一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么如何写好我们的教案呢？小编收集并整理了“高二数学集合的概念教案3”，希望对您的工作和生活有所帮助。

第1课时集合的概念
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称．集合中的每一个对象叫做这个集合的．
2．集合中的元素属性具有：
(1)确定性；(2)；(3)．
3．集合的表示法常用的有、和韦恩图法三种，有限集常用，无限集常用，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和的从属关系，若a是集合A的元素，记作，若a不是集合B的元素，记作．但是要注意元素与集合是相对而言的．
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号表示．
6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作．
7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．
8．真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作．
9．若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，解题时不可忽视．m.JAB88.CoM

例1.已知集合，试求集合的所有子集.
例2.
例2.设集合，，，求实数a的值.

例3.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.?（1）若A是空集，求m的取值范围；?（2）若A中只有一个元素，求m的值；?（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.?

例4.若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、}，且A∩B＝{2，5}，试求实数的值．

变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.

变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。

变式训练3.（1）已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；?
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.?

变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，}，其中a≠0，若A＝B，求q的值

1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．
4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．

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高二数学集合的运算教案4

第2课时集合的运算

一、集合的运算
1．交集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝．
2．并集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝．
3．补集：集合A是集合S的子集，由的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即＝．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝，A∩＝，A∩B=B∩A，A∪A＝，A∪＝，A∪B＝B∪A
2．＝，＝，．
3．，，
4．A∪B＝AA∩B＝A

例1.设全集，方程有实数根，方程有实数根，求.

例2.已知,或.(1)若,求的取值范围;(2)若,求的取值范围.

变式训练1.已知集合A=B=当m=3时，求.

变式训练2：设集合A=B
（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值范围；

1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．
2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．
3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.

高二数学矩阵的概念001

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？以下是小编为大家收集的“高二数学矩阵的概念001”供大家借鉴和使用，希望大家分享！

课题矩阵的概念时间
教学目的学习矩阵相关的概念
重点难点1．矩阵概念；2特殊矩阵
时间
分配教学过程教学方法
教学手段
30ˊ一、导言
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。
二、新授
1．矩阵定义：由个数排成的行列的表
称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。
2．特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当时，称为阶方阵
（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
叫做列矩阵
（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵
3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵
4．常用特殊矩阵：
（1）对角矩阵：
（2）数量矩阵：
讲授法
板演

时间
分配教学过程教学方法
教学手段
（3）单位矩阵：
（4）三角矩阵：
称作上三角矩阵（
称作下三角矩阵。

四、小结：本节主要介绍敌阵概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵，要求掌握这些内容。
课后记事注意矩阵与行列式从形式上的区别。

2017高二数学函数的概念

2017高二数学函数的概念

一.知识网络
二.高考考点
1.映射中的象与原象的概念;
2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.
三.知识要点
(一)函数的定义
1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
3、认知:
①注意到现代定义中A、B是非空数集,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.
②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.
(二).映射的概念
将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B
2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.
3、认知:
映射定义的精髓在于任一(元素)对应唯一(元素),即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可一对多,允许多对一.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为满射和非满射两类.
集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B与f：B→A一般情况下是不同的映射.
（三）、函数的表示法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.
3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.
图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
认知:函数符号的意义
在函数的概念中,我们用符号y=f(x)表示y是x的函数这句话.
其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则f表示解析式蕴含的对自变量x施加的一套运算的法则,即一套运算的框架.
具体地,对于函数f(x)=5-2x+3(x1)①对应法则f表示这样一套运算的框架:5()－2（）＋3，（）＞１．
即f:5()-2()+3,()1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5-2a+3(a1);
f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5-2x+3(x1);
f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x))=5(x)-2g(x)+3(g(x)1)②
感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:
f(x)的解析式f[g(x)]的表达式
我们将上述替换形象地称之为同位替换.
显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于等量替换，又高于等量替换，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是等量替换所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.
四.经典例题
例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中()
分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,故当0≤t≤1时,ｓ＝，,由此否定A,B,D,应选C.
分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.
当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1,ΔS2...,ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)=的凹凸性可排除D,故应选C.
例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数y=f(x)的解析式,定义域及值域.
分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4分划讨论的区间.
解:(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时,ｙ＝,即;
(2)当2(3)当4因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为
由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪∪=[0,6].
又当0≤x≤2时,,即此时0≤y≤2;当2当4点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.
例3.(1)已知f(x)=x2+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;(2)已知,求f(x＋1)的解析式.
解:(1)∵f(x)=x2+2x-1(x2)∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+12)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2(x1/2)
(2)由已知得∴以x替代上式中的得f(x)=x2-1(x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1)2-1(x+1≥1)即f(x+1)=x2+2x(x≥0)
点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是换元法,还是上面实施的同位替换,它们都包括两个方面的替换:
(1)解析式中的替换;(2)取值范围中的替换.根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.
例4.设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)分析:为将不等式f(1-x)解:由题设知,在y=f(2x+1)中有-1≤x≤1-1≤2x+1≤3,
∴运用同位替换的思想在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3①又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1②
∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1(-1≤x-1≤3)∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1(-1≤1-x≤3)即f(1-x)=x2-4x+4(-2≤x≤2)
于是有f(1-x)因此,所求不等式f(1-x)点评:在这里,三个不同函数f(2x+1),f(x-1),f(x+1)均以x为自变量,x是一仆三主.因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意两方替换,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.
例5.(1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
①若映射f满足f(a)f(b)≥f(c),则映射f的个数为;
②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为;
③若映射f满足f(a)-f(b)=f(c),则映射f的个数为.
(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为.
分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.
解:(1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
①列表法：∵f(a)f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个.
②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察f(a)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101
由此可知符合条件的映射有7个.
③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c)f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.
（i）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.
（ii）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0}{-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
此时符合条件的映射有4个.
（iii）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1}{-1,0,1}:0=1+(-1),0=(-1)+1∴此时符合条件的映射f有2个
于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.
(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.
(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;
(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有×3=12个;
(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.
点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.
例6.已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着一般与特殊之间的辩证关系,想到从特殊(特殊取值或特殊关系)入手去破解一般,以寻出目标.
解:(1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)①又令x=0,y=0得f(0)=-1②
令x=-1,y=-1得f(-2)=2f(-1)+2∵f(-2)=-2,∴f(-1)=-2③∴将②、③代入①得f(1)=1.
(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2④
根据④,运用阶差法得f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)]∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+即f(t)=∴f(t)=tt2+t-2=0(t-1)(t+2)=0t=1或t=-2
于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.
点评:函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.
五.高考真题
(一)选择题
1.在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0A.0B.1C.2D.3
分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x12.已知,则f(x)的解析式可取为()
A.B.C.D.
分析:运用直接法．令=t，则x=(t≠-1),∴f(t)=(t≠-1)∴f(ｘ)=(x≠-1)应选C
说明:注意到对于,有=－1+≠-1,∴对于f(x)应有x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.
3.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为().
A.1B.2C.3D.4
分析:从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴方程f(x)=x或或x=2或x=2,故本题应选C
4.设函数f(x)=,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为()
A.∪[0,10]B.∪[0,1]C.∪[1,10]D.[-2,0]∪[1,10]
分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.
f(x)≥1或x≤-2或0≤x≤10,故应选A
运用特取法:取,则,由此否定C,D;取x=2,得,由此否定B,故本题应选A
(二)填空题
1.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=.
分析:由f(x)=x2+4x+3得f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
∴由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24
故有∴5a-b=2
2.对于函数定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)②f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
③;④.
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是.
分析:根据对数的运算法则知②正确,①不正确;借助f(x)=lgx的图象,考察的几何意义;经过点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线的斜率,可知③正确;注意到f(x)=lgx的图象上凸,可知④正确.故本题应填②、③、④.
3.已知,则不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集是.
分析:注意到原不等式中f之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化.原不等式或或x-2
∴原不等式的解集为.
(三)解答题
1.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
分析:求对称曲线的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,分类讨论乃是解题取胜的杀手锏.
解:(1)设点Q(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则有
①∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)图象上∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
即y=-x2+2x故有g(x)=-x2+2x
(2)g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0当x≥1时,2x2-x+1≤0,此不等式无解;当x1时,2x2+x-1≤0.
∴原不等式的解集为.
点评:以点对称入手破解对称问题,以绝对值的零值分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.
2.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,=(分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6
(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时,求函数的最小值.
分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用=建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)g(x)的解集，探求所给函数的最小值.
解:(1)由已知得A(-,0),B(0,b),从而=(,b)、又=(2,2),故得∴所求k=1,b=2.
(2)f(x)g(x)x+2x2-x-6x2-2x-80-2===(x+2)+-5(分离整式项)②
又由①知0∴由②得-5=-3当且仅当x+2=即x=-1(满足①式)时等号成立.
∴函数的最小值为-3.
点评:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项.分离整式项的手法,是在分子实施配凑,将分子表示为分母的函数式.
3.已知函数f(x)=(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k1,解关x的不等式.
分析:对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化(为整式不等式)-求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.
解:(1)f(x)-x+12=0-x+12=0将x1=3,x2=4代入方程得解得∴f(x)=
(2)原不等式f(x)-(2-x)[]0
(x-2)(x-1)(x-k)0※
(I)当12;(II)当k=2时,由(※)得(x-2)2(x-1)012;
(III)当k2时,由(※)得1k.于是可知,当1当k2时,原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).
点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用根轴法，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.
4.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数
(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+),其中是常数,且∈,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
分析:对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于分段探求,综合结论的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x)f(x+),又h(x)=cos4x,于是可由f(x)f(x+)=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的一分为二的变形入手.
解:(1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞)Dg=R∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞)时，;
当xDf且x∈Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1;又x∈Df且xDg的x不存在,故得
(2)当x≠1时,=(x-1)++2∴若x1,则x-10,h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
若x1,则x-10,故有h(x)≤0,当且仅当x=0时等号成立.又当x=1时,h(x)=1.
∴函数h(x)的值域为∪{1}∪.
(3)由题意得h(x)=f(x)f(x+)①
又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x)②
∴由①、②知,令f(x)=cos2x+sin2x(x∈R)=则有g(x)=f(x+)==cos2x－sin2x
于是有h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos22x-sin22x=cos4x.
点评:(I)对于(1),务必要注意逐段考察,不可忽略f(1)=1.
(II)既要注意(3)中g(x)=f(x+),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x)f(x+).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.
5.已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)(1)求函数f(x)的表达式;(2)证明:当a3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.
分析:由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用待定系数法探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.
解:(1)由题意设f1(x)=ax2,f2(x)=(k0),由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A,B,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)=∴f(x)=x2+
(2)证法一:由f(x)=f(a)得x2+==－x2+
在同一坐标系内作出f2(x)=与f3(x)=－x2+的大致图象,注意到f2(x)=的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)=－x2+的图象则是以点(0,)为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)=与f3(x)=－x2+的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.①
又∵f2(2)=4,f3(2)=-4∴当a3时,f3(2)－f2(2)=-80,
∴当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在y=f2(x)图象的上方.
∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点.即方程f(x)=f(a)有两个正数解.②
于是由①、②知,当a3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
证法二:由f(x)=f(a)得x2+=(x-a)(x+a-)=0
∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解.①
又方程x+a-=0可化为ax2+－8=0②
由a3得方程②的判别式Δ=a4+32a0
∴由②解得x2=,x3=
∵x20.x30,∴x1≠x2且x2≠x3③
此时,若x1=x3,则有a=3a2=a4=4aa=0或a=
这与a3矛盾,故有x1≠x3④
于是由①、③、④知,原方程有三个实数解.
点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.

集合的概念与运算

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《集合的概念与运算》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算
高考要求
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质
知识点归纳
定义：一组对象的全体形成一个集合.
特征：确定性、互异性、无序性.
表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
分类：有限集、无限集.
数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.
关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.
运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集
性质：AA；φA；若AB，BC，则AC；
A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C(CA)＝A；
C(AB)＝(CA)∩(CB).
方法：韦恩示意图,数轴分析.
注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。
④区分集合中元素的形式：如；；；；；；。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
题型讲解
例1已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1m＜0.
综合①②知-1m≤0，∴Q={m∈R|-1m≤0}.
答案：C
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
例3已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由得
x2+（m－1）x+1=0.①
∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.
评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.
例4设，求实数的取值范围。
分析：若满足，则集合B需分两种情况求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。
解：由.
∵，∴
当，即无实根，由，
即，解得；
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
当时，由根与系数的关系：
综上所得。
例5求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
解：如图先画出文氏图，不难看出不符合条件
的数共有
（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
例6已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。
分析：此题的关键是理解符号是两层含义：
解：∵∴，即＝0，
解得
当时，，为A中元素
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或。
另法：∵∴，
∴＝0且
∴或。
变式思考题：
同时满足条件：①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个：
.
例7某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解：设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，
既学舞蹈又学唱歌的人又z人，
由题意可列方程：
解得
所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人。
例8对于集合,是否存在实数？若存在，求出的取值，若不存在，试说明理由。
解：∴,即二次方程:
，
,解之得
故存在实数.
例9已知集合，,
,求的值。
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得
又因为当时，与题意不符
所以，.
例10已知为全集，,.
解:由
所以
由
例11已知集合，求的值.
解：
（1）当含有两个元素时：；
（2）当含有一个元素时：
若
若
综上可知：。
小结：
1.正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；
2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。
3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。
4.注意符号的理解，相互之间的转化：例如等等.
学生练习
题组一：
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（A）∩B等于
A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}
解析：A={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），
∴（A）∩B={4}.
答案：D
3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=PB.P∩QQC.P∪Q=QD.P∩QP
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是______.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，
则（Q）=｛3｝，（P）={2，3}，易见（Q）∩P=.
答案：（Q）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：BA，A∈C，B∈C
题组二：
1.设全集为实数集R，集合M={x|x21999x20000},P={x||x1999|a}(a为常数）,且1P,则M与P满足（）
(A)(B)
(C)(D)
2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB
成立的所有a的集合是（）
(A){a|1a9}(B){a|6a9}(C){a|a9}(D)
3．设集合A={x|x2a},B={x|x2},若A∩B=A,则实数a的取值范围是（）
（A)a4(B)a4(C)0a4(D)0a4
4．若{1,2}A{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为。
5．设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若BA,则实数a的不同取值个数为。
6.设全集I=R，集合A={x|x2x2=y2,yR,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则
=.
7．若集合A={32x,1,3},B={1,x2},且AB=A,求实数x.
8．设全集I=R，A={x|0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩.
9．已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩B=,求实数a的取值范围。
10．已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。
11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x|=1},且A∩B,A∩C=,求实数a的值。
参考答案：
1.D2．B.3．B.
4．75．36.(,0][2,+).7．x=3或x=.
8．{1}.9．a或a210．m3/211．a=5
课前后备注

文章来源：http://m.jab88.com/j/45093.html

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