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中考数学重难点专题讲座
第八讲动态几何与函数问题
【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路,但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来,代几综合题大概有两个侧重,第一个是侧重几何方面,利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面,几何性质只是一个引入点,更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野,很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题,这一讲将重点放在了对函数,方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看,要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小,大多是一个较为简单的函数式,体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松,所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。【例1】如图①所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移,平移后的直线与轴交于点D,与轴交于点E.(1)将直线向右平移,设平移距离CD为(t≥0),直角梯形OABC被直线扫过的面积(图中阴影部份)为,关于的函数图象如图②所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,且NQ平行于x轴,N点横坐标为4,求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.(2)当时,求S关于的函数解析式.
【思路分析】本题虽然不难,但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉,反应不上来那个M点是何含义,于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8,相对的,N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当时,阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积,于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系,然后利用对应关系去分段求解。【解】(1)由图(2)知,点的坐标是(2,8)∴由此判断:;∵点的横坐标是4,是平行于轴的射线,∴∴直角梯形的面积为:.....(3分)(2)当时,阴影部分的面积=直角梯形的面积的面积(基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)∴∵∴.∴.【例2】已知:在矩形中,,.分别以所在直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角坐标系.是边上的一个动点(不与重合),过点的反比例函数的图象与边交于点.(1)求证:与的面积相等;
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中,大家在认真写教案课件了。只有制定教案课件工作计划,可以更好完成工作任务!你们了解多少教案课件范文呢?下面是由小编为大家整理的“中考数学专题:多种函数交叉综合问题”,供您参考,希望能够帮助到大家。
中考数学专题5多种函数交叉综合问题
【例1】将直线沿轴向下平移后,得到的直线与轴交于点,与双曲线交于点.
⑴求直线的解析式;
⑵若点的纵标为,求的值(用含有的式子表示).
【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见,一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难,设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线,然后联立即可。比较简单,看看就行.
【解析】将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A(),
设直线AB的解析式为.
则.
解得.
∴直线AB的解析式为.
图3
(2)设点的坐标为,
∵直线经过点,
∴.
∴.
∴点的坐标为,
∵点在双曲线上,
【例2】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
(1)求出这两个函数的解析式;
(2)结合函数的图象回答:当自变量x的取值范围满足什么条件时,
【思路分析】第一问直接看图写出A,B点的坐标(-6,-2)(4,3),直接代入反比例函数中求m,建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单,但是事实上却有很多变化。比如不给图像,直接给出解析式求的区间,考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想,希望大家要活用这方面的意识去解题。
【解析】
解:(1)由图象知反比例函数的图象经过点B(4,3),
∴.∴m=12.-
∴反比例函数解析式为.
由图象知一次函数的图象经过点A(-6,-2),B(4,3),
∴解得--
∴一次函数解析式为.
(2)当0x4或x-6时,.
【例3】已知:如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内,当取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?
(3)是反比例函数图象上的一动点,其中,过点作直线轴,交轴于点;过点作直线轴交轴于点,交直线于点.当四边形的面积为6时,请判断线段与的大小关系,并说明理由.
【思路分析】第一问由于给出了一个定点,所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系,考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度,一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.
【解析】
解:(1)将分别代入中,
得,,
∴,.
∴反比例函数的表达式为:;
正比例函数的表达式为.
(2)观察图象得,在第一象限内,当时,
反比例函数的值大于正比例函数的值.
(3).
理由:∵,
∴,即.
∵,
∴.
∴.(很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积)
【例4】已知:与两个函数图象交点为,且,是关于的一元二次方程的两个不等实根,其中为非负整数.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)如果与函数和交于两点(点在点的左侧),线段,求的值.
【思路分析】本题看似有一个一元二次方程,但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围,加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m,n,继而求得解析式。注意题中已经给定mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B表示出来,然后利用构建方程即可。
【解析】(1)
∵为非负整数,∴
∵为一元二次方程
∴
(2)把代入方程得,解得
∵
∴
把代入与
可得
(3)把代入与
可得,,由,可得
解得,经检验为方程的根。
∴
【例5】已知:如图,一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为.
(1)求与的值;
(2)设一次函数的图像与轴交于点,连接,求的度数.
【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的,所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面,需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单,不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题,利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。
解:(1)∵点在双曲线上,
∴
又∵在直线上,
∴.
(2)过点A作AM⊥x轴于点M.
∵直线与轴交于点,
∴.
解得.
∴点的坐标为.
∴.
∵点的坐标为,
∴.
在Rt△中,,
∴.
∴.-
由勾股定理,得.
∴
∴.
∴.-
【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点:1、给交点求解析式;2,y的比较,3,夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外,还需要考生对数形结合,分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题,纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式,但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难,做好细节就可以取得全分。
第二部分发散思考
【思考1】如图,A、B两点在函数的图象上.
(1)求的值及直线AB的解析式;
(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数。
【思路分析】由于已经给出了点,第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上,哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试,由于数量较少,所以可以很明显看出。
【思考2】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点,直线分别交轴、轴于两点.
(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求的值.
【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系,考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形,所以需要从A引一条垂线来构成一对相似三角形,从而求解。
【思考3】已知:关于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k-3=0有两个不相等实数根(k0).
(I)用含k的式子表示方程的两实数根;
(II)设方程的两实数根分别是,(其中),若一次函数y=(3k-1)x+b与反比例函数y=的图像都经过点(x1,kx2),求一次函数与反比例函数的解析式.
【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题,一方面要解方程,另一方面还要求函数解析式。第一问求根,直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组,认真计算就可以。
【思考4】如图,反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B,OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上,OA:0C=2:1.
(1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标;
(2)若直线平分矩形OABC面积,求的值
【思路分析】本题看似麻烦,夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图,通过比例可以很轻易发现B点的横纵坐标关系,巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题,平分面积意味着一定过B点,代入即可。
第三部分思考题解析
【思考1解析】
(1)由图象可知,函数()的图象经过点,
可得.
设直线的解析式为.
∵,两点在函数的图象上,
∴解得
∴直线的解析式为.
(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3.
【思考2解析】
(1)把,代入,得:.
反比例函数的解析式为.
把,代入得.
把,;,分别代入
得,(第16题答图)
解得,一次函数的解析式为.
(2)过点作轴于点.
点的纵坐标为1,.
由一次函数的解析式为得点的坐标为,
.
在和中,,,
.
.
【思考3解析】
解:(I)kx2+(2k-3)x+k-3=0是关于x的一元二次方程.
∴
由求根公式,得
.∴或
(II),∴.
而,∴,.
由题意,有
解之,得.
∴一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为.
【思考4解析】
(1)由题意,设B,则
∵B在第一象限,
B(4,2)
∴矩形OABC对角线的交点E为
(2)∵直线平分矩形OABC必过点
∴1=2x2+m
m=-3
文章来源:http://m.jab88.com/j/76341.html
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