一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢?下面的内容是小编为大家整理的圆的标准方程,希望对您的工作和生活有所帮助。
总课题圆与方程总课时第33课时
分课题圆的标准方程分课时第1课时
教学目标掌握圆的标准方程,并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.会用代定系数法求圆的基本量、、.
重点难点根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.会用代定系数法求圆的基本量、、.
引入新课
问题1.在前面我们学习了直线的方程,只要给出适当的条件就可以写出直线的方程.那么,一个圆能不能用方程表示出来呢?
问题2.要求一个圆的方程需要哪些条件?如何求得呢?
1.圆的标准方程的推导过程:
2.圆的标准方程:_________________________________________________________.
例题剖析
例1求圆心是,且经过原点的圆的标准方程.
例2已知隧道的截面是半径为的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为,高为的货车能不能驶入这个隧道?
思考:假设货车的最大宽度为那么货车要驶入该隧道,限高为多少?
例3(1)已知圆的直径的两个端点是,.求该圆的标准方程.
(2)已知圆的直径的两个端点是,.求该圆的标准方程.
例4求过点,,且圆心在直线上的圆的标准方程.
巩固练习
1.圆:的圆心坐标和半径分别为__________;__________.
2.圆心为且与直线相切的圆的标准方程为.
3.以为圆心且过点的圆的标准方程为.
4.若点在圆外,则实数的取值范围是.
5.求过点且与轴切于原点的圆的标准方程.
课堂小结
圆的标准方程推导;根据圆的方程写出圆心坐标和半径;用代定系数法求圆的标准方程.
课后训练
一基础题
1.写出满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心在原点,半径为:;
(2)经过点,圆心为:;
(3)经过点,圆心为:;
(4)与两坐标轴都相切,且圆心在直线上:;
(5)经过点和,且圆心在轴上:.
2.求以点为圆心,并与轴相切的圆的标准方程.
3.已知点和,求以线段为直径的圆的标准方程.
4.已知半径为的圆过点,且圆心在直线上,求圆的标准方程.
5.求过两点和,且圆心在直线上的圆的标准方程.
二提高题
6.已知点在圆的内部,求实数的取值范围.
7.若圆经过点且和直线相切,并且圆心在直线上,
求圆的标准方程.
俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“圆的标准方程(1)”,欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!
教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;
2.通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力;
3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学方法
选用引导―探究式的教学方法。
教学手段
借助多媒体进行辅助教学。
教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹?
生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);②写出适合某种条件p的点M的集合P={M︳p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示]
师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题]
师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52即x2+y2=25.
若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程?
生:x2+y2=r2.
师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?
生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即,亦即x2+y2=r2.
师:x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的?
生:此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合,
由两点间的距离公式得
即:(x-a)2+(y-b)2=r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师:方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.
特别:当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:x2+y2=r2.
师:圆的标准方程由哪些量决定?
生:由圆心坐标(a,b)及半径r决定。
师:很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
1、写出下列各圆的标准方程:[多媒体演示]
①圆心在原点,半径是3:________________________
②圆心在点C(3,4),半径是:______________________
③经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3):_______________________
2、变式题[多媒体演示]
①求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案:(x-1)2+(y-3)2=
②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2,写出圆心坐标和半径。
答案:C(a,0),r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1]已知圆的方程是x2+y2=17,求经过圆上一点P(,)的切线的方程。
师:你打算怎样求过P点的切线方程?
生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。
师:斜率怎样求?
生:。。。。。。
师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)
生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数
半径OP的斜率K1=,所以切线的斜率K=-=-
所以所求切线方程:y-=-(x-)
即:x+y=17(教师板书)
师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?
生:。。。。。。
师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P(,)有何关系?
(若看不出来,再看一例)
[例1/]圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。
答案:2x+3y=13即:2x+3y-13=0
师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)
生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。
师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!
生:xox+yoy=r2.
师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?
生:。。。。。。
[例2]已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点P(xo,yo)的切线的方程。
解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率K1=,∴切线的斜率K=-=-
∴所求切线方程:y-yo=-(x-xo)
即:xox+yoy=xo2+yo2亦即:xox+yoy=r2.(教师板书)
当点P在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。
归纳总结:圆的方程可看成x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换,可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。(精确到0.01M)
引导学生分析,共同完成解答。
师生分析:①建系;②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。
解:以AB所在直线为X轴,O为坐标原点,建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上,设为
(0,b),半径为r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上,于是得到方程组:
解得:b=-10.5,r2=14.52
∴圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y0
得:y=
≈14.36-10.5=3.86(M)
答:支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本P77练习2,3
师:通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,試求过P点的圆的切线方程。
课本P81习题7.7:1,2,3,4
(二)预习课本P77~P79
教学设计说明
设计思想:
在教学过程中,教师遵循数学发展规律,并依据建构主义教育理论,创设一系列数学实验环境,在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明,强调主动建构,从深层次加强学生对知识的感知度,使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
设计理念:
设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与,课堂上建立平等、互助、融洽的关系,师生共同研究,共同提高。
设计思路:
本节课的设计与教材的呈现方式有所不同,教材只是教学的蓝本,教师在理解教材编写意图的基础上,应发挥主观能动作用,对教材资源进行再加工、再创造,这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合,也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此,本节在给出圆的标准方程的过程中,运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想,使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理,同时引导学生对照圆的几何形状,观察和欣赏圆的方程,体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点,设计三个例题。第一、二个例题,从特殊到一般给出切线方程,培养学生探究问题的兴趣,不断完善自己的认知结构。第三个例题,充分利用多媒体的动感演示,刺激学生的感官,引起更强的注意,从而使学生理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,增强应用意识;同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”,让学生带着问题走进课堂,又带着问题走出课堂,激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来,教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境,一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会,激发学生求知的欲望,促使学生掌握知识,解决问题。
媒体设计:
采用powerpoint媒体。本节知识容量大,同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容,故采用演示文稿的方式,增加信息量,节省时间。同时动态演示图形,刺激学生的感官,引起更强的注意,提高课堂教学效率。
第02课时
2.1.2圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程,掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程,进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么?
二、新课导学
◆探究新知(预习教材P12~P16,找出疑惑之处)
如图:设圆的半径是,
点从初始位置(时的位置)出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动,点绕点转动的角速度为,以圆心为原点,所在的直线为轴,建立直角坐标系。显然,点的位置由时刻惟一确定,因此可以取为参数。如果在时刻,点转过的角度是,坐标是,那么。设,那么由三角函数定义,有
即
这就是圆心在原点,半径为的圆的参数方程,其中参数有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)。考虑到,也可以取为参数,于是有
◆应用示例
例1.圆的半径为2,是圆上的动点,是轴上的定点,是的中点,当点绕作匀速圆周运动时,求点的轨迹的参数方程.
(教材P24例2)
解:
◆反馈练习
1.下列参数方程中,表示圆心在,半径为1的圆的参数方程为()
A、B、
C、D、
2、如图,设ABM为一钢体直杆,,A点沿轴滑动,B点沿轴滑动,则端点M的运动轨迹的参数方程为()(提示:取为参数)
A、B、
C、D、
三、总结提升
◆本节小结
1.本节学习了哪些内容?
答:熟悉圆的参数方程,进一步体会参数的意义
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为()
A.很好B.较好C.一般D.较差
课后作业
1.曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)
A.B.C.1D.
2、动点M作匀速直线运动,它在轴和轴方向的分速度分别为和,直角坐标系的单位长度是,点M的起始位置在点处,求点M的轨迹的参数方程。
3、已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点,求证为定值。
4.(选做题)已知是圆心在,半径为2的圆上任意一点,求的最大值和最小值。
文章来源:http://m.jab88.com/j/45083.html
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