一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,帮助授课经验少的教师教学。怎么才能让教案写的更加全面呢?小编收集并整理了“函数的最值”,仅供参考,欢迎大家阅读。
1.3.1.2函数的最值一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,高中教师要准备好教案,这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,帮助高中教师提高自己的教学质量。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“§1.3.3函数的最大(小)值与导数(1课时)”,供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。
§1.3.3函数的最大(小)值与导数(1课时)
【学情分析】:
这部分是在高一学过的函数单调性的基础上,给出判定可导函数增减性的方法,然后讨论函数的极值,由极值的意义,结合图象,得到利用导数判别可导函数极值的方法,最后在可以确定函数极值的前提下,给出求可导函数的最大值与最小值的方法
【教学目标】:
(1)使学生理解函数的最大值和最小值的概念,能区分最值与极值的概念
(2)使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤
【教学重点】:
利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
【教学难点】:
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.熟练计算函数最值的步骤
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
复习引入设函数f(x)在点x0附近有定义,f(x0)是函数f(x)的一个极大值f(x0),x0是极大值点,则对x0附近的所有的点,都有f(x)____f(x0)
设函数f(x)在点x0附近有定义,f(x0)是函数f(x)的一个极小值f(x0),x0是极小值点,则对x0附近的所有的点,都有f(x)____f(x0)知识的巩固
概念对比回顾以前所学关于最值的概念,形成对比认识:
函数最大值的概念:
设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:
(1)对于任意的_____,都有f(x)___M
(2)存在__________,使得_______
则称M为函数y=f(x)的最________值
函数最小值的概念:
设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:
(1)对于任意的_____,都有f(x)___M
(2)存在__________,使得_______
则称M为函数y=f(x)的最________值
思考:你觉得极值与最值的区别在哪里?让学生发现极值与最值的概念区别,
概念辨析练习(1)函数的极大(小)值一定是函数的最大(小)值,极大(小)值点就是最大(小)值点
(2)函数的最大(小)值一定是函数的极大(小)值,最大(小)值点就是极大(小)值点
(3)函数y=f(x)在x=a处取得极值是函数y=f(x)在x=a处
取得最值的____________(充要性)通过练习深化他们对函数取极值与最值的区别
对极值与最值概念的深化理解(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.
(2)函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质,函数的极值是描述函数在某个局部的性质
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个点评提高
闭区间上的函数最值问题(1)在闭区间上函数最值的存在性:
通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像,并指出函数的最值及相应的最值点:
a.函数y=-x+2在区间[-3,2]的图像
b.函数在区间[1/2,3]的图像
c.函数在区间[-3,0]的图像
d.函数图像如下:
一般性总结:
在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.
(连续函数的闭区间定理——数学分析)
(2)在闭区间上函数最值点的分析:
既然在闭区间上连续的函数在上必有最值,那么最值点会是哪些点呢?
通过上述图像的观察,可以发现最值点可能是闭区间的端点,函数的极值点
有无其他可能?
没有——反证法可说明本节的主要内容及主要结论,也是求函数最值的理论根据和方法指引
需要注意的地方判断正误:
(1)在开区间内连续的函数一定有最大值与最小值
(2)函数在闭区间上一定有最大值与最小值
(3)函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.
说明:
开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值(1)F;(2)F;(3)T
例题精讲求闭区间上的连续函数的最值
对于教材例5的处理方式:
此题课本直接求出了极值和相应的极值点,个人认为还是让学生经历一个求极值的过程:
先要求学生求函数在区间上的极值及极值点
再提问学生是否可以马上下结论:最值是多少?
务必让学生牢记:求函数的最值不光要求极值,还要计算函数在闭区间端点处的函数值
整个例题的使用务必让学生体会求函数最值的方法与步骤
求闭区间上的连续函数的最值,务必勤加练习,方能熟练掌握其方法,思维方法周密、不缺漏
除教材提供的练习外还可以补充以下练习:
在[0,3]上的最大值和最小值
在上的最大值和最小值
在上的最大值和最小值
在[0,4]上的最大值和最小值
上的最大值和最小值
求闭区间上连续函数最值的方法与步骤总结设函数在上连续,在内可导,则求在上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求在内的极值;
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
课后练习:
1、函数在区间上的最大值和最小值分别为()
A5,-15B5,-4C-4,-15D5,-16
答案D
2、函数在区间上的最小值为()
ABCD
答案D
3、函数的最大值为()
ABCD
答案A令,当时,;当时,,,在定义域内只有一个极值,所以
4、函数在上的最大值是__________最小值是__________
答案
5、函数在区间上的最大值是
答案,比较处的函数值,得
6、求函数
(1)求函数的单调递减区间
(2)函数在区间上的最大值是20,求它在该区间上的最小值
答案:
,为减区间
为增区间
所以
a=-2,所以最小值为
学案17含绝对值的函数
一、课前准备:
【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,主要有以下3类:
1.形如的函数,由于,因此研究此类函数往往结合函数图像,可以看成由的图像在x轴上方部分不变,下方部分关于x轴对称得到;
2.形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到;
3.函数解析式中部分含有绝对值,如等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再做出图像进行研究.
【自我检测】
1.函数的单调增区间为_.
2.函数的单调减区间为_______.
3.方程有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是___________.
4.函数在上是增函数,则a的取值范围是___________.
5.函数的值域为___________.
6.函数是奇函数的充要条件是___________.
二、课堂活动:
【例1】填空题:
(1)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)f(a+1).(填写“”,“=”,“”之一).
(2)函数的图像与函数的图像的所有交点的横坐标之和为________.
(3)函数的定义域为,值域为[0,2],则b-a的最小值为_______.
(4)关于函数,有下列命题:①其图像关于y轴对称;②的最小值为lg2;③的递增区间为(-1,0);④没有最大值.其中正确的是_____________(把正确的命题序号都填上).
【例2】设a为实数,函数
(1)若函数是偶函数,试求a的值;
(2)在(1)的条件下,求的最小值.
【例3】设函数为常数)
(1)a=2时,讨论函数的单调性;
(2)若a-2,函数的最小值为2,求a的值.
课堂小结
三、课后作业
1.函数关于直线___________对称.
2.函数是奇函数,则________;___.
3.关于x的方程有4个不同实数解,则a的取值范围是__________.
4.函数的递减区间是_______.
5.函数的值域为__________.
6.函数的值域是___________.
7.已知,则方程的实数解的个数是___________.
8.关于x的方程有唯一实数解,则m的值为___________.
9.已知函数(a为正常数),且函数与的图像在y轴上的截距相等.
(1)求a的值;
(2)求函数+的单调递增区间.
10.已知函数.
(1)研究函数的单调性;
(2)求函数在上的值域(t0).
四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析
参考答案:
【自我检测】
1.2.3.4.(0,1)5.6..
课堂活动
例1.(1);(2)4;(3);(4)①②④.
例2.(1)由成立得;(2)时,是增函数,最小值为,由是偶函数,关于y轴对称可知,函数在R上的最小值为.
例3.(1)时,,结合图像知,函数的单调增区间为,减区间为;
(2),,结合图像可得
当时函数的最小值为=2,解得a=3符合题意;
当时函数的最小值为,无解;
综上,a=3.
课后作业
1.;2.0,0;3.;4.;
5.;6.{2,0,-2};7.2;8.-2
9.(1);(2)减区间,增区间
10.(1)增区间,减区间;
(2)时,值域为;,时,值域为;
时,值域为.
23.函数的极值与最值
一、课前准备:
【自主梳理】
1.若函数f(x)在点x0的附近恒有(或),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点).
2.求可导函数极值的步骤:
①求导数;
②求方程的根;
③检验在方程根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极值;如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极值.
3.求可导函数最大值与最小值的步骤:
①求y=f(x)在[a,b]内的极值;
②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
【自我检测】
1.函数的极大值为.
2.函数在上的最大值为.
3.若函数既有极大值又有极小值,则的取值范围为.
4.已知函数,若对任意都有,则的取值范围是.
(说明:以上内容学生自主完成,原则上教师课堂不讲)
二、课堂活动:
【例1】填空题:
(1)函数的极小值是__________.
(2)函数在区间上的最小值是________;最大值是__________.
(3)若函数在处取极值,则实数=_.
(4)已知函数在时有极值0,则=_.
【例2】设函数.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.
【例3】如图6所示,等腰的底边,高,点是线段上异于点的动点,点在边上,且,现沿将折起到的位置,使,记,表示四棱锥的体积.
(1)求的表达式;
(2)当为何值时,取得最大值?
课堂小结
三、课后作业
1.若没有极值,则的取值范围为.?
2.如图是导数的图象,对于下列四个判断:?
①在[-2,-1]上是增函数;?
②是的极小值点;?
③在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;?
④是的极小值点.?
其中判断正确的是.?
3.若函数在(0,1)内有极小值,则的取值范围为.
4.函数,在x=1时有极值10,则的值为.
5.下列关于函数的判断正确的是.
①f(x)0的解集是{x|0x2};?
②f(-)是极小值,f()是极大值;?
③f(x)没有最小值,也没有最大值.?
6.设函数在处取得极值,则的值为.
7.已知函数(为常数且)有极值9,则的值为.
8.若函数在上的最大值为,则的值为.
9.设函数在及时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
10.已知函数,求函数在[1,2]上的最大值.
四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析
参考答案:
【自我检测】
1.72.3.4.
例1:(1)0(2)1,(3)3(4)11
例2:解:(Ⅰ),
当时,取最小值,
即.
(Ⅱ)令,
由得,(不合题意,舍去).
当变化时,的变化情况如下表:
递增极大值
递减
在内有最大值.
在内恒成立等价于在内恒成立,
即等价于,
所以的取值范围为.
例3:解:(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,,
V(x)=()
(2),所以时,,V(x)单调递增;时,V(x)单调递减;因此x=6时,V(x)取得最大值;
课后作业
1.[-1,2]2.②③3.0b14.a=-4,b=11
5.?①②6.17.28.
9.解:(Ⅰ),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以,
解得或,
因此的取值范围为.
10.解:∵,∴
令,即,得.?
∴f(x)在(-∞,0),上是减函数,在上是增函数.?
①当,即时,在(1,2)上是减函数,?∴.
②当,即时,在上是减函数,
?∴.
③当,即时,在上是增函数,?
∴.
综上所述,当时,的最大值为,?
当时,的最大值为,
当时,的最大值为.
文章来源:http://m.jab88.com/j/44905.html
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