弧度制
教学目的:
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.?
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.?
3.熟记特殊角的弧度数
教学重点:使学生理解弧度的意义,正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.?
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
讲清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.?通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.?使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.?
教学过程:
一、复习引入:
1.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.
⑵.“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,
2.度量角的大小第一种单位制—角度制的定义
初中几何中研究过角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义的?
规定周角的作为1°的角,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它,可以计算弧长,公式为
3.探究
30°、60°的圆心角,半径r为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l,再计算弧长与半径的比
结论:圆心角不变,则比值不变,
因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度量角的制度——弧度制
一样有不同的方法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同的观察、处理方法,因此结果就有所不同
用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)
用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同
二、角度制与弧度制的换算:
∵360=2rad∴180=rad
∴1=
三、讲解范例:
例1把化成弧度
解:
∴
例2把化成度
解:
注意几点:1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行;
2.今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如:3表示3rad,sin表示rad角的正弦;
3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住:
角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°
弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π
角度210°225°240°270°300°315°330°360°
弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π
4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
任意角的集合实数集R
例3用弧度制表示:
1终边在轴上的角的集合
2终边在轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
解:1终边在轴上的角的集合
2终边在轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
四、课堂练习:
1.下列各对角中终边相同的角是()
A.(k∈Z)B.-和π
C.-和D.
2.若α=-3,则角α的终边在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若α是第四象限角,则π-α一定在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为,第一或第三象限角的集合为.
5.7弧度的角在第象限,与7弧度角终边相同的最小正角为.
6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为.
7.求值:.
8.已知集合A={α|2kπ≤α≤π+2kπ,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},求A∩B.
9.现在时针和分针都指向12点,试用弧度制表示15分钟后,时针和分针的夹角.
参考答案:
1.C2.C3.C
4.{α|2kπ<α<+2kπ,k∈Z
{α|kπ<α<+kπ,k∈Z}
5.一7-2π6.7.2
8.A∩B={α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
9.
五、小结1.弧度制定义2.与弧度制的互化2.特殊角的弧度数
六、课后作业:
已知是第二象限角,试求:
(1)角所在的象限;(2)角所在的象限;(3)2角所在范围.
解:(1)∵α是第二象限角,∴+2kπαπ+2kπ,k∈Z,即+kπ+kπ,k∈Z.
故当k=2m(m∈Z)时,+2mπ+2mπ,因此,角是第一象限角;当k=2m+1(m∈Z)时,π+2mππ+2mπ,因此,角是第三象限角.
综上可知,角是第一或第三象限角.
(2)同理可求得:+kπ+kπ,k∈Z.当k=3m(m∈Z)时,,此时,是第一象限角;
当k=3m+1(m∈Z)时,,即π+2mπ,此时,角是第二象限角;
当k=3m+2(m∈Z)时,,此时,角是第四象限角.
综上可知,角是第一、第二或第四象限角.
(3)同理可求得2α角所在范围为:π+4kπ2α2π+4kπ,k∈Z.
评注:(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的,例如0°α90°这个区间角,只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.
(2)要会正确运用不等式进行角的表达,同时会以k取不同值,讨论形如θ=α+kπ(k∈Z)所表示的角所在象限.
(3)对于本例(3),不能说2α只是第一、二象限的角,因为2α也可为终边在y轴负半轴上的角π+4kπ(k∈Z),而此角不属于任何象限.
七、板书设计(略)
俗话说,凡事预则立,不预则废。高中教师要准备好教案,这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣,减轻高中教师们在教学时的教学压力。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?下面是小编精心为您整理的“高一数学《弧度制》教学设计”,但愿对您的学习工作带来帮助。
高一数学《弧度制》教学设计
学情分析:学生在初中学习了角度制度量角的大小,还学习了角度制下的弧长公式。
学习目标:1、类比角度制的定义,了解弧度制的含义。即知道1弧度的角就是等于半径的弧长所对的圆心角;
2、会进行弧度与角度的互化。
学习重点:了解弧度制的含义,会进行弧度与角度的互化。
学习难点:弧度制的含义。
学教过程设计:
一、创设问题情境:
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、磅等不同的单位制。不同的单位制能给解决问题带来方便。
角的度量除了角度制外,还有其他单位制吗?请大家回忆角度制的定义。
设计意图:以旧引新,引导学生用联系的观点看待事物。并直接引出课题。
二、新课探究:
1、直接给出弧度制的定义。
设计方式:教师在一个圆中,说明一弧度的含义:等于半径的弧长所对的圆心角;
设计意图:训练和培养学生数形结合的能力、抽象概括能力、语言表达能力
2、用试验的方式说明弧度制定义的科学性与合理性
设计方式:教师引导学生画出几个同心圆,并用绳子度量出在同一个角作为不同圆圆心角,半径不改变角的弧度数,说明一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关。
设计意图:训练和培养学生数形结合的能力、抽象概括能力、语言表达能力和操作试验能力。
3、探究圆心角的弧度数与弧长之间的关系
半径长为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合交圆于点A,终边与圆交于点B,请在下列表格中填空,并思考:
如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是L,那么的弧度数是多少?
弧的长旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数
逆时针方向
2逆时针方向
1
-2
-
180
结论:
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是零。
如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为L,那么角的弧度数的绝对值是:
设计方式:借助于圆以及弧度的定义,在弧长与弧长所对的圆心角的弧度数之间填空从而寻找圆心角的弧度数与弧长之间的关系。
设计意图:训练和培养学生数形结合的能力、抽象概括能力、语言表达能力,并且渗透由特殊到一般的探究方法。
4、探究角度与弧度之间的互化关系式
设计方式:学生完成3中表格的各圆心角的角度数,然后探寻出角度与弧度的互化关系式。
设计意图:培养学生的探究兴趣和学习兴趣,增强学生学习数学的自信心。
二、例题探究:
例1、将下列角度制化为弧度制:
(1)(2)67°30ˊ
例2、将3.14rad换算成角度。
设计方式:教师示范一个,然后由学生完成
设计意图:熟练角度与弧度的互化,培养学生良好的书写习惯
三、课堂练习:
P9∕1、2、
设计方式:学生上黑板板演,后师生共同评判。
设计意图:巩固角度与弧度的互化,培养学生良好的书写习惯
四、归纳小结:
1、弧度制
2、弧长与半径及圆心角的弧度数之间的关系
3、弧度与角度的互化公式
4、数学思想方法
设计方式:教师引导学生总结,师生共同完善。
设计意图:梳理出本节要点,养成良好学习习惯。
五、布置作业:
P10∕6、7、8
设计意图:巩固所学,为下节课作好准备。
金台高级中学编写人:徐春妮
§9三角函数的简单应用
学习目标
1.掌握三角函数模型应用基本步骤
2.利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
学法指导
三角形应用的步骤是:
1.分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图:
2.建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型。
3.求解:利用三角形,求得数学模型的解。
4.检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解。即解三角应用题的基本思路
要点导读
课后测评
一、选择题
1.。已知A,B,C是△ABC的三个内角,且sinAsinBsinC,则()
(A)ABC(B)ABC(C)A+B(D)B+C
2..在平面直角坐标系中,已知两点A(cos800,sin800),B(cos200,sin200),则|AB|的值是()
(A)(B)(C)(D)1
3.。02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的
面积为1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是()
(A)1(B)(C)(D)-
4..D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A点的仰角
分别是α、β(αβ),则A点离地面的高度等于()
(A)(B)(C)(D)
5..甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数,l表示甲、乙两人的直线距离,则l=f(θ)的图象大致是
6.。电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图
所示,则当t=秒时的电流强度()
(A)0(B)10(C)-10(D)5
二.填空题
7..三角形的内角x满足2cos2x+1=0则角x=;
8..一个扇形的弧长和面积的数值都是5,则这个扇形中心角的度数是;
9.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t03691215182124
y1215.112.19.111.914.911.98.912.1
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是.
10。直径为10cm的轮子有一长为6cm的弦,P是该弦的中点,轮子以5弧度/秒的角速度旋转,则经过5秒钟后点P经过的弧长是.
三.解答题
11..以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件,且当月能售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.
12..一个大风车的半径为8米,12分钟旋转一周,它的最低点
离地面2米,求风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间
t(分钟)之间的函数关系式.
13..一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题:
(1)证明棒长L(θ)=;
(2)当θ∈(0,)时,作出上述函数的图象(可用计算器或计算机);
(3)由(2)中的图象求L(θ)的最小值;
(4)解释(3)中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.
学生反思:
§3弧度制.
课前指导
学习目标
理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系
能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题
学法指导
角度与弧度之间的转换:
①将角度化为弧度:
;;;.
②将弧度化为角度:
;;;.
要点导读
1.规定把周角的作为1度的角,用叫做角度制.
2.叫做1弧度的角;叫做弧度制.在弧度制下,1弧度记做1rad.在实际运算中,常常将rad单位省略.
3.弧度制的性质:
①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是.④负角的弧度数是.
⑤零角的弧度数是.⑥角α的弧度数的绝对值
4.特殊角的弧度
角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
弧度
5.弧长公式
_____________.
课堂导学
例1.将下列各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象限.
;.
课后测评
一.选择题(每小题5分)
1、下列各角中与240°角终边相同的角为()
A.2π3B.-5π6C.-2π3D.7π6
2、若角α终边在第二象限,则π-α所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、把-1125°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z=)的形式是()
A.-π4-6πB.7π4-6πC.-π4-8πD.7π4-8π
4、已知集合M={x∣x=,∈Z},N={x∣x=,k∈Z},则()
A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集
C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系
5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是()
A.4cm2B.2cm2C.4πcm2D.2πcm2
6、集合{α∣α=-,k∈Z}∩{α∣-παπ}为()
A.{-π5,3π10}B.{-7π10,4π5}C.{-π5,3π10,-7π10,4π5}D.{3π10,7π10}
二.填空题(每小题5分)
1、若角α,关于y轴对称,则α,的关系是;
2、若角α,满足,则的范围;
3、将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是.
4、已知是第二象限角,且则的集合是.
三.解答题(每小题10分)
已知=1690o,
(1)把表示成的形式,其中k∈Z,∈.
(2)求,使与的终边相同,且.
课后测评B
一、选择题(每题5分共60分)
(1)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角()
A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等
C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对
(2).把化为的形式是()
A.B.C.D.
(3).把表示成的形式,使最小的的值是()
A.B.C.D.
(4).若是第二象限角,那么和都不是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
(5).将分针拨慢十分钟,则分针所转过的弧度数是()
A、B、C、D、
(6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长,其圆心角的弧度数是()
A、B、C、D、2
(7)已知集合,
则等于()
A、B、{}C、
D、或}
(8).设且17的终边与的终边相同,则等于()
A.B.C.D.1
(9).集合
则A、B的关系为()
A.B.C.A=BD,A
(10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为()
A.B.C.D.
(11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为()
A.B.
C.D.
(12)若是第四象限的角,则在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、填空题(每题5分共10分)
(13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是
(14)用弧度制表示x轴上方的角的集合
(15)扇形的半径是5cm,弧长是cm那么扇形的面积是cm
(16)
三、解答题(每题10分共20分)
17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
18.如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.
AB
R
R
学生反思:
O
文章来源:http://m.jab88.com/j/28611.html
更多