《向量的概念及表示》教学实录
1基本情况分析
1.1授课对象
学生来自四星级普通高中,学生基础相对较好,进入高中后,经过培养,课堂上初步具有思考、交流、探究的意识和能力.
1.2教材分析
所用教材为《普通高中课程标准实验教科书数学(必修4)》(苏教版).本节内容为第2章第1节第1课时.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.
在教学中,我们通过位移、力等实例,了解向量的实际背景,通过物理中矢量和标量的区别,认识向量和数量的区别,理解平面向量的含义.向量是数形结合的载体,教科书一直坚持从形和数两个方面来建构和研究向量,且这种数形结合的方法一直贯穿本章的始终.
教学目标(1)了解向量的物理实际背景,理解平面向量的一些基本概念,能正确进行平面向量的几何表示;(2)经历类比方法学习向量及其几何表示的过程,体验对比理解向量基本概念的简易性,从而养成科学的学习方法;(3)通过本节的学习,让学生感受向量的概念、方法源于现实世界,从而激发学生学习数学的热情,培养学生学习数学的兴趣.
教学重点向量及其几何表示,相等向量、平行向量的概念.
教学难点向量的概念,对平行向量(也叫做共线向量)的理解.
2教学过程
2.1创设情境,引入概念
问题1由于大陆和台湾没有直航,因此2006年春节探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,这里发生了两次位移.
在物理学中,我们用一条带箭头的线段表示位移.位移是矢量,矢量有什么特征?
设计意图通过物理课中学过的位移这一矢量,抽象形成数学中的向量概念,建立学习向量的认知基础.
2.2学生活动,理解概念
师:能否再举一些既有距离又有方向的量?
生:力,速度,加速度等.
设计意图通过实例使学生认识理解向量概念的实质,让学生大量举例,体验到数学中的向量源于现实.
2.3建构数学,完善概念
师:我们把既有大小又有方向的量称为向量.向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为,向量也可用小写字母a,b,c来表示.
师:向量的大小称为向量的长度(或称为模),记作.
师:既然向量只有大小和方向这两个要素,接下来我们就抓住这两要素来研究向量.如果从向量的大小角度来考虑,同学们觉得有哪些向量比较特殊?
生:我觉得有两类向量比较特殊,一类是模为1的向量,还有一类是模为0的向量.
师:在实数中我们有两个特殊的数:0和1.类似的,我们在向量中也有两类比较特殊的向量:模为1和0的向量.我们把1个单位长度的向量称为单位向量.单位向量的模为1,它的方向确定吗?
生:方向不能确定,是任意的.
师:单位向量有且只有一个吗?
生:不是.各个方向上都有单位向量.
师:在平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?
生:它们终点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.
师:很好,这位同学观察地非常仔细!在PPT屏幕(图1)上我们可以看到任何一方向上都有单位向量,如果我们将这些向量的模不断缩小(动画演示),直至模为0时,得到一个新的向量,大家觉得这样的向量怎么命名比较合理?
生:零向量.
师:很好,我们把长度为0的向量称为零向量,记作0.
师:0与0有什么区别呢?
生:数0只有大小;而0是个向量,既有大小又有方向.
师:0的大小是0,而方向又如何呢?
生:它的方向是任意的.
师:很好!因为它的起点与终点重合,所以方向是任意的.
概念辨析:
辨析1:单位向量有且只有一个吗?
辨析2:零向量有且只有一个吗?
设计意图教师在课堂教学时应结合教学内容,让学生经历知识的发现过程,体验获得知识与能力的成功与喜悦.笔者从特殊实数0和1的研究类比到特殊向量(零向量、单位向量)的研究,抓住向量概念中的关键词“大小”,引出单位向量与零向量这两个特殊向量,利用单位向量变零向量的动画演示,使学生直观感受零向量的方向是任
意的,真正理解教材中零向量方向规定的合理性.通过概念辨析,进一步理解单位向量和零向量这两个概念.
师:刚刚我们是从向量的大小角度来考虑的,如果仅从向量的方向角度来研究,你觉得还有哪些特殊关系的向量呢?
生:方向相同或相反向量.比如图2中a与b方向相反,a与c方向相同.
师:我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量.
师:这里定义的平行向量全面吗?
生:还少了0.
师:很好!我们规定0与任意向量都平行.因此平行向量这个定义是分两类来说明的,今后我们谈到向量平行时同学们不能忘记零向量的情况.
概念辨析:
辨析3:由上述结论可知a0,b0,那么ab吗?
辨析4:若ab,bc,则ac,这个结论对吗?
辨析5:若a,b是不平行的两个向量,若存在一个c使得ac,bc,则c=.
设计意图:通过概念辨析,对“零向量与任一向量平行”这一规定有全面正确的理解.
教师接下来出示了一道练习题:如图3,a与b是平行向量吗?
生:这两个向量的方向相反,所以它们是平行向量.
师:很好.在平行向量里如果再把大小考虑在内,大家觉得又会有什么更加特殊的平行向量呢?
生:模相等的平行向量.
师:我们把长度相等且方向相同的向量称为相等向量.同学们,你能构造一个图形其中有相等向量吗?
生:如图4,在平行四边形ABCD中,.
师:在此平行四边形ABCD中,可以看作是平移得到的.虽然这两个向量对应的有向线段的起点不同,一个是A,另一个是D,但平移过程中它们的大小和方向都未改变,因此这两个向量相等.由此它能说明什么?
F
C
D
E
BA
A
图5
生:向量与表示它的有向线段的起点无关,只与向量的大小和方向有关.
师:不错.我们可以通过这个办法将向量随意平移,比如图5中我们可再将上述的平移,得到一个,.由此通过这个办法我们可得到一系列的相等向量.
师:在图4的平行四边形ABCD中,与是什么关系呢?
生:这两个向量长度相等方向相反.
师:很好.我们把与a长度相等,方向相反的向量叫作a的相反向量,记作-a.规定:-0=0.
师:刚才提到向量与表示它的有向线段的起点是无关的,即它们是“自由”的.如果一直线与三个向量都平行(图6),那么我们可以将这三个向量都平移到直线上.因此,“平行向量”我们又可以称什么?
生:共线向量.
师:很好.“平行向量”与“共线向量”是同一个概念.
设计意图笔者抓住向量概念中的关键词“方向”,引出向量间的特殊关系:平行向量.抓住向量的“大小”和“方向”,引出了向量间的另两种特殊关系:相等向量与相反向量.通过学生举例找相等向量的过程,发现向量与表示它的有向线段的起点没有关系,进而引出共线向量的概念.
概念辨析:
辨析6:若向量,则直线ABCD对吗?
辨析7:若直线ABCD,则向量对吗?
设计意图针对平行向量与共线向量的理解不易到位,笔者创设了一串辨析题,让学生类比联想平面几何中的“平行”与“共线”,明确向量平行(共线)与直线平行(共线)的区别与联系,深化了学生对概念的理解.
2.4例题示范,运用概念
例1:已知为正六边形ABCDEF的中心,在图7所标出的向量中:(1)确定与相等的向量;(2)确定与相反的向量;(3)找出与共线的向量;(4)找出与长度相等且平行的向量.
B
图8
A
例2:在图8中的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与相等的向量有多少个?与长度相等的共线向量有多少个?(除外)
设计意图这一环节主要是让学生巩固所学的向量概念.
2.5回顾反思,总结提升
向量主要是从两个方面来刻画的:一个是大小,一个是方向.
设计意图通过小结,既让学生巩固本课重点、难点,又让学生进一步体会利用数学认识问题、解决问题的一般方法,培养其思维能力.
2.6课外作业,巩固概念
概念辨析
(1)模相等的两个平行向量是相等的向量;
(2)若和都是单位向量,则;
(3)任一向量与它的相反向量都不相等;
(4)共线的向量,若起点不同,则终点也不同;
(5)若,则ABCD;
(6)若ABCD,则;
(7)与共线,与共线,则与也共线;
(8)向量与不共线,则与都不是零向量.
书本P59,感受理解3.
一名优秀的教师就要对每一课堂负责,高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,有效的提高课堂的教学效率。关于好的高中教案要怎么样去写呢?以下是小编为大家精心整理的“《向量的概念及表示》教学反思”,仅供您在工作和学习中参考。
《向量的概念及表示》教学反思
(1)创设合理的问题情境是课堂教学的基础
本课通过位移的合成,了解向量的实际背景.通过物理中矢量和标量的区别,认识向量和数量的区别,理解平面向量的含义.在学生回答了位移和距离的区别以后,要求学生再举出一些类似的例子,让学生参与建立向量概念的活动.向量既是重要的数学模型,又是重要的物理模型,学生不仅可以掌握一种新的数学工具,而且可以帮助学生体会数学的内部联系,数学与实际生活的联系,以及数学在解决实际问题中的作用.
(2)找准知识点的内在联系
本节课,大多数教师都认为比较难上,原因就在于概念多,关系复杂,如何让概念在学生活动中自然生成出来,是令教师感到为难的地方.比如本节课,向量主要是从两个方面来刻画的:一个是大小,一个是方向.为了认识它,人们就从这两个方面来进行分类:按大小,就有了零向量、单位向量等特殊向量;按方向,就有了平行与不平行之分.由于研究的是自由向量,平行就是共线,于是就出现了共线向量的类别了.这样诸多概念就串在一条线索上了,这样的课堂就不会零碎和散乱了.
(3)通过概念辨析,突破教学难点
从方向上去刻画向量,产生了平行的概念,但由于研究的是自由向量,同时又规定零向量的方向任意,从而造成了“向量的平行”与“直线平行”两者之间有了区别,这就需要学生调整原有的认知结构来适应新的内容,产生“顺应”的心理过程,凡是“顺应”,基本都是难点.针对这些难点,再讲解完知识点后有概念辨析之一环节,帮助学生突破难点.
(4)关注学生的学习
学生的数学学习活动不仅仅是接受,记忆,机械地模仿和练习,还包括自主探索、合作交流和动手实践等学习方式,学生在丰富的活动中以“再创造”的形式学习知识,体验数学生成和发展的创造历程,发展创造能力和创新意识,培养积极的情感.
第1课时§2.1向量的概念及表示
【教学目标】
一、知识与技能
1.理解向量的概念,掌握向量的二要素(长度、方向),能正确地表示向量;
2.注意向量的特点:可以平行移动(长度、方向确定,起点不确定);
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法
(1)从对不同问题的思考中感受什么是向量。
(2)通过师生互动、交流与学习,培养学生探求新知识的学习品质.
三、情感、态度与价值观
(1)通过向量包含大小和方向,概念的学习感知数学美。
(2)向量的方向包含正反两方面,正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维
【教学重点难点】:1.向量、相等向量、共线向量等概念;
2.向量的几何表示
【教学过程】
一、问题情境:
问题1、湖面上有3个景点O,A,B,如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B,从景点O到景点A有一个位移,从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同?
问题2、下列物理量中,那些量分别与位移和距离这两个量类似:
(1)物体在重力作用下发生位移,重力所做的功;
(2)物体所受重力;
(3)物体的质量为a千克;
(4)1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗?
二、新课讲解:
(一)概念辨析:
(1)向量的定义:
(2)向量的表示:
(3)向量的大小及表示
(4)零向量:
(5)单位向量:
(二)向量的关系:
问题4:在平行四边形ABCD中,向量与,与有什么关系?
(1)平行向量
(2)相等向量
(3)相反向量
说明:(1)规定:零向量与任一向量平行,记作;
(2)零向量与零向量相等,记作;
(3)任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示,与有向线段的起点无关。
问题5:1.向量能否平移?
2.要确定一个向量必须确定什么?要确定一个有向线段必须确定什么?两者有何区别?
二、例题分析:
例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心,如图,所标出的向量中:
(1)试找出与FE共线的向量;
(2)确定与FE相等的向量;
(3)OA与BC向量相等么?
例2、判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
例3、如图,在4×5的方格纸中有一个向量AB,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与AB相等的向量有多少个?与AB长度相等的共线向量有多少个?(AB除外)
课时小结:
(1)向量是既有大小又有方向的量,向量有两个要素:方向和长度,称为自由向量;有向线段具有三个要素:起点,方向和长度;
(2)数量(标量)与向量的区别与联系:向量不同于数量。数量是只有大小的量,而向量是既有大小又有方向的量;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模可以比较大小;记号“”是没有意义的,而||>||才有意义。
文章来源:http://m.jab88.com/j/38553.html
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