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2.2.2二次函数的性质与图像学案

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备,高中教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。高中教案的内容具体要怎样写呢?以下是小编为大家精心整理的“2.2.2二次函数的性质与图像学案”,大家不妨来参考。希望您能喜欢!

2.2.2二次函数的性质与图像学案
【学习目标】
1、使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法;
2、应“描点法”画出二次函数(的图像,通过图像总结二次函数的性质;
3、通过研究二次函数和图像的性质,能进一步体会研究一般函数的方法,能由特殊到一般地研究问题。
【自主学习】
二次函数的性质与图像
1)定义:函数叫二次函数,它的定义域是。特别地,当时,二次函数变为(。
2)函数的图像和性质:
(1)函数的图像是一条顶点为原点的抛物线,当时,抛物线开口,当时,抛物线开口。
(2)函数为(填“奇函数”或“偶函数”)。
(3)函数的图像的对称轴为。
3)二次函数的性质
(1)函数的图像是,抛物线的顶点坐标是,抛物线的对称轴是直线。
(2)当时,抛物线开口向上,函数在处取得最小值;在区间上是减函数,在上是增函数。
(3)当时,抛物线开口向下,函数在处取得最大值;在区间上是增函数,在上是减函数。
跟踪1、试述二次函数的性质,并作出它的图像。

跟踪2、研讨二次函数的性质和图像。

跟踪3、求函数的值域和它的图像的对称轴,并说出它在那个区间上是增函数?在那个区间上是减函数?

跟踪4、课本P60练习B
1、

【归纳总结】
研究二次函数的图像与性质的思路是什么?
函数二次函数(a、b、c是常数,a≠0)

图像a0a0
性质

【典例示范】
例1:将函数配方,确定其对称轴和顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像。

例2:二次函数与的图像开口大小相同,开口方向也相同。已知函数的解析式和的顶点,写出符合下列条件的函数的解析式。
(1)函数,的图像的顶点是(4,);
(2)函数,图像的顶点是。

【快乐体验】
1、已知函数,如果,且,则它的图像是()

ABCD
2、函数的图像顶点位于()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
3、二次函数的图像过原点,且顶点为,则()
A、B、C、D、
4、一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像大致是()

ABCD
5、已知二次函数,若,则的值为()
A、正数B、负数C、零D、符号与a有关
6、若函数在区间上是减函数,则的取值范围是()
ABCD
7、函数且的值域是。
8、如果二次函数在区间上是增函数,那么的取值
范围是。
9、抛物线与轴有两个交点,且两个交点间的距离为2,则=
10、已知函数在闭区间上有最大值3,最小值2,求的取值范围。

精选阅读

2.2.1一次函数性质与图像学案


2.2.1一次函数性质与图像学案
【学习目标】
掌握一次函数的概念和性质,明确一次函数的图像是一条直线,体会变量之间的依赖关系。
【自主学习】
一次函数的性质与图像
1)一次函数的概念:函数叫做一次函数,它的定义域为,值域为。
2)一次函数的图像是,简写为,其中叫做该直线的。叫做该直线在轴上的。一次函数又叫做。
3)一次函数的性质
(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值等于常数。
(2)当0时,一次函数是增函数;当0时,一次函数是。
(3)当时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当时,它既不是奇函数也不是偶函数。
(4)直线与轴的交点为,与轴的交点为。
跟踪:直线与直线的位置关系如何?

【典例示范】
例:画出函数的图像,利用图像完成下述问题:
(1)求方程的根;
(2)求不等式的解集;
(3)当时,求的取值范围;
(4)当时,求的取值范围;
(5)求图像与坐标轴的两个交点的距离;
(6)求图像与坐标轴围成的三角形的面积。

【快乐体验】
1、下列说法正确的是()
A、函数为一次函数
B、函数的图像是一条是与x轴相交的直线
C、函数的图像是一条是与x轴相交的直线
D、函数是一次函数
2、函数的解析式为,则其对应直线的斜率与在轴上的截距分别为()
A.,B1,C1,D
3、若是一次函数,则()
A、B、C、D、或
4、若函数的图像经过第一、二、三象限,则与的取值范围分别是()
ABCmD
5、如果那么一次函数的图像的大致形状是()

ABCD
6、函数的图像不可能是()

ABCD
7、过点作直线,使它在x轴,y轴上的截距相等,则这样的直线有()
A、1B、2C、3D、4
8、函数的值域为则k=,b=。
9、函数在上是减函数,则k的范围是。
10、一次函数在上总取正值,则m的取值范围是。
11、已知直线的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求直线的方程。

12、解答下列各题:
(1)、求函数的值域。
(2)、函数是减函数,求a的取值范围。
(3)、函数在上的值有正有负,求a的取值范围。
(4)、直线的图像不经过第二象限,求实数m的取值范围。

余弦函数的性质与图像导学案


俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助教师掌握上课时的教学节奏。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢?下面的内容是小编为大家整理的余弦函数的性质与图像导学案,供您参考,希望能够帮助到大家。

金台高级中学编写人:张梅
§6余弦函数的性质与图像
一.课前指导
学习目标
掌握余弦函数的周期和最小正周期,并能求出余弦函数的最小正周期。
掌握余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出余弦函数的单调区间。并能求出余弦函数的最大最小值与值域、
学法指导
1.利用换元法转化为求二次函数等常见函数的值域.
2.将sin(-2x)化简为-cos2x,然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性求得最大值.
要点导读
1.从图象上可以看出,;,的最小正周期为;
2.一般结论:函数及函数,(其中为常数,且,)的周期T=;
函数及函数,的周期T=;
3.函数y=cosx是(奇或偶)函数函数y=sinx是(奇或偶)函数
4.正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从-1增大到1;
在每一个闭区间上都是减函数,其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从-1增加到1;
在每一个闭区间上都是减函数,其值从1减小到-1.
5.y=sinx的对称轴为x=k∈Zy=cosx的对称轴为x=k∈Z
二.课堂导学
例1.已知x∈,若方程mcosx-1=cosx+m有解,试求参数m的取值范围.

例2.已知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是_________________.

例3.求下列函数值域:
(1)y=2cos2x+2cosx+1;(2)y=.

例4.已知0≤x≤,求函数y=cos2x-2acosx的最大值M(a)与最小值m(a).
点拔:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.

例5求下列函数的定义域:
(1)y=lgsin(cosx);(2)=.

三、课后测评
一、选择题(每小题5分)
1.下列说法只不正确的是()
(A)正弦函数、余弦函数的定义域是R,值域是[-1,1];
(B)余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;
(C)余弦函数在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上都是减函数;
(D)余弦函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都是减函数
2.函数f(x)=sinx-|sinx|的值域为()
(A){0}(B)[-1,1](C)[0,1](D)[-2,0]
3.若a=sin460,b=cos460,c=cos360,则a、b、c的大小关系是()
(A)cab(B)abc(C)acb(D)bca
4.对于函数y=sin(π-x),下面说法中正确的是()
(A)函数是周期为π的奇函数(B)函数是周期为π的偶函数
(C)函数是周期为2π的奇函数(D)函数是周期为2π的偶函数
5.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是()
(A)4(B)8(C)2π(D)4π
*6.为了使函数y=sinωx(ω0)在区间[0,1]是至少出现50次最大值,则的最小值是()(A)98π(B)π(C)π(D)100π
二.填空题(每小题5分)
7.(2008江苏,1)f(x)=cos(x-)最小正周期为,其中>0,则=.
8.函数y=cos(sinx)的奇偶性是.
9.函数f(x)=lg(2sinx+1)+的定义域是;
10.关于x的方程cos2x+sinx-a=0有实数解,则实数a的最小值是.
三.解答题(每小题10分)
11..已知函数f(x)=,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.

12.已知函数y=f(x)的定义域是[0,],求函数y=f(sin2x)的定义域.

13.已知函数f(x)=sin(2x+φ)为奇函数,求φ的值.

14.已知y=a-bcos3x的最大值为,最小值为,求实数a与b的值.

15求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos+2cosx.
四、课后反思:通过本节课的学习你有哪些收获?

二次函数性质的再研究


§二次函数性质的再研究
一、内容与解析
(一)内容:二次函数性质的再研究。
(二)解析:二次函数问题多以解答题的一个部分出现,主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或(动轴定区间)问题是高考考查的热点也是难点,学本节时应加强练习,并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.
二、目标及其解析:
(一)教学目标
(1)掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用;
(二)解析
(1)二次函数是一重要的函数,掌握好二次函数,对学生学习以后的函数有重要的启发作用,学习时,要特别注意其性质的把握,这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析
研究二次函数问题一定注意问题成立的范围,超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时,不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域,这一点对初学者来说,是很容易犯错的。
四、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中,准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003,有利于提供准确、最核心的文字信息,有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路,节省老师板书时间,让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
(一)研探新知:
(1)1.二次函数的性质

图像
开口方向①②
顶点坐标③④
对称轴

单调区间单调递减区间
⑤调递增区间单调递增区间
⑥单调递减区间
最值当,取得最小值为
当,取得最大值为

2.二次函数性质的应用
①如何确定二次函数的性质
②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值
3.二次函数的三种解析式
①顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点,则可设成这种形式.
②交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x轴的交点坐标,则可设成这种形式.
③一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标,可设为这种形式.
(二)类型题探究
题型一二次函数的最值与解析式问题
例1已知,函数、表示函数在区间上的最小值,最大值,求、表达式.
解析:由,知图像关于对称,结合图像知,
当,即时,;
而当,即时,;
当,即时,.
∴.
当,即时,;
当,即时,.
∴.
题型二二次函数的实际应用问题
例2某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解析:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为:,所以这时租出了88辆车;
(2)设每辆车的月租金定为元,则租赁公司的月收益为:

整理得:,
所以,当时,取最大值,其最大值为,
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307050元.

设计意图:通过以上问题的探讨,使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
(三)小结:
六、目标检测
一、选择题
1.二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么()
A.f(2)>f(3)B.f(2)<f(3)
C.f(2)=f(3)D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定
1.C解析:函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关,结合对称轴的位置即可得到答案.
2.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根,则a的范围是()
A.B.C.D.
2.C解析:方程△=4-4a0,设两根为,则.∵异号,∴,结合两个不等式可得解.
3.函数是单调函数,则()
A.B.C.D.
3.A解析:函数的对称轴,∴函数)是单调函数,
4.二次函数,若,则等于()
A.B.C.D.

4.D解析:二次函数对称轴,顶点坐标,所以=
二、填空题
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈Z)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过________年.
5.7解析:首先根据条件求出y=-(x-6)2+11,本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差.
6.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是_____
6.a≤-3解析:利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为10,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤-3
三、解答题
7.(1)求函数(x∈N)的最小值.
(2)在区间上,求函数的最大值与最小值.
(3)在区间上,求函数的最大值与最小值.
7.解析:(1)因为,又因为∈N,所以当=1或=2时函数值都等于-9且最小.
(2)该函数的对称轴为x=,所给区间在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为10,所以在上该函数为增函数,所以当=2时,函数值最小,最小值为-9,当=3时函数有最大值,最大值为-7
(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为,当时,,当时,,所以该函数的最大值为.
8.已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.
8.解析:解法一:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由条件,可得抛物线的顶点为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得解得
∴所求二次函数解析式为y=x2-x+.
解法二:∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0),
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-7),把顶点(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7),解得a=.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-7),即y=x2-x+.
解法三:∵抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0),∴设二次函数解析式为y=a(x-4)2-3.
将(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.
∴二次函数解析式为y=(x-4)2-3,即y=x2-x+.
高考能力演练
9.若函数f(x)=x2+ax+b与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)的单调性

A.在(-∞,2]上减少,在[2,+∞)上增加B.在(-∞,3)上增加
C.在[1,3]上增加D.不能确定
9.A解析:由已知可得该函数的对称轴为,又二次项系数为10,所以在(-∞,2]上为单调递减函数,在[2,+∞)上为单调递增函数.
10.已知函数,且对任意的实数都有成立
(1)求实数的值;(2)利用单调性的定义判断函数在区间上的单调性.
10.解析:(1),所以该函数的对称轴为,
根据函数解析式可知,所以.
(2)由(1)可知,在上该函数为增函数,下面就用定义去证明:
设,则
,,,
即,故函数在区间上的增函数
11.已知函数f(x)=x2-2ax+a2+1,x∈[0,1],若g(a)为f(x)的最小值.
(1)求g(a);(2)当g(a)=5时,求a的值.
11.解析:f(x)=(x-a)2+1,
(1)当0≤a≤1时,g(a)=f(a)=1;
当a0时,g(a)=f(0)=a2+1;当a1时,g(a)=f(1)=a2-2a+2.
∴g(a)=
(2)令a=-2.令a=3.∴或时,

正切函数的图像与性质


做好教案课件是老师上好课的前提,大家在用心的考虑自己的教案课件。在写好了教案课件计划后,才能更好的在接下来的工作轻装上阵!那么到底适合教案课件的范文有哪些?下面是小编帮大家编辑的《正切函数的图像与性质》,仅供参考,欢迎大家阅读。

正切函数的图像与性质
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)了解任意角的正切函数概念;
(2)理解正切函数中的自变量取值范围;
(3)掌握正切线的画法;
(4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像;
(5)熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质;
(6)能熟练掌握正切函数的图像与性质;
(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法
类比正、余弦函数的概念,引入正切函数的概念;在此基础上,比较三个三角函数之间的关系;让学生通过类比,联系正弦函数图像的作法,通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像;能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点:熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式;通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板

第一课时正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函数,并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习任意角的正切函数,请同学们先自主学习课本P35。
【探究新知】
1.正切函数的定义
在直角坐标系中,如果角α满足:α∈R,α≠+kπ(k∈Z),那么,角α的终边与单位圆交于点P(a,b),唯一确定比值.根据函数定义,比值是角α的函数,我们把它叫作角α的正切函数,记作y=tanα,其中α∈R,α≠+kπ,k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα=(α∈R,α≠+kπ,k∈Z).
由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们统称为三角函数。
下面,我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图,单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α
的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出:
当角α位于第一和第三象限时,T点位于x轴的上方;
当角α位于第二和第四象限时,T点位于x轴的下方。
分析可以得知,不论角α的终边在第几象限,都可以构造两
个相似三角形,使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此,
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2.正切函数的图象
(1)首先考虑定义域:
(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:
∴的周期为(最小正周期)
(3)因此我们可选择的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数,且的图像,称“正切曲线”

从上图可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3.正切函数y=tanx的性质
引导学生观察,共同获得:
(1)定义域:,
(2)值域:R
观察:当从小于,时,
当从大于,时,。
(3)周期性:
(4)奇偶性:奇函数。
(5)单调性:在开区间内,函数单调递增。
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
三、课后反思

文章来源:http://m.jab88.com/j/18271.html

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