探
究
构
建
新
知1．上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？还有什么问题没有解决？
2．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内存在一个零点；如何求出方程lnx＋2x－6＝0在区间(2,3)的近似解(精确度为0.01)？与刚才的游戏是否有类似之处？
3．精确度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精确度？
4．区间(2,3)的精确度为多少？
5．如何将零点所在的范围缩小(即
如何将精确度缩小)？缩小的依据是什么？
6．如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？
7．近似解是多少？1．教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题．并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．
2．通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．
3．学生对精确度的概念可能有所遗忘．教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．
4．教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间．并确定结束的时间.
5．学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出(附录1)中的表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确地、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．
6．对于“问题7”学生不太容易得到比较简洁的结论．教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解．”，最后得到方程的近似解(附录1的表格后面的内容).[设计意图]
1．开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．
2．运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．
3．师生的互动有利于一边引导一边总结．将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题．培养学生实际应用的
能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．
4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度．
[知识链接]
1．函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量．一般是：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
形
成
概
念
深
化
提
高1．我们刚才的求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？
2．我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？
3．点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间(a，b)上连续不断、且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法.学生经过老师“问题1～2”的提示与引导，可以得到“取区间的中点，计算函数值，比较符号，确定新的区间”这样的相同的过程．
学生根据“二分法”的定义进行归纳总结：运用二分法求方程的近似解的步骤(附录2)．其中步骤①“画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)f(b)＜0”；学生很有可能会有遗漏．此时可以提出“问题5”引导学生回忆、思考，从而得到运用二分法的前提——即步骤①.
对于“问题6”，较好的学生才能回答出来.[设计意图]
1．不断的引导，将刚才的解题过程经过“自然语言——数学语言——去其糟粕取其精华——具体步骤”的过程，帮助学生学会归纳总结的方法．
2．课间的及时总结有利于学生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，在后面的做题中可以有法可依，可以提高解题的正确率，增强自信．
3．问题6的设计是将学生的思维进一步升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次.
4．进一步提出问题：运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？
5．运用二分法的前提是什么(游戏开始时要先做什么工作)？引例条件的内涵是什么？
6．二分法的实质是什么？它有什么作用？[知识链接]
1．运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间．
2．二分法实际上是通过缩小区间长度寻找解的一种方法．
课
内
练
习
课
后
作
业1．练习：(1)(2)题为例题仿照题，由同桌协助完成．(3)(4)题考查二分法的含义，由同学独立完成，可以寻求帮助．(附录4)
2．思考：两道题均为实际应用题，为学有余力的同学提高能力．(附录4)
3．课后作业：习题3.1A组3,4；B组1,2.练习1．(1)(2)题经过同桌两位同学合作可以顺利完成．(3)(4)题独立完成如果有困难的同学在同伴或老师的帮助下可以完成．
练习2实际应用：学有余力的同学与同伴合作探讨，也可以解决.[设计意图]
1．不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力．不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获；
2．培养合作、互助精神；
3．培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题．
本
课
小
结请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？教师通过点名提问，学生借助教师的帮助对整节课进行最后的归纳总结，得到以下两点：(1)二分法是一种求一元方程近似解的通法．(2)利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤(附录3).[设计意图]
学生的归纳总结的能力不强，需要不断的培养；课后的总结有利于学生对整节课的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，养成良好的学习习惯，建立自信心.
教学反思
1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．
2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．
(附录1)解：设f(x)＝lnx＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：
区间中点的值中点函数近似值精确度
(2,3)2.5－0.0837092681
(2.5,3)2.750.5116009120.5
(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25
(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125
(2.5,2.5625)2.53125－0.0087867480.0625
(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125
(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625
(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813
(2.53125,2.53515625)2.533203125－0.0041091910.003906
(2.533203125,2.53515625)2.534179688－0.0017706340.001953
(2.534179688,2.53515625)2.534667969－0.0006014120.000977
(2.534667969,2.53515625)2.534912109－1.68166×10－50.000488
所以，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，因此我们可以将x＝2.53125作为函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0根的近似值．
(附录2)二分法求解方程f(x)＝0〔或g(x)＝h(x)〕近似解的基本步骤：
①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)f(b)＜0；
②求区间(a，b)的中点x1x1＝a＋b2))；
③计算f(x1)：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(x)＝0的根，计算终止；
若f(a)f(x1)＜0，则选择区间(a，x1)；
若f(a)f(x1)＞0，则选择区间(x1，b)；
④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．
(附录3)
1．练习：(1)应用计算器，求方程x3＋3x－1＝0的一个正的近似解．
(2)应用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解．
(3)用二分法判断方程2x＝x2的根的个数()
A．1B．2C．3D．4
(4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情况是()
A．仅有一根B．有一正根一负根
C．有两负根D．无实根
2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？
(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10km)，电工是怎样检测的呢？
答案：略
教学设计(三)
作者：罗志强，长汀县第一中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖．
整体设计
三维目标
1．知识与技能：
①通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
②借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法．
2．过程与方法：
①了解数学上的逼近思想、极限思想；
②体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备．
3．情感、态度与价值观：
①通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；
②体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；
③通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．
教学重点与难点
教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；
教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教材分析
本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备．教科书不仅希望学生在数学思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解的史料来渗透数学文化，提高数学素养．
学情分析
学生基础较好，学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方法，体验二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．
信息技术分析
多媒体教室及几何画板、VisualBasic应用程序．
教学方法
动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践．
教学过程
教学设计流程图
创设情境导入——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课，提出二分法的思想
↓
例题回顾——回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何画板》演示
↓
合作探究——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解
↓
师生小结——总结出用二分法求方程近似解的步骤
↓
学以致用——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解
↓
数学文化——介绍数学家求方程的近似解的历史
↓
知识迁移——利用VisualBasic编写程序，渗透算法思想
教学设计理念
1．倡导积极主动、勇于探索的学习方式．
2．鼓励学生自主探究、合作交流．
3．注重信息技术与数学课程的整合．
4．体现数学的文化价值．
教学情境设计
一、创设情境，导入新课
问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．
设计意图
1．创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发学生的学习兴趣，并在教师的指导下设计猜价方案．
2．在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．
师生活动：
师：表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你的猜价方案猜手机价格？
生：猜价方案
区间中点(取整)高低
[500,1000]750低了
[750,1000]875高了
[750,875]812低了
[812,875]843低了
[843,875]859高了
[843,859]851ok
师：用几何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想(附图一)．
生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间．
师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题．
二、例题回顾
人教A版3.1.1节例1
求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数？方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数？
问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？
问题2：f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内有零点，如何找出？
设计意图
通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换．
师生活动：
师：借助几何画板直观演示(附图二)函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让学生思考问题2，提示学生回顾猜价方案的思想．
生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路．
师：提问学生．
生：1.取(2,3)的中点2.5，发现f(2.5)f(3)＜0，所以零点在(2.5,3)内．
2．以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小．
三、合作探究
问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？
问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？
问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？
设计意图
1．让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想．
2．引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想．
3．引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用．
师生活动：
1．师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论．
生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解．
2．师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.
生：分组交流．
生：经合作整理，规律如下：
每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间．
师：实质是根据什么定理？
生：零点存在性定理．
3．师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度ε，只要将上述步骤进行有限次重复后即区间两端点差的绝对值小于ε，则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．
几何画板直观演示(附图四)．
四、师生小结
你能说出二分法的意义及用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤吗？
1．二分法的意义
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附图五)．
设计意图
引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的思想，体验解决问题的成就感．
师生活动：
师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．
师：分析关键词：
f(a)f(b)＜0、m＝a＋b2、精确度ε、|a－b|＜ε的意义．
生：结合求函数f(x)＝ln(x)＋2x－6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．
五、学以致用
问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例．
问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
设计意图
1．培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系．
2．培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使学生的认识不断加深．
师生活动：
1．师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子．
生：电力工人检测电线，找故障．
2．(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导．
(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六)．
六、数学文化
阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
设计意图
让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养．
七、知识迁移
问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？
设计意图
初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．
师生活动：
师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．它的优点是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如我们可以编写用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一个函数的零点．
程序框图及程序(附图七)
八、课堂小结
问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？
设计意图
学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验化为能力．
师生活动：
师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：
1．要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；
2．二分法的意义；
3．二分法求方程的近似解的步骤；
4．逼近、极限、二分法．
教学设计附图：
区间中点(取整)高低
[500,1000]750低了
[750,1000]875高了
[750,875]812低了
[812,875]843低了
[843,875]859高了
[843,859]851课题
附图一
附图二
附图三
附图四
二分法求解方程近似解的基本步骤：(精确度ε)
1．利用计算或作图的方法，确定初始区间[a，b]；
2．验证f(a)f(b)＜0；
3．求区间(a，b)的中点c＝a＋b2；
4．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)＜0，则令b＝c〔此时零点X0∈(a，c)〕；(3)若f(c)f(b)＜0，则令a＝c〔此时零点X0∈(c，b)〕；
5．判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复3～4.
附图五
附图六
附visualbasic程序
PrivateSubCommand1_Click()
DimaAsSingle
DimbAsSingle
DimdAsSingle
a＝InputBox(“a”，“区间左端点”)
b＝InputBox(“b”，“区间右端点”)
d＝InputBox(“d”，“精确度”)
Text1.Text＝a
Text2.Text＝b
Text3.Text＝d
fa＝2^a＋3*a－7
fb＝2^b＋3*b－7
Iffa*fb＞＝0Then
Text4．Txet＝“求解范围有错”
Else
Do
x＝(a＋b)/2
fx＝2^x＋3*x－7
Iffx*fa＞0Then
a＝x:fa＝fx
Else
b＝x:fb＝fx
EndIf
LoopUntilfx＝0orAbs(a－b)＜d
Text4.Text＝x
EndIf
EndSub
教学反思
1．创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．
2．教学中以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高发现和解决问题的能力．
3．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间，让学生分组交流、合作探究．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点，还学会了相互接纳、互助与赞赏，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．学生间的多向交流，可以使他们从多角度得出问题解决的途径．
4．重视知识的形成过程，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学．这样才能体现“思想方法比知识更重要”这一新的教学价值观．
5．在教学中适当介绍数学家的奋斗历史，从而渗透数学文化，增强学生的数学素养．
不足之处
1．在分组交流，学生合作探究解决问题上显得经验不足，不够老到．
2．在使用《几何画板》演示教学内容时，学生学习《几何画板》基本操作的实际水平与本节课知识运用所要求的水平不符．可以在课外花点时间让学生学习数学常用的几种软件，从而提高学生的动手能力．
教学设计(四)
作者：王巨才，瓯海二高教师．本教学设计获浙江省教学设计大赛市二等奖．
整体设计
教材分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．
由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂．设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值．所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法——二分法．
教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法．学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂．
在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论．
学情分析
学生在学习了方程的根与函数的零点后，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，开拓他们的创新意识和“逐步逼近”的数学思想．
教学目标
知识与技能：
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法：
能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感态度和价值观：
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
重点难点
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
课前准备
1．学生要准备能进行较为复杂运算的计算器．
2．课前学习材料：分治算法．
分治是实际生活中使用比较广泛的一种解决问题的方法．在程序设计中，分治算法的设计思想是：将一个规模比较大的、难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；然后将这些子问题各个击破，分而治之．值得注意的是，分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用．它的一般设计模式如下：
if问题规模小到可以直接解决then直接解决该问题
else将问题分解成k个规模较小的子问题
endif
fori＝1tok
递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题
nexti
将各子问题的解合并为原问题的解．
设计意图
从学生感兴趣的计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法的思想与方法，为后面引出二分法的思想与方法做铺垫．
教学环节
教学过程
创设情境，引出课题
问题：现有大小与形状完全相同的金属小球16个，其中有一个是实心的，其余都是空心的．用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少)
让学生思考、讨论，并得出结论．
学生可能会得出这样的结论：先将这16个小球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球在较重的这部分球中，再将较重的这部分球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球又在较重的这部分球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球．
学生也有可能将小球分成相同的四部分，再两部分两部分地去称，也可得到结果，等等．教师根据学生得出的方法进行总结．
设计意图
以实际问题为载体，通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法．
组织探究，导出算法
1．问题：通过上一节课的学习，我们知道函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内有零点(如下图所示)．那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点的近似值吗？
设计意图
上面的问题有着承上启下的作用，它既是对前面一节课结果的进一步深入，也揭示了本节课所要解决的问题．
2．将学生分成几组进行合作学习，并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳．
设计意图
由于这一任务具有一定的难度，问题又具有一定的挑战性，有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情及发挥学习共同体的创造性，因此采用了小组合作学习的方式进行教学．这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式．
3．通过学生的合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的过程，可用下表反映：
区间中点的值中点函数近似值
(2,3)2.5－0.084
(2.5,3)2.750.512
(2.5,2.75)2.6250.215
(2.5,2.625)2.56250.066
(2.5,2.5625)2.53125－0.009
(2.53125,2.5625)2.5468750.029
(2.53125,2.546875)2.53906250.010
(2.53125,2.5390625)2.535156250.001
当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，所以我们可以将x＝2.53125作为函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0根的近似值．
4．给定精确度ε，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值的基本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0，给定精度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；
③若f(x1)f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；
(4)判断是否达到精度ε；
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
设计意图
从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验．这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理．
探索发现，寻找内涵
1．教师：通过前面的探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值的一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等，教师最后进行评析)
设计意图
从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义的内涵，这也是新课程提倡的教学理念之一．
2．问题：是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢？请同学们先看下面几个函数的图象再回答．
图一图二图三
学生通过上图的比较与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的近似值的，因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)＜0.这时教师对二分法的定义进行完善：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
设计意图
通过学生自己的观察、比较、分析，深化学生对定义的认识与理解，进一步挖掘二分法的内涵，使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟．
3．教师进一步指出，从“数”的角度看，函数的零点即是使f(x)＝0的实数；从“形”的角度看，函数的零点即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．二分法的条件f(a)f(b)＜0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
设计意图
引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，进一步明确二分法的适用范围．
尝试练习，体会应用
1．例题：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
注意：
(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间．
(2)建议列表样式如下：
零点所在区间中点函数值区间长度
[1,2]f(1.5)＞01
[1,1.5]f(1.25)＜00.5
[1.25,1.5]f(1.375)＜00.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．学生要根据二分法的思想与步骤独立完成思考，并进行交流、讨论、评析．)
设计意图
该例题是对这节课前面所学知识和数学思想的综合运用和巩固，解题过程体现了数学表达的简洁性和数学思维的严谨性，也体现了函数思想在解方程中的应用．
2．学生练习：
已知f(x)＝2＋2x－x2，
(1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)的解析式；
(2)借助计算器或计算机，画出函数g(x)的图象；
(3)求出函数g(x)的零点．(精确到0.1)
分析：本题第(1)问是一道代入法复合函数解析式的问题，第(2)、(3)问需用本节知识进行解决．另外在求g(x)的零点时，不妨用函数g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一个零点，另一个便知道了．
答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4；
(2)
(3)±1.7.
设计意图
利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法，以求达到教学目标．本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的课改理念．
小结体会，教师归纳
以学生发言的形式对本堂课进行小结，教师归纳强调：
1．二分法求方程的近似解，要求函数f(x)在某一区间[a，b]内连续，并且在此区间端点的函数值异号．
2．用二分法不能求二次重根．
3．在学习中要注意运用函数与方程的思想、数形结合的思想和“逐步逼近”的数学思想．
设计意图
关注学生学习的主动性，培养学生表达交流数学的能力．学生的课堂小结既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固．
作业回馈，巩固知识
1．教材习题3.1(A组)第3～6题、(B组)第4题．
2．提高作业：
(1)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
①m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
②如果函数的一个零点在原点，求m的值．
(2)用二分法求33的近似值(精确到0.01)．
设计意图
1为巩固作业，2为课外拓展作业，培养学生的探究、创造能力．
课外活动，培养能力
查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)．
设计意图
增强探索精神，培养创新意识．
相关链接
利用函数图象解方程和函数问题
1．求方程x＋lgx＝3的近似解．
求某些方程的解，不容易通过笔算来获得，可以通过函数图象，但往往不太容易直接画图，而且画出的图象也不准确，此时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂的函数都可以很快在图形计算器上画出)，对于我们来说，方法是更重要的．
第一步：按Y＝键，输入函数：y1＝lgx，y2＝3－x.
第二步：按Graph键，画出两个函数的图象，如下图所示：
第三步：按F5键：intersection(求交点)，屏幕会出现对话框：选择第一条曲线、第二条曲线、下限、上限之后，屏幕上会给出交点值：xc：2.58717，yc：0.412826，则x＝2.58717即为方程x＋lgx＝3的近似解．
小结：利用函数图象的交点解方程是一个重要方法，而图形计算器为我们提供了一个强有力的工具．
2．一片树林中现有木材30000米3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y米3，写出x，y间的函数关系式，并且利用图象，求约经过多少年，木材可以增加到40000米3？(结果保留一位有效数字)
画出函数图象后，可以通过用Trace键移动光标，寻找当y＝40000时的x值；也可再作函数y2＝40000的图象，用intersection求图象的交点即可．

文章来源：http://m.jab88.com/j/49992.html

更多