2.1.2椭圆的简单几何性质
教学目标:
(1)通过对椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,并正确地画出它的图形;领会每一个几何性质的内涵,并学会运用它们解决一些简单问题。
(2)培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力;运用数形结合思想解决实际问题的能力。
教学重点:椭圆的简单几何性质及其探究过程。
教学难点:利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程
教学过程:
一、复习引入:
1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹
2.标准方程:,()
二、新课讲解:
1.范围:
由标准方程知,椭圆上点的坐标满足不等式,
∴,,∴,,
说明椭圆位于直线,所围成的矩形里.
2.对称性:
在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。若同时以代替,代替方程也不变,则曲线关于原点对称.
所以,椭圆关于轴、轴和原点对称.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
3.顶点:
确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中,令,得,则,是椭圆与轴的两个交点。同理令得,即,是椭圆与轴的两个交点.
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,,,且,即.
4.离心率:
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.
∵,∴,且越接近,就越接近,从而就越小,对应的椭圆越扁;反之,越接近于,就越接近于,从而越接近于,这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为.
5.填写下列表格:
方程
图像
a、b、c
焦点
范围
对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称
顶点
长、短轴长长轴:A1A2长轴长短轴:B1B2短轴长
离心率
例1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解:把已知方程化为标准方程,,,
∴,
∴椭圆长轴和短轴长分别为和,离心率,
焦点坐标,,顶点,,,.
例2.过适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点、;
(2)长轴长等于,离心率等于.
解:(1)由题意,,,又∵长轴在轴上,
所以,椭圆的标准方程为.
(2)由已知,,
∴,,∴,
所以,椭圆的标准方程为或.
例3.如图,设与定点的距离和它到直线:的距离的比是常数,求点的轨迹方程.
分析:若设点,则,到直线:的距离,则容易得点的轨迹方程.
作业:P47第4、5题
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《椭圆的简单几何性质》听课实录
在预习教材中的例4的基础上,证明:若分别是椭圆的左、右焦点,则椭圆上任一点P()到焦点的距离(焦半径),同时思考当椭圆的焦点在y轴上时,结论如何?(此题意图是引导学生去进一步探究,为进一步研究椭圆的性质做准备)
本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上,根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点,改变了教材中原有安排顺序,引导学生从观察课前预习所作的图形入手,从分析对称开始,循序渐进进行探究。由教师点拨、指导,学生研究、合作、体验来完成。
本节课借助多媒体手段创设问题情境,指导学生研究式学习和体验式学习(兴趣是前提)。例如导入,通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入,有利于激发学生的兴趣。再如,这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质,为了解决这一难点,在课前设计中改变了教材原有研究顺序,让学生从观察一个具体椭圆图形入手,从观察到对称性这一宏观特征开始研究,符合学生的认知特点,调动了学生主动参与教学的积极性,使他们进行自主探究与合作交流,亲身体验几何性质的形成与论证过程,变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时,课前设计中,只要学生能根据不等式知识解出就可以了,但学生采用了多种方法研究,这时教师没有打断他的思路,而是引导帮助他研究,鼓励学生创新,从而也实现了以学生为主,为学生服务。
在离心率这一性质的教学中,充分利用多媒体手段,以轻松愉悦的动画演示,化解了知识的难点。
但也有不足的地方:在对具体例子的观察分析中,设计的问题过于具体,可能束缚了学生的思维,还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟:新课堂是活动的课堂,讨论、合作交流可课堂,德育教育的课堂,应用现代技术的课堂,因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。
文章来源:http://m.jab88.com/j/49858.html
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