一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，有效的提高课堂的教学效率。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编为大家收集的“生活中的优化问题举例”相信您能找到对自己有用的内容。

§3.4生活中的优化问题举例
教学目标：
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.
重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。
教学方法：尝试性教学
教学过程：
前置测评：
（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题
例1.汽油的使用效率何时最高
材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？
通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v)如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v为多少时，汽油的使用效率最高？
解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v
表示经过原点与曲线上点（v,g）的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f’(90),约为0.67L.
例2.磁盘的最大存储量问题
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
是不是越小，磁盘的存储量越大？
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，计算．
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【引导】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.
（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；
（2）求，解方程，得出所有实数根；
（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，
根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。
作业：P114习题3.4第2、4题

扩展阅读

§1．4．1生活中的优化问题举例(1)

§1．4．1生活中的优化问题举例(1)
【学情分析】：
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
【教学目标】：
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】：
利用导数解决优化问题的基本思路：
【教法、学法设计】：
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.
(2)典型例题讲解例1、把边长为cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？

解设剪去的小方形的边长为，则盒子的为
，
求导数，得
，
选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，
令得或，其中不合题意，故在区间内只有一个根：，
显然，
因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积最大．让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。
(3)利用导数解决优化问题的基本思路：1、生活中的优化问题转化为数学问题
2、立数学模型（勿忘确定函数定义域）
3、利用导数法讨论函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。
(4)加强巩固1例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省?
解：设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则
CD＝，BD＝100-x，公路运费5k元／Tkm，铁路运费3k元／Tkm
y＝，
求出f(x)＝，
令f’(x)＝0，得3600＋9x2＝25x2
解得x1＝15，x2＝-15(舍去)，
∵y(15)＝330k
y(0)＝400k，y(100)≈510k
∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。使学生能熟练步骤.
(5)加强巩固2例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是
令解得（舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小．
提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。
(6)课堂小结1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键
2、要注意不能漏掉函数的定义域
3、注意解题步骤的规范性
(7)作业布置:教科书P104A组1,2,3。
(8备用题目：
1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（A）
ABCD
2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（A）
ABCD
3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为4。
4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是4。
5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为：，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：先求出利润函数的表达式：
再求导函数：
求得极值点：q＝80。只有一个极值点，就是最值点。
故得：q＝80时，利润最大。最大利润是：
注意：还可以计算出此时的价格：p＝30元。
6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则

生活中的优化问题举例导学案及练习题

【学习要求】1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
【学法指导】1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想.2.感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
1.在经济生活中，人们常常遇到最优化问题.例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是
2.利用导数解决最优化问题的实质是.
3.解决优化问题的基本思路是
上述解决优化问题的过程是一个典型的过程.
引言数学源于生活，寓于生活，用于生活.在我们的生活中处处存在数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题.导数可以解决这些问题吗？如何解决呢？
探究点一面积、体积的最值问题
问题如何利用导数解决生活中的最优化问题？
例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
跟踪训练1如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.
探究点二利润最大问题
例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

探究点三费用(用材)最省问题
例3已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

跟踪训练3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

【达标检测】
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()
A.4B.6C.4.5D.8
2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()
A.0.0162B.0.0324
C.0.0243D.0.0486
3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120).已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

生活中的优化问题导学案及练习题

一、基础过关
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()
A．8B.203C．－1D．－8
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()
A.3VB.32VC.34VD．23V
3．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()
A．24cm3B．72cm3C．144cm3D．288cm3
4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()
A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm3
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为()
A.2033cmB．100cmC．20cmD.203cm
二、能力提升
6.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一
边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材
料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

8．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
9．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏
目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的
宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的
高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

10．某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)．(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？

11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？

三、探究与拓展

高二数学向量在物理中的应用举例

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。您知道教案应该要怎么下笔吗？下面是小编为大家整理的“高二数学向量在物理中的应用举例”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目的：
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题
的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；
2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会
数学在现实生活中的作用.
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程：
一、复习引入：
1.讲解《习案》作业二十五的第4题.

2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1：
(1)q为何值时，||最小，最小值是多少?
(2)||能等于||吗?为什么?

探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.

例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||＝10km/h，水流速度||＝2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）？
思考:
1.“行驶最短航程”是什么意思？
2.怎样才能使航程最短？
三、课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.

四、课后作业
1.阅读教材P.111到P.112;2.《习案》作业二十六.

文章来源：http://m.jab88.com/j/49965.html

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