一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助授课经验少的高中教师教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“反证法”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

1.3反证法
教学过程：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上．
问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
推进新课
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

四、例题讲解：
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为,
所以经过直线a,b确定一个平面。
因为，而，
所以与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点，则，即点是直线a与b的公共点，这与矛盾．所以.
点评：用反证法的基本步骤：
第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步作出与所证不等式相反的假定；
第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.jAb88.cOM

例2、求证：不是有理数

例3、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于

五、反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；
（4结论为“唯一”类命题；

扩展阅读

充要条件与反证法

充要条件与反证法●知识梳理
1.充分条件:如果pq,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果qp,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
●点击双基
1.ac2bc2是ab成立的
A.充分而不必要条件B.充要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:abac2bc2,如c=0.
答案:A
2.(2004年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·ca·(b-c)=0a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙甲,但甲乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:B
3.(2004年浙江,8)在△ABC中,A30°是sinA的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A30°0sinA1sinA,sinA30°A150°
A30°.
∴A30°是sinA的必要不充分条件.
答案:B
4.若条件p:a4,q:5a6,则p是q的______________.
解析:a45a6,如a=7虽然满足a4,但显然a不满足5a6.
答案:必要不充分条件
5.(2005年春季上海,16)若a、b、c是常数,则a0且b2-4ac0是对任意x∈R,有ax2+bx+c0的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:若a0且b2-4ac0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c0.因此应选A.
答案:A
●典例剖析
【例1】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x0B.x≥0
C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3
剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3,∴对于A当x=-时2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:C
【例2】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0.
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根.
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a0.
(2)方程有两负根,等价于
0a≤1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a0或0a≤1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a0时方程有异号两根;当0a≤1时,方程有两负根.故a0或0a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a0或0a≤1.
【例3】下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x=x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x=x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.
但这里不成立,因为x=-1时,左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2x=x2=x.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.
但这里不成立,因为x=0时,左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x=x2=xx+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x=x2的真值集合是{0,2},{-1,2}{0,2},而{0,2}{-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:依题意有pr,rs,sq,∴prsq.但由于rp,∴qp.
答案:A
2.(2003年北京高考题)cos2α=-是α=kπ+,k∈Z的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析:cos2α=-2α=2kπ±α=kπ±.
答案:A
3.(2005年海淀区第一学期期末练习)在△ABC中,AB是cosAcosB的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,ABcosAcosB(余弦函数单调性).
答案:C
4.命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
答案:充分不必要
5.(2004年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈(-∞,1]B.a∈[2,+∞)
C.α∈[1,2]D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2](-∞,a]或[1,2][a,+∞),即a≥2或a≤1.
答案:D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.
解:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1.
由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,则=p,即(p-1)·p=p(p+q),∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)·pn-1,=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
培养能力
7.(2004年湖南,9)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(UB)的充要条件是
A.m-1,n5B.m-1,n5
C.m-1,n5D.m-1,n5
解析:∵UB={(x,y)|nx+y},将P(2,3)分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
答案:A
8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,①
x2-4mx+4m2-4m-5=0.②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解:方程①有实数根的充要条件是Δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
方程②有实数根的充要条件是Δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
∴方程①②都有实数根的充要条件是-≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明:反证法:
假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.①
由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
解:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∵π-30,且无论x、y、z为何实数,
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
∴a+b+c0.这与a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
●思悟小结
1.要注意一些常用的结论否定形式,如至少有一个至多有一个都是的否定形式是一个也没有至少有两个不都是.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
●教师下载中心
教学点睛
1.掌握常用反证法证题的题型,如含有至少有一个至多有一个等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:0x3,q:|x-1|2;
(2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
(3)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解:(1)p:0x3,q:-1x3.
p是q的充分但不必要条件.
(2)pq,qp.p是q的必要但不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
评述:依集合的观点看,若AB,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

文章来源：http://m.jab88.com/j/37868.html

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