俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师更好的完成实现教学目标。优秀有创意的教案要怎样写呢？小编收集并整理了“苏教版高二数学几何概型知识点”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

苏教版高二数学几何概型知识点

1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积);

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.几何概型的特点：1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.

4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的;而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处;另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在;等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

相关知识

高二数学必修三考点解析：几何概型

高二数学必修三考点解析：几何概型

【考点分析】
在段考中，多以选择题和填空题的形式考查几何概型的计算公式等知识点，也会以解答题的形式考查。在高考中有时会以选择题和填空题的形式考查几何概型的计算公式，有时也不考，一般属于中档题。
【知识点误区】
求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。一般与线性规划知识有联系。

【同步练习题】
1.已知函数f(x)=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是.
解析：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f(x0)≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是27.

点评：本题考查了几何概型问题，其与线段上的区间长度及函数被不等式的解法问题相交汇，使此类问题具有一定的灵活性，关键是明确集合测度，本题利用区间长度的比求几何概型的概率.
2.在区间[-3，5]上随机取一个数a，则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是.

解析：由已知区间[-3，5]长度为8，使函数f(x)=x2+2ax+4无零点即判别式Δ=4a2-160，解得-2点评：本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答.

第3节几何概型教学案

[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．
(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？
提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．
(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．
2．归纳总结，核心必记
(1)几何概型的定义与特点
①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．
(2)几何概型中事件A的概率的计算公式
P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
[问题思考]
(1)几何概型有何特点？
提示：几何概型的特点有：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型与几何概型有何区别？
提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)几何概型的定义：；
(2)几何概型的特点：；
(3)几何概型的计算公式：.
某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．
往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．
[思考1]这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？
提示：无限多个．
[思考2]古典概型和几何概型的异同是什么？
名师指津：古典概型和几何概型的异同
如表所示：
名称古典概型几何概型
相同点基本事件发生的可能性相等
不同点①基本事件有限个①基本事件无限个
②P(A)＝0A为不可能事件②P(A)＝0A为不可能事件
③P(B)＝1B为必然事件③P(B)＝1B为必然事件
?讲一讲
1．取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？
[尝试解答]如图所示．
记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的15，
所以事件A发生的概率P(A)＝15.
求解与长度有关的几何概型的关键点
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．
?练一练
1．(2016全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()
A.13B.12C.23D.34
解析：选B如图，
7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.
?讲一讲
2．(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()
A.π2B.π4C.π6D.π8
[尝试解答]由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝半圆的面积长方形的面积＝12π121×2＝π4，故选B.
答案：B
解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
?练一练
2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()
A．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4
解析：选A由几何概型知所求的概率P＝S图形DEBFS矩形ABCD＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4.
?讲一讲
3．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[尝试解答]点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.
答案：1－π12
如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．
?练一练
3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．
∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，
∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝0.12＝0.05.
——————————————[课堂归纳感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1.
(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2.
(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3.
3．本节课的易错点：
不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.
课下能力提升(十九)
[学业水平达标练]
题组1与长度有关的几何概型
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()
A.45B.35C.25D.15
解析：选B在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝35.
2．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()
A.110B.19C.111D.18
解析：选A试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝110.
3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得2m6＝56，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2m4时，由题意得m－－26＝56，解得m＝3.
答案：3
4．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32.
题组2与面积、体积有关的几何概型
5.在如图所示的正方形中随机撒入1000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．
解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.
因此芝麻落入圆内的概率为P＝πa24a2＝π4，大约有1000×π4≈785(粒)．
答案：785
6．一个球型容器的半径为3cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9病毒，从中任取1mL水，含有H7N9病毒的概率是________．
解析：水的体积为43πR3＝43×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝136π.
答案：136π
7．(2015西安质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取点，则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是________．
解析：设正方体的棱长为a，则所求概率
P＝VA1ABCVABCDA1B1C1D1
＝13×12a2aa3＝16.
答案：16
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．
解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝2＋4h2h＋22h＋1＝14，解得h＝3或h＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
答案：3
9．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是3292＝3281.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为πcm2，故所求概率是π81.
[能力提升综合练]
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：选A几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()
解析：选A利用几何概型的概率公式，得P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，
∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.
3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()
A.14B.12C.34D.23
解析：选C因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于S4”等价于事件“|BP|∶|AB|＞14”．即P(△PBC的面积大于S4)＝|PA||BA|＝34.
4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝()
A.12B.14
C.32D.74
解析：选D依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋3a42＝a2，即b2＝716a2，故ba＝74.
5．(2016石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝60°360°＝16.
答案：16
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．
一只苍蝇在几何体ADFBCE内自由飞行，求它飞入几何体FAMCD内的概率．
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.
因为VFAMCD＝13S四边形AMCD×DF＝13×12(12a＋a)aa＝14a3，
VADFBCE＝12a2a＝12a3，
所以苍蝇飞入几何体FAMCD内的概率为14a312a3＝12.
7．在长度为10cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．
解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设xy，这时，AB，BC，CD能构成三角形的充要条件是AB＋BCCD，BC＋CDAB，CD＋ABBC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y5，x5，y－x5，
符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．
同样地，当yx时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC，CB，BD能构成三角形，
利用几何概型可知，所求的概率为S△GFE＋S△EHIS正方形＝14.

高中数学必修三3.3几何概型导学案

3.3几何概型
【学习目标】
1．理解几何概型的定义，会用公式计算概率．
2.掌握几何概型的概率公式：P（A）=
【知识梳理】
知识回顾：
1.基本事件的两个特点：一是任何两个基本事件是的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示为.
2.古典概型的两个重要特征：一是一次试验可能出现的结果只有；二是每种结果出现的可能性.
3.在古典概型中，=.
新知梳理：
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(）成比例，则称这样的概型为几何概型.
2.几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有.
（2）每个基本事件出现的可能性.
3.几何概型的概率公式
=.
对点练习：
1.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）.
（A）0.5（B）0.4（C）0.004
(D)不能确定
2.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在（g）范围内的概率是（）
（A）0.62（B）0.38
（C）0.02(D)0.68
3.在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）
（A）（B）
（C）(D)
4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．
【合作探究】
典例精析
例题1.取一根长3米的绳子，拉直后再任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1米的概率有多大？

变式训练1.在半径为1的圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.

例题2.在圆内随机投点，求点与圆心间的距离

变式训练2.在以为中心，边长为1的正方形内投点，求点与正方形的中心的距离小于的概率.

例题3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离均大于棱长的的概率.

变式训练3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离小于棱长的的概率.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间是5秒，绿灯亮的时间是45秒.当你走到路口时，恰好看到黄灯亮的概率是（）
A.B.C.D.
2.面积为的中，是的中点，向内部投一点，那么点落在内的概率是（）
A.B.C.D.
3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（）
A.0.002B.0.004C.0.005D.0.008

【课时作业】
1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）．
（A）（B）（C）(D)

2．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）．
（A）（B）
（C）(D)
3．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为
（A）（B）（C）(D)

4．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形
区域的概率为（）．
（A）（B）
（C）(D)
5．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）．
（A）（B）
（C）(D)
6．现有的蒸馏水，假定有一个细菌，现从中抽取，则抽到细菌的概率为（）．
（A）（B）（C）(D)
7．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）．
（A）（B）（C）(D)
8．在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是（）．
（A）（B）（C）(D)
9．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（）．
（A）（B）（C）(D)
10．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（）．
（A）（B）
（C）(D)
11．向面积为9的内任投一点,那么的面积小于3的概率为.

12.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是．

13.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

14.飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区
域C中的概率是多少？
15．一只海豚在水池中游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率．

新人教版高二数学必修3第一章重点解析：几何概型

新人教版高二数学必修3第一章重点解析：几何概型

【考点分析】

在段考中，多以选择题和填空题的形式考查几何概型的计算公式等知识点，也会以解答题的形式考查。在高考中有时会以选择题和填空题的形式考查几何概型的计算公式，有时也不考，一般属于中档题。

【知识点误区】

求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。一般与线性规划知识有联系。

【同步练习题】

1.已知函数f(x)=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是.

解析：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f(x0)≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是27.

点评：本题考查了几何概型问题，其与线段上的区间长度及函数被不等式的解法问题相交汇，使此类问题具有一定的灵活性，关键是明确集合测度，本题利用区间长度的比求几何概型的概率.

2.在区间[-3，5]上随机取一个数a，则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是.

解析：由已知区间[-3，5]长度为8，使函数f(x)=x2+2ax+4无零点即判别式Δ=4a2-160，解得-2点评：本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答.

文章来源：http://m.jab88.com/j/38505.html

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