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高一数学下册《圆的方程》学案人教版

教学目标：

1、知识与技能目标:理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。

2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。

3、情感与价值观目标：通过学生主动参与圆的相关知识的探讨和几何画板在解与圆有关问题中的应用，激发学生数学学习的兴趣，培养学生的创新精神。

教学重点：

圆的标准方程的推导及应用。

教学难点：

利用圆的几何性质求圆的标准方程。

教学方法：

本节课采用“诱思探索”的教学方法，借助学生已有的知识引出新知;在概念的形成与深化过程中，以一系列的问题为主线，采用讨论式，引导学生主动探究，自己构建新知识;通过层层深入的例题配置，使学生思路逐步开阔，提高解决问题的能力。

同时借助多媒体，增强教学的直观性，有利于渗透数形结合的思想，同时增大课堂容量，提高课堂效率。

教学过程：

一、复习引入：

1、提问：初中平面几何学习的哪些图形?

初中平面几何中所学是两个方面的知识：直线形的和曲线形的。在曲线形方面学习的是圆，学习解析几何以来，已经讨论了直线方程，今天我们来研究最简单、最完美的曲线圆的方程。

2、提问：具有什么性质的点的轨迹是圆?

强调确定一个圆需要的的条件为：圆心与半径,它们分别确定了圆的位置与大小，

二、概念的形成：

1、让学生根据显示在屏幕上的圆自己探究圆的方程。

教师演示圆的形成过程，让学生自己探究圆的方程，教师巡视，加强对学生的个别指导，由学生讲解思路，根据学生的回答，教师展示学生的想法，将两种解法同时显示在屏幕上，方便学生对比。

学生通常会有两种解法：

解法1：(圆心不在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得

=r。

两边平方，得

(x-a)2+(y-b)2=r2。

解法2：(圆心在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得

=r

两边平方，得

x2+y2=r2

若学生只有一种做法，教师可引导学生建立不同的坐标系，有自己发现另一个方程。

2、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

当a=b=0时，方程为x2+y2=r2

三、概念深化：

归纳圆的标准方程的特点：

①圆的标准方程是一个二元二次方程;

②圆的标准方程由三个独立的条件a、b、r决定;

③圆的标准方程给出了圆心的坐标和半径。

四、应用举例：

练习1104页练习8-91、2(学生口答)

练习2说出方程(x+m)2+(y+n)2=a2的圆心与半径。

例1、根据下列条件，求圆的方程：

(1)圆心在点C(-2,1)，并且过点A(2，-2);

(2)圆心在点C(1,3),并且与直线3x-4y–6=0相切;

(3)过点A(2,3),B(4,9),以线段AB为直径。

分析探求：让学生说出如何作出这些圆，教师用几何画板做图，帮助学生理清解题思路，由学生自己解答，并通过几何画板来验证。

例2、求过点A(0,1),B(2,1)且半径为的圆的方程。

分析探求：鼓励学生一题多解，先让学生自己求解，再相互讨论、交流、补充，最后教师将学生的想法用多媒体进行展示。

思路一：利用待定系数法设方程为(x-a)2+(y-b)2=5，将两点坐标代入，列方程组，求得a,b,再代入圆的方程。

思路二：利用圆心在圆上两点的垂直平分线上这一性质，利用待定系数法设方程为(x-1)2+(y-b)2=5，将一点坐标代入，列方程，求得b,再代入圆的方程。

思路三：画出圆的图形，利用直角三角形，直接求圆心坐标。

由例1、例2总结求圆的标准方程的方法。

五、反馈练习：

104页练习8-93(要求学生限时完成)

六、归纳总结：

学生小结并相互补充，师生共同整理完善。

1、圆的标准方程的推导;

2、圆的标准方程的形式;

3、求圆的方程的方法;

4、数学思想。

七、课后作业：（略）

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人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，有效的提高课堂的教学效率。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心为您整理的“人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习”，希望对您的工作和生活有所帮助。

人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习

圆的方程定义：

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ＜0,直线和圆相离.

方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d＞R,直线和圆相离.

2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

切线的性质

⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

⑵过切点的半径垂直于切线；

⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点；

⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心；

当一条直线满足

（1）过圆心；

（2）过切点；

（3）垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.

切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线长定理

从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．

圆锥曲线性质：

一、圆锥曲线的定义

1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.

2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.即.

3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.

二、圆锥曲线的方程

1.椭圆：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中,a2=b2+c2）

2.双曲线：-=1（a0,b0）或-=1（a0,b0）（其中,c2=a2+b2）

3.抛物线：y2=±2px（p0）,x2=±2py（p0）

三、圆锥曲线的性质

1.椭圆：+=1（ab0）

（1）范围：|x|≤a,|y|≤b（2）顶点：(±a,0),(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±

2.双曲线：-=1（a0,b0）（1）范围：|x|≥a,y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x

3.抛物线：y2=2px(p0)（1）范围：x≥0,y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-

高一数学《圆的标准方程》教案

高一数学《圆的标准方程》教案

课名
《圆的标准方程》
教师
贾伟
学科（版本）
北师大版的数学必修2
章节
第二章第2节
学时
1学时
年级
高一年级
教材分析
圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。
教学目标
1.知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
2.过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。
教学重点难点
以及措施
教学重点：圆的标准方程理解及运用
教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。
根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。
学习者分析
高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质；从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法；从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。
教法设计
问题情境引入法启发式教学法讲授法
学法指导
自主学习法讨论交流法练习巩固法
教学准备
ppt课件导学案
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
情景引入
回顾复习
(2分钟)
1.观赏生活中有关圆的图片
2.回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flash动画。
提问：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗？
教师创设情景，引领学生感受圆。
教师提出问题。引导学生思考，引出本节主旨。
学生观赏圆的图片和动画，思考如何表示圆的方程。
生活中的图片展示，调动学生学习的积极性，让学生体会到园在日常生活中的广泛应用
自主学习
(5分钟)
1.介绍动点轨迹方程的求解步骤：
（1）建系：在图形中建立适当的坐标系；
（2）设点：用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;
（3）列式：用坐标表示条件P(M)的方程;
（4）化简：对P(M)方程化简到最简形式;
2.学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，
教师介绍求轨迹方程的步骤后，引导学生自学圆的标准方程
自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。
培养学生自主学习，获取知识的能力
合作探究(10分钟)
1.根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件有哪些？
2.点M（x0，y0）与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：
（1）点在圆上
（2）点在圆外
（3）点在圆内
教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。
学生展开合作性的探讨，并陈述自己的研究成果。
通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质
当堂训练（18分钟）
1.求下列圆的圆心坐标和半径
C1:x2+y2=5
C2:(x-3)2+y2=4
C3:x2+(y+1)2=a2（a≠0）
2.以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的标准方程
3.设圆(x-a)2+(y-b)2=r2
则坐标原点的位置是（）
A.在圆外B.在圆上
C.在圆内D.与a的取值有关
4.写出下列各圆的标准方程(1)圆心在原点,半径等于5
(2)经过点P(5,1),圆心在点C(6,-2);
(3)以A(2,5),B(0,-1)为直径的圆.
5.下列方程分别表示什么图形
(1)x2+y2=0
(2)(x-1)2=8-(y+2)2
(3)《圆的标准方程》教学设计-贾伟
6.巩固提升：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标准方程并作图
指导学生就不同条件下给出的圆心和半径关系，求解圆的标准方程这两个要素展开训练。

学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题

巩固所学知识，并查缺补漏。
回顾小结
(1分钟)
1.你学到了哪些知识？
2.你掌握了哪些技能？
3.你体会到了哪些数学思想？
采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。
学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结。
培养学生归纳总结能力
作业布置
(1分钟)
课本87页习题2-2
A组的第1道题
布置训练任务
标记并完成相应的任务
检测学生掌握知识情况。
教学反思
本节教学主要遵循“回-导-学-展-讲-练-结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。
教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。

高一数学圆的一般方程042

圆的一般方程
三维目标：
知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
①、根据提议，选择标准方程或一般方程；
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是①
上运动，所以点A的坐标满足方程,即
②
把①代入②，得
课堂练习：
小结：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：

高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的教案内容吗？小编为此仔细地整理了以下内容《高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版》，相信您能找到对自己有用的内容。

高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版

《直线与圆的位置关系》是在学生掌握了直线与圆的方程表达形式的基础上，引导学生用解方程组的办法来学习该节内容。该方法在解决直线与圆的位置关系时，有时也不太方便(因为计算量大)，而初中平面几何中的几何法却显得简单而易掌握，所以在安排该节例题时，我特意进行了教学设计，让学生去感受、体会何种情况下用代数法，何种情况下用几何法解题更为简捷。本节课主要针对学习过的圆的标准方程，一般方程的运用，讨论直线和圆的位置关系。

设计思想

通过探究式教学方法(即以问题的发现、解决、应用为主线;以观察、分析、讨论为手段;以强化能力、创新、发展为目的;以教师“导”，学生“动”，围绕“疑”字做文章)在探究疑难问题中学习和创新，使课堂教学从过去的“传授知识”转变为“探究知识”，从过去的“教师唱主角”变为“学生演大戏”，充分发挥学生的主体作用，让学生在获取知识的同时，体验科学探究的过程，增强学生学习的兴趣。《直线与圆的位置关系》在初中《平面几何》里学生已经学过从几何图形角度去判断的，即看圆心到直线的距离与圆半径大小比较，而高中《解析几何》中安排这一内容，还可以从代数中方程的观点去破解，即看直线方程与圆方程所联立方程组解的个数，来确定直线和圆的位置关系。该节内容充分体现了数学中“数形结合”这一重要思想。我本着新课程理念，以人为本，关注人的全面而有个性的发展，在本节内容设计的，创设情境环节，我在黑板上写了一个成语，“旭日东升”，激发学生头脑中浮现着一个生动的画面——晴朗的早晨，一轮红日从东方的地平线下冉冉升起，又通过我的演示，使学生从想象和视觉两个角度去感受直线和圆的位置关系的动态变化。激发学生的兴趣，陶冶学生的情操。接着，让学生回忆初中平面几何中直线与圆的位置关系及判定方法，并告诉学生这些都是从“形”的观点来研究的。提醒学生能否从“数”的观点来研究?什么样的一门数学学科解决了把“形”的问题转化为“数”的问题来解决?让学生体会并感受到运用《平面解析几何》中联立方程组等知识可以解决这一问题，其具体指导思想为：引入平面直角坐标系，把点用坐标来表示，曲线(直线)用方程来表示，从而把“形”的问题转化为“数”的问题来解决，体现数形结合这一个重要的数学思想和方法。

平面直角坐标系中，直线用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，圆用特殊的二元二次方程或来表示，自然而然地想到类比于处理两条直线位置关系的方法(即联立方程组)，根据方程组解的个数来判断直线与圆的关系。

教学目标

1.知识目标：掌握通过联立方程组解的个数讨论来研究直线与圆的位置关系;掌握利用圆心到直线的距离与半径大小关系来判断直线与圆的位置关系;能够熟练运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系，并理解待定系数法解题的思路。

2.能力目标：学生通过经历观察，分析，总结，实践等数学活动，理解并能用几何法，代数法判断直线与圆相交，相切，相离。应用待定系数法解决直线与圆的位置关系，培养学生的分析问题和解决问题的能力。运用数形结合、分类讨论、类比等数学思想和方法的能力。

3.过程目标：

①学生通过学习直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，培养学生观察，分析问题的能力。

②通过问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生积极参与学习，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，树立学习数学的自信心。

4.情感目标：让学生从运动的角度观察直线与圆相交，相切，相离的关系，关注知识的生成，发展与变化的过程，主动探索，勇于发现，从而领悟世界上的一切物体都是运动变化的辩证唯物主义观点。增强学生对数学美的认识和追求;增强学生互助合作的能力，深刻认识“生存与共存”的关系。

教学重点与难点

教学重点：判断直线与圆的位置关系。

教学难点：运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系的理论依据及法则的得出。

教学方法和学法指导

1.教学方法：引导探究法、讲练结合。

2.学法指导：通过对平面几何相关问题的观察，分析，总结，借助数形结合思想解决问题。

教学手段：教学多媒体电脑、教学光盘、圆规、直尺、圆纸板

教学程序设计：

[媒体演示，引入生境]

老师在黑板上写上“旭日东升”的成语，让一学生解释该成语的意思，老师叙述情景：晴朗的早晨，一轮红日从东方地平线上升起，那么在太阳升起的过程中，太阳与地平线的相对位置关系是动态变化着的。

(媒体动画演示)：如果把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，那么太阳升起的画面，就展现了平面内一个圆与一条直线的相对位置关系的变化过程!

这节课，我们就来一起探讨同一平面内直线和圆的位置关系。(板书：直线与圆的位置关系)

[复习回顾]

师：我们学过了直线和圆的方程，请问：(学生回答)

问题一：直线的一般方程是什么?学生1：Ax+By+C=0

圆的标准方程是什么?学生2：

圆的一般方程是什么?学生3：

问题二：平面几何中，我们是如何判断直线和圆的位置关系?(学生作答，媒体展示图形。)

问题三：平面几何中解决直线与圆的位置关系方法是从图形本身出发，即从“形”的角度来研究的，那么我们能否从数的观点来研究呢?

学生讨论：发现《平面解析几何》这门数学学科能解决这一问题。平面直角坐标系中直线用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，圆用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)来表示。

问题四：从方程观点如何刻画直线和圆的关系?

学生讨论：联立方程组从解的个数去判断(类比于处理两条直线位置关系)。

师：我们在初中平面几何中学过的直线和圆有几种位置关系，那麽直线和圆有几种位置关系呢?

生：直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。

师：在平面几何中这些位置关系用数量特征如何表示出来的?(学生独立把三种位置关系画出来)

师：直线与圆的位置关系如何判断?

生：直线与圆的位置关系的数量特征：

直线与圆相离dr

直线与圆相交d=r

直线与圆相切d

[探索发现，尝试解决](媒体展示)观察发现。

师：在平面几何中判断直线与圆的位置关系的关键是比较d与r的大小关系，即把直线和圆的位置关系转化为圆心到直线的距离和圆的半径大小的比较，在初中因为已知线段的长度，我们经常通过勾股定理计算d，现在没有线段的长，已知直线和圆的方程由该如何比较呢?

生：d是圆心到直线的距离，可以用点到直线的距离。

师：那点到直线的距离公式是?

生：d=

师：用点到直线的距离公式的关键是?

生：找对圆心的坐标。

师：圆的那个方程容易找到圆心的坐标?

生：圆的标准方程。

师：这种利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系的方法叫做几何法。

[知识应用·典例剖析]

例1：判断直线x-y+2=0与圆(x-2)2+(y-2)2=1的位置关系。

解法1：(几何法)圆心C(2,2)到直线x-y+2=0的距离为

故直线与圆相离。

例2：判断直线x+y+1=0与圆x2+y2-2y-3=0的位置关系。

分析：如果题目已知圆的标准方程，可以很方便的利用几何法判断直线与圆的位置关系。若已知圆的一般方程，先将圆的一般方程变化成标准方程，再利用几何法判断直线与圆的位置关系。

解法1：圆的标准方程为：x2+(y-1)2=22

故圆心(0，1)到x+y+1=0的距离为

故直线与圆相交。

师：在平面几何中直线与圆的位置关系是如何定义的?

生：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
师：观察一下几何图形，从代数的角度考虑看看有没有新的发现?

生：直线与圆的交点个数不同呀!

师：很棒!已知直线和圆的方程，直线与圆的交点个数如何转化为代数形式，和方程如何联系起来呢?把几何形式的问题转化为代数形式是解析几何的解题思想，即就是把曲线有无交点转化为方程有无实根的问题，把曲线的交点个数转化为方程组的根的个数的问题，一般通过联立方程研究一元二次方程根的问题。

师：如何运用数学语言描述一元二次方程的根?

生：常用判别式研究一元二次方程根的个数。

师：非常好!我们可以从代数的角度利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，这种方法叫做代数法。

[知识应用·典例剖析]

例1：判断直线x-y+2=0与圆(x-2)2+(y-2)2=1的位置关系。

分析：用几何法判断关键是找对圆心，利用点到直线距离公式，求解此题也可用代数法

来解决。

解法2：(代数法)联立

得2x2-4x+3=0

由△=(-4)2-4×2×3=-80

故直线与圆相离。

总结：消去变量y得关于x的一元二次方程,根据判别式，判断一元二次方程根的情况，从而得出结论。

例2：判断直线x+y+1=0与圆x2+y2-2y-3=0的位置关系。

分析：从直线与圆的交点个数来考查，利用代数法求解。将圆的一般方程化为标准方程用几何法求解。

解法1：联立

得y2-1=0

由△=02-4×(-1)=40

故直线与圆相交。

[反思总结]圆的相关问题可以从几何图形去考虑，并归结为圆心及半径的问题，进行相关计算求解，比较d与r的大小，即几何法。也可联立方程，利用方程组解决，消去一个变量将方程组化为一个一元二次方程，再利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离方程没有实数解△0，直线与圆相切方程有一个实数解△=0，直线与圆相交方程有两个实数解△0，即代数法。请同学们独立完成以下小结。

[小结]直线与圆的位置关系

几何法：直线：Ax+By+C=0

圆：

d=

直线与圆相离dr

直线与圆相交d=r

直线与圆相切d

代数法：直线：Ax+By+C=0

圆：

联立：

削去y，得ax2+bx+c=0

且判别式△=b2-4ac

直线与圆相离方程没有实数解△0

直线与圆相切方程有一个实数解△=0

直线与圆相交方程有两个实数解△0

例3：已知圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y=-x+b与圆有两个交点;有一个

交点;没有交点?

分析：直线与圆的位置关系问题，可利用二次方程根的判别式的知识，采用待定系数法来确定圆的切线方程，此方法还可以扩展到求其他圆锥曲线的切线及相交问题。

解法1：联立

得2x2-2bx+b2-2=0

△=(-2b)2-4×2(b2-2)=-4b2+16

当△0，即-2

当△=0，即b=2或-2时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。

当△0，即b-2或b2时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。

解法2：圆心C(0,0)到x+y-b=0的距离为：

当d

当d=r，即b=2或-2时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。

当dr，即b-2或b2时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。

[练习]判断以下直线与圆的位置关系。

1.x-2y+5=0与(x-2)2+(y-2)2=1

2.y=-2x与x2+y2-4x-2y=0

3.y=-x-1与x2+y2-2y-24=0

答案：1.相离2.相切3.相交

[学生回顾]

1、本节课你学会了什么?

2、本节课运用了哪些数学思想和方法?

[布置作业]

1.课本P1072、4

2.直线x=a(a0)与圆(x-1)2+y2=4相切，求a的取值范围。

3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，求a的取值范围。

[课堂小结]1.判断直线与圆的位置关系：几何法、代数法

2.能用待定系数法解决直线与圆的位置关系。

[板书设计]略

文章来源：http://m.jab88.com/j/3264.html

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