一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,有效的提高课堂的教学效率。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢?以下是小编为大家收集的“生活中的优化问题举例”相信您能找到对自己有用的内容。
§3.4生活中的优化问题举例俗话说,凡事预则立,不预则废。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,让教师能够快速的解决各种教学问题。所以你在写教案时要注意些什么呢?小编经过搜集和处理,为您提供§1.4.2生活中的优化问题举例(2),欢迎大家与身边的朋友分享吧!
§1.4.2生活中的优化问题举例(2)
【学情分析】:
在基本方法已经掌握的基础上,本节课重点放在提高学生的应用能力上。
【教学目标】:
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3.体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】:
利用导数解决生活中的一些优化问题.
【教学难点】:
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题,再用导数解决数学问题,从而得出问题的最优化选择。
【教法、学法设计】:
练---讲---练.
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
(1)复习引入:1、建立数学模型(确立目标函数)是解决应用性性问题的关键
2、要注意不能漏掉函数的定义域为课题作铺垫.
(2)典型例题讲解例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为
(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m
则3.2–2x0,x0,得0x1.6.
设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2–2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6)
y=-6x2+4.4x+1.6,
令y=0得x=1或x=-4/15(舍去),
∴当0x1时,y0,当1x1.6时,y0,
∴在x=1处,y有最大值,此时高为1.2m,
最大容积为1.8m3。
选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题,让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解。
(4)加强巩固1例2、有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的两侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?(注:不计河宽)
解:设,(0),
.
设总的水管费用为().依题意,有
()=)+.
()==.
令()=0,得.根据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,此时,,,,即供水站建在A、D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省。
使学生能熟练步骤.
(5)加强巩固2例3、已知某厂生产件产品的成本为C=(元),问:
(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?
(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?
解:(1)设平均成本为y元,则
.
.
令,得,
当在附近左侧时,0;在=1000附近右侧时,0,
故当=1000时,y取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.
(2)利润函数为,
.
令,解得.
当在附近左侧时,0;在附近右侧时,0.
故当时,L取得极大值.由于函数只有一个使的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.提高提高问题的综合性,锻炼学生能力。
(6)课堂小结1、让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有:立体几何、解析几何、三角函数等。
2、自变量的引入不是固定的,要注意引入自变量的技巧。
(7)作业布置:教科书P104A组4,5,6。
(8备用题目:
1、用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角剪去的正方形的边长为(B)
ABCD
3、做一个容积为底面为正方形的无盖长方体水箱,它的高为4时,最省料。
4、某公司规定:对于小于或等于150件的订购合同,每件售价为280元,对于多于150的订购合同,每超过一件,则每件售价比原来减少1元,当公司的收益最大时订购件数为215。
5、某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;房间的单价每增加10元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆每天每间需花费20元的各种维修费.房间定价多少时,宾馆的利润最大?
解:设宾馆定价为(180+10x)元时,宾馆的利润W最大
其中
6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行1km的费用总和最小?
解:设船速为(0),航行1km的费用总和为,设每小时燃料费为则
.(其中);.
令,解得.
当
,即以每小时20公里的速度航行时,航行1km的费用总和最小。
§1.4.1生活中的优化问题举例(1)
【学情分析】:
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:
1、与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问题;4、效率最值问题。
【教学目标】:
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3.体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】:
利用导数解决生活中的一些优化问题.
【教学难点】:
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题,再用导数解决数学问题,从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】:
利用导数解决优化问题的基本思路:
【教法、学法设计】:
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
(1)复习引入:提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答:导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.
(2)典型例题讲解例1、把边长为cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示),折成一个无盖的盒子,问怎样做才能使盒子的容积最大?
解设剪去的小方形的边长为,则盒子的为
,
求导数,得
,
选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题,
令得或,其中不合题意,故在区间内只有一个根:,
显然,
因此,当四角剪去边长为cm的小正方形时,做成的纸盒的容积最大.让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。
(3)利用导数解决优化问题的基本思路:1、生活中的优化问题转化为数学问题
2、立数学模型(勿忘确定函数定义域)
3、利用导数法讨论函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。
(4)加强巩固1例2、铁路AB段长100千米,工厂C到铁路的距离AC为20千米,现要在AB上找一点D修一条公路CD,已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5,问D选在何处原料从B运到C的运费最省?
解:设AD的长度为x千米,建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式,则
CD=,BD=100-x,公路运费5k元/Tkm,铁路运费3k元/Tkm
y=,
求出f(x)=,
令f’(x)=0,得3600+9x2=25x2
解得x1=15,x2=-15(舍去),
∵y(15)=330k
y(0)=400k,y(100)≈510k
∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。使学生能熟练步骤.
(5)加强巩固2例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分,其中是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
解:由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是
令解得(舍去)
当时,;当时,.
当半径时,它表示单调递增,即半径越大,利润越高;
当半径时,它表示单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为cm时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?
有图像知:当时,,即瓶子的半径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当时,利润才为正值.
当时,,为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为cm时,利润最小.
提高提高问题的综合性,锻炼学生能力。
(6)课堂小结1、建立数学模型(确立目标函数)是解决应用性性问题的关键
2、要注意不能漏掉函数的定义域
3、注意解题步骤的规范性
(7)作业布置:教科书P104A组1,2,3。
(8备用题目:
1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长为,要使其体积最大,则其高为(A)
ABCD
2、设正四棱柱体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为(A)
ABCD
3、设8分成两个数,使其平方和最小,则这两个数为4。
4、用长度为的铁丝围成长方形,则围成的最大面积是4。
5、某厂生产产品固定成本为500元,每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为:,问:产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?
解:先求出利润函数的表达式:
再求导函数:
求得极值点:q=80。只有一个极值点,就是最值点。
故得:q=80时,利润最大。最大利润是:
注意:还可以计算出此时的价格:p=30元。
6、用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角,再焊接而成(如图).问容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解:设容器高为xcm,容器的体积为V(x),则
一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“正余弦定理应用举例导学案及练习题”,仅供参考,欢迎大家阅读。
文章来源:http://m.jab88.com/j/27983.html
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