一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“任意角”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

1.1．1任意角
教学目标
知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.
过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
情感与态度目标
1．提高学生的推理能力；2．培养学生应用意识．
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．
教学过程
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：

③角的分类：
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．
3．探究：教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+k360°，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴k∈Z
⑵α是任一角；
⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；
⑷角α+k720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．
解:{α|α=90°+n180°,n∈Z}．
例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
4．课堂小结
①角的定义；
②角的分类：
③象限角；
④终边相同的角的表示法．
5．课后作业：
①阅读教材P2-P5；②教材P5练习第1-5题；③教材P.9习题1.1第1、2、3题
思考题：已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？
解：角属于第三象限，
k360°+180°＜α＜k360°+270°(k∈Z)
因此，2k360°+360°＜2α＜2k360°+540°(k∈Z)
即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
又k180°+90°＜＜k180°+135°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n360°+90°＜＜n360°+135°(n∈Z)，
此时，属于第二象限角
当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z)，则n360°+270°＜＜n360°+315°(n∈Z)，
此时，属于第四象限角
因此属于第二或第四象限角．

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任意角的三角函数

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。高中教案的内容要写些什么更好呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“任意角的三角函数”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

4-1.2.1任意角的三角函数（二）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：
一、复习引入：
1.三角函数的定义
2.诱导公式
练习1.D
练习2.B
练习3.C
二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，，

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：图略。
例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．

答案：（1）；（2）；
三、巩固与练习：P17面练习
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：作业4

参考资料
例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1与2与
解：如图可知：
tantan
例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1sin≥2tan
解：12

30≤≤150

3090或210270

补充：1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1）；（2）；（3）．

高二数学任意角28

4-1.1.1任意角（2）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
S={β|β=α+k×3600，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β7200的元素β写出来：
（1）600；（2）-210；（3）363014，
解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000600+0×3600=600600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β7200的元素是
-210+0×3600=-210-210+1×3600=3390-210+2×3600=6990
说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，
说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z}
（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z}
同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z}
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
S1={β|β=900+k×3600，k∈Z}={β|β=900+2k×1800，k∈Z}………………（1）
S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z}={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z}
={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z}…………………（2）
师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为
S=S1∪S2={β|β=900+2k×1800，k∈Z}∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z}
={β|β=900+n×1800，n∈Z}
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（思考后）答：{β|β=k×1800，k∈Z},{β|β=k×900，k∈Z}
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
答：{β|β=450+n×1800，n∈Z}
推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z}，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。
例1若是第二象限角，则，，分别是第几象限的角？
师：是第二象限角，如何表示？
解：（1）∵是第二象限角，∴900+k×36001800+k×3600（k∈Z）
∴1800+k×720023600+k×7200
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。
（2）∵，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：
当时，，是第一象限的角；
当时，，是第三象限的角。
∴是第一或第三象限的角。
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（是第一或第二或第四象限的角）
进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结
1．要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
2．要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习

练习2若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在y轴的非负半轴上.
练习3若的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与角的终边相同的角。（200，1400，2600）

（备用题）练习4如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。
（{α|1200+k×3600≤α≤2500+k×3600，k∈Z}；是）

探究活动
经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A组:
1．与终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265（2）－1000o（3）－843o10’（4）3900o
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：
(1)60o(2)－75o(3)－824o30’(4)475o(5)90o(6)270o(7)180o(8)0o
C组：若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？

《任意角三角函数》教学反思

《任意角三角函数》教学反思

“任意角的三角函数”是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础，也是学生难以理解的地方。因此，本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的计算。引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。

通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。

在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小.

但是，要想让学生真正的学会并且灵活运用所学的知识，只靠老师上课讲是远远不够的，还需要学生在课下多做练习才行，所以，在讲课的基础上，我们还需要督促学生多做练习，因为只有熟才能够生巧，在以后的教学中，我还需要多多反思，多多探索。

高二数学任意角27

任意角（1）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：?
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
师：如图3，以OA为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）；2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
师：（2）锐角就是小于900的角吗？
生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
师：（3）锐角就是00～900的角吗？
生：锐角：{θ|00θ900}；00～900的角：{θ|00≤θ900}.
学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现?3903303014701770
生:终边重合.
师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？
生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。
师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：
3×3600+300-3×3600+300
4×3600+300-4×3600+300
……，……，
由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
6.例题讲评
例1设，，那么有（D）．
A．B．C．（）D．
例2用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．
解：(1)第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝
第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝
第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o,k∈Z｝
（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为．
说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
例3（1）如图，终边落在位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o,k∈Z}；终边落在位置，且在内的角的集合是_{－45o,225o}_；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合
是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o,k∈Z}．
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．
解答（1）①；②；
③；④
（2）分别写出：
①终边落在轴负半轴上的角的集合；②终边落在轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（2）①；②；
③；④．
说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．
例4在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1）；（2）；（3）．
解：（1）∵
∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；
（3）
所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．
练习：
（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．
（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（C）
A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，
C．轴或轴上，D．轴正半轴或轴正半轴上
（3）设，
C＝{α|α=k180o+45o,k∈Z}，
则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．
三.本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
四.作业

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