1.教学目标
(1)知识目标:1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;
2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.
(2)能力目标:1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;
2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;
3.增强学生用数学的意识.
(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
2.教学重点.难点
(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.
(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
3.教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
[引导]画图建系
[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2y2=16(y≥0)
将x=2.7代入,得.
即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程?
答:x2y2=r2
2.如果圆心在,半径为时又如何呢?
[学生活动]探究圆的方程。
[教师预设]方法一:坐标法
如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方,得(x―a)2(y―b)2=r2
方法二:图形变换法
方法三:向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
I.直接应用(内化新知)
问题三:1.写出下列各圆的方程(课本P77练习1)
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在,半径为;
(3)经过点,圆心在点.
2.根据圆的方程写出圆心和半径
(1);(2).
II.灵活应用(提升能力)
问题四:1.求以为圆心,并且和直线相切的圆的方程.
[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.
2.已知圆的方程为,求过圆上一点的切线方程.
[学生活动]探究方法
[教师预设]
方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)
方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)
方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式)[多媒体课件演示]
方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)
3.你能归纳出具有一般性的结论吗?
已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:.
III.实际应用(回归自然)
问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱的长度(精确到0.01m).
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
(四)反馈训练(形成方法)
问题六:1.求以C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.
2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程.
3.求圆x2y2=13过点(-2,3)的切线方程.
4.已知圆的方程为,求过点的切线方程.
(五)小结反思(拓展引申)
1.课堂小结:
(1)圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为:
当圆心在原点时,圆的标准方程为:
(2)求圆的方程的方法:①找出圆心和半径;②待定系数法
(3)已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:
(4)求解应用问题的一般方法
2.分层作业:(A)巩固型作业:课本P81-82:(习题7.6)1.2.4
(B)思维拓展型作业:
试推导过圆上一点的切线方程.
3.激发新疑:
问题七:1.把圆的标准方程展开后是什么形式?
2.方程:的曲线是什么图形?
教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了
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高一数学下册《圆的方程》学案人教版
教学目标:
1、知识与技能目标:理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程,能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。
2、过程与方法目标:通过对圆的标准方程的推导及应用,渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法,提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。
3、情感与价值观目标:通过学生主动参与圆的相关知识的探讨和几何画板在解与圆有关问题中的应用,激发学生数学学习的兴趣,培养学生的创新精神。
教学重点:
圆的标准方程的推导及应用。
教学难点:
利用圆的几何性质求圆的标准方程。
教学方法:
本节课采用“诱思探索”的教学方法,借助学生已有的知识引出新知;在概念的形成与深化过程中,以一系列的问题为主线,采用讨论式,引导学生主动探究,自己构建新知识;通过层层深入的例题配置,使学生思路逐步开阔,提高解决问题的能力。
同时借助多媒体,增强教学的直观性,有利于渗透数形结合的思想,同时增大课堂容量,提高课堂效率。
教学过程:
一、复习引入:
1、提问:初中平面几何学习的哪些图形?
初中平面几何中所学是两个方面的知识:直线形的和曲线形的。在曲线形方面学习的是圆,学习解析几何以来,已经讨论了直线方程,今天我们来研究最简单、最完美的曲线圆的方程。
2、提问:具有什么性质的点的轨迹是圆?
强调确定一个圆需要的的条件为:圆心与半径,它们分别确定了圆的位置与大小,
二、概念的形成:
1、让学生根据显示在屏幕上的圆自己探究圆的方程。
教师演示圆的形成过程,让学生自己探究圆的方程,教师巡视,加强对学生的个别指导,由学生讲解思路,根据学生的回答,教师展示学生的想法,将两种解法同时显示在屏幕上,方便学生对比。
学生通常会有两种解法:
解法1:(圆心不在坐标原点)设M(x,y)是一动点,点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式,得
=r。
两边平方,得
(x-a)2+(y-b)2=r2。
解法2:(圆心在坐标原点)设M(x,y)是一动点,点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式,得
=r
两边平方,得
x2+y2=r2
若学生只有一种做法,教师可引导学生建立不同的坐标系,有自己发现另一个方程。
2、圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2
三、概念深化:
归纳圆的标准方程的特点:
①圆的标准方程是一个二元二次方程;
②圆的标准方程由三个独立的条件a、b、r决定;
③圆的标准方程给出了圆心的坐标和半径。
四、应用举例:
练习1104页练习8-91、2(学生口答)
练习2说出方程(x+m)2+(y+n)2=a2的圆心与半径。
例1、根据下列条件,求圆的方程:
(1)圆心在点C(-2,1),并且过点A(2,-2);
(2)圆心在点C(1,3),并且与直线3x-4y–6=0相切;
(3)过点A(2,3),B(4,9),以线段AB为直径。
分析探求:让学生说出如何作出这些圆,教师用几何画板做图,帮助学生理清解题思路,由学生自己解答,并通过几何画板来验证。
例2、求过点A(0,1),B(2,1)且半径为的圆的方程。
分析探求:鼓励学生一题多解,先让学生自己求解,再相互讨论、交流、补充,最后教师将学生的想法用多媒体进行展示。
思路一:利用待定系数法设方程为(x-a)2+(y-b)2=5,将两点坐标代入,列方程组,求得a,b,再代入圆的方程。
思路二:利用圆心在圆上两点的垂直平分线上这一性质,利用待定系数法设方程为(x-1)2+(y-b)2=5,将一点坐标代入,列方程,求得b,再代入圆的方程。
思路三:画出圆的图形,利用直角三角形,直接求圆心坐标。
由例1、例2总结求圆的标准方程的方法。
五、反馈练习:
104页练习8-93(要求学生限时完成)
六、归纳总结:
学生小结并相互补充,师生共同整理完善。
1、圆的标准方程的推导;
2、圆的标准方程的形式;
3、求圆的方程的方法;
4、数学思想。
七、课后作业:(略)
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢?下面的内容是小编为大家整理的圆的标准方程,希望对您的工作和生活有所帮助。
总课题圆与方程总课时第33课时
分课题圆的标准方程分课时第1课时
教学目标掌握圆的标准方程,并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.会用代定系数法求圆的基本量、、.
重点难点根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.会用代定系数法求圆的基本量、、.
引入新课
问题1.在前面我们学习了直线的方程,只要给出适当的条件就可以写出直线的方程.那么,一个圆能不能用方程表示出来呢?
问题2.要求一个圆的方程需要哪些条件?如何求得呢?
1.圆的标准方程的推导过程:
2.圆的标准方程:_________________________________________________________.
例题剖析
例1求圆心是,且经过原点的圆的标准方程.
例2已知隧道的截面是半径为的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为,高为的货车能不能驶入这个隧道?
思考:假设货车的最大宽度为那么货车要驶入该隧道,限高为多少?
例3(1)已知圆的直径的两个端点是,.求该圆的标准方程.
(2)已知圆的直径的两个端点是,.求该圆的标准方程.
例4求过点,,且圆心在直线上的圆的标准方程.
巩固练习
1.圆:的圆心坐标和半径分别为__________;__________.
2.圆心为且与直线相切的圆的标准方程为.
3.以为圆心且过点的圆的标准方程为.
4.若点在圆外,则实数的取值范围是.
5.求过点且与轴切于原点的圆的标准方程.
课堂小结
圆的标准方程推导;根据圆的方程写出圆心坐标和半径;用代定系数法求圆的标准方程.
课后训练
一基础题
1.写出满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心在原点,半径为:;
(2)经过点,圆心为:;
(3)经过点,圆心为:;
(4)与两坐标轴都相切,且圆心在直线上:;
(5)经过点和,且圆心在轴上:.
2.求以点为圆心,并与轴相切的圆的标准方程.
3.已知点和,求以线段为直径的圆的标准方程.
4.已知半径为的圆过点,且圆心在直线上,求圆的标准方程.
5.求过两点和,且圆心在直线上的圆的标准方程.
二提高题
6.已知点在圆的内部,求实数的取值范围.
7.若圆经过点且和直线相切,并且圆心在直线上,
求圆的标准方程.
文章来源:http://m.jab88.com/j/18061.html
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