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九年级数学《解直角三角形及其应用》教学设计

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九年级数学《解直角三角形及其应用》教学设计

学习目标:

1.把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决,进一步提高数学建模能力;

2.通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

学习重点:

将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识解决实际问题.

应用知识,解决问题

热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?

28.2解直角三角形及其应用(第3课时)教学设计

分析:(1)从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°→α=30°

(2)从热气球看一栋楼底部的俯角为60°→β=60°

(3)热气球与高楼的水平距离为120m→AD=120m,AD⊥BC

(4)这个问题可归纳为什么问题解决?怎样解决?

在直角三角形中,已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边,可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边,再利用两线段之和求解.

解:如图,α=30°,β=60°,AD=120.

BD=AD·tanα=120×tan30°

CD=AD·tanβ=120×tan60°

BC=BD+CD

≈277(m).

答:这栋楼高约为277m.

我们要解决这个实际问题,还有没有其他的办法呢?

不难看出,∵α=30°,β=60°,∴三角形ABC是直角三角形,BC是斜边,我们还可以通过勾股定理来解决。

即求出AB和AC的长,运用勾股定理来求得BC,

归纳总结

应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤:

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);

(2)根据条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;

(3)得到数学问题的答案;

(4)得到实际问题的答案.

如果问题不能归结为一个直角三角形,则应当对所求的量进行分解,将其中的一部分量归结为直角三角形中的量.

延伸阅读

中考数学解直角三角形复习


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初三第一轮复习第34课时:解直角三角形

【知识梳理】

1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边角关系:锐角三角函数

2.解直角三角形的基本类型及解法:(1)已知斜边和一个锐角解直角三角形;(2)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;(3)已知两边解直角三角形.

3.解直角三角形的应用:关键是把实际问题转化为数学问题来解决

【课前预习】

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,根据已知量,填出下列表中的未知量:

abc∠A∠B

630°

1045°

2、如图所示,在△ABC中,∠A=30°,,AC=,则AB=.

变式:若已知AB,如何求AC?

3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°,则大楼高约m.

(精确到1m,)

4、如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为1:,顶宽为3米,路基高为4米,

则坡角=°,腰AD=,路基的下底CD=.

5、如图所示,王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地m.

【解题指导】

例1如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD=2AC=2BD,且DE⊥AB.

(1)求tanB;(2)若DE=1,求CE的长.

例2如图34-4所示,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6m的小区超市,超市以上是居民住房,在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

(1)问超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么?

(2)若新楼的影子刚好部落在居民楼上,则两楼应相距多少米?

(结果保留整数,参考数据:)

例3某校初三课外活动小组,在测量树高的一次活动中,如图34-6所示,测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m,树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比,求树高AB.(结果保留整数,参考数据)

例4一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.

【巩固练习】

1、某坡面的坡度为1:,则坡角是_______度.

2、已知一斜坡的坡度为1:4,水平距离为20m,则该斜坡的垂直高度为.

3、河堤的横断面如图1所示,堤高BC是5m,迎水斜坡AB长13m,那么斜坡AB的坡度等于.

4、菱形在平面直角坐标系中的位置如图2所示,,则点的坐标为.

5、如图3,先锋村准备在坡角为的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为.

6、如图,一巡逻艇航行至海面处时,得知其正北方向上处一渔船发生故障.已知港口处在处的北偏西方向上,距处20海里;处在A处的北偏东方向上,求之间的距离(结果精确到0.1海里)

【课后作业】班级姓名

一、必做题:

1、如图4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为cm.

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为米,则这个坡面的坡度为__________.

3、已知如图5,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为_____.

4、如图6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△,使点与C重合,连结,则的值为.

5、如图7所示,在一次夏令营活动中,小亮从位于A点的营地出发,沿北偏东60°方向走了5km到达B地,然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地,测得A地在C地南偏西30°方向,则A、C两地的距离为()

(A)(B)(C)(D)

6、如图8,小明要测量河内岛B到河边公路l的距离,在A测得,在C测得,米,则岛B到公路l的距离为()米.

(A)25(B)(C)(D)

7、如图9所示,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距().

(A)30海里(B)40海里(C)50海里(D)60海里

8、如图10,是一水库大坝横断面的一部分,坝高h=6m,迎水斜坡AB=10m,斜坡的坡角为α,则tanα的值为()

(A)(B)(C)(D)

9、如图11,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=1km,B村到公路l的距离BD=2km,B村在A村的南偏东45°方向上.

(1)求出A,B两村之间的距离;

(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹,并简要写明作法).

10、如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.(1)求半径OD;(2)根据需要,水面要以每小时0.5m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?

11、如图所示,A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内.请问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据:,)

12、如图,斜坡AC的坡度(坡比)为1:,AC=10米.坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连,AB=14米.试求旗杆BC的高度.

二、选做题:

13、如图,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响,该船应在到达后多少小时内卸完货物?

14、如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.

(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;

(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;

(3)若tan∠BPD=,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.

解直角三角形教学案


南沙初中初三数学教学案
教学内容:7.5解直角三角形
课型:新授课学生姓名:________
学习目标:
1、了解解直角三角形的概念,
2、能运用直角三角形的角与角(两锐角互余),边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
教学过程:
一、情境
如图所示,一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断
倒下,树顶落在离数根24米处。问大树在折断之前高多少米?
显然,我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度
为=,+10=36所以,大树在
折断之前的高为36米。
二、探索活动
1、定义教学:
任何一个三角形都有六个元素,______条边、_____个角,在直角三角形中,已知有一个角是_________,我们把利用已知的元素求出末知元素的过程,叫做解直角三角形。
像上述的就是由两条直角边这两个元素,利用勾股定理求出斜边的长度,我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角,像这样的过程,就是解直角三角形。
思考:要解出直角三角形,至少需要除直角外的_____个元素,其中至少有一个是_____。
2.解直角三角形的所需的工具:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
其余5个元素之间有以下关系:
(1)两锐角互余:∠A+∠B=;
(2)三边满足勾股定理:a2+b2=;
(3)边与角关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=;tanA=;tanB=。
3.例题讲解
例1:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,解这个直角三角形。

(2)Rt△ABC中,∠C=90°,a=,b=,解这个直角三角形。

例2、Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,a+b=+3,解这个直角三角形。

例3、如图,圆O半径为10,求圆O的内接正五边形ABCDE的边长(精确到0.1)
(其中选用:sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7265)

三、板演练习:
1、已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,b=2,c=4,解这个直角三角形。

2、已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,a=5,解这个直角三角形。

3、求半径为12的圆的内接正八角形的边长和面积。

四、小结
五、课堂作业(见作业纸56)
南沙初中初三数学课堂作业(56)
(命题,校对:王猛)
班级__________姓名___________学号_________得分_________
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanB=2,a=1,则b=________。
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°,b=2,则∠B=______,c=________。
3、在Rt△ABC中,∠C=90°,a=2,b=2,则c=________,tanB=______。
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,=AB,则sinA=________,tanA=________.
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则tan=________.
6、小华用一张直径为20cm的圆形纸片,剪出一个面积最大的正六边形,这个六边形的面积是_______cm2.
7、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=,解这个直角三角形。

8、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=2,解这个直角三角形。

9、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC+BA=+,求BC及tanA。

10、(09山西太原)如图,从热气球上测得两建筑物.底部的俯角分别为30°和.如果这时气球的高度为90米.且点..在同一直线上,求建筑物.间的距离.

九年级数学下册《解直角三角形》教学设计


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九年级数学下册《解直角三角形》教学设计

【教学目标】1.会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题;

2.会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系,解决简单的实际问题。

【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题

【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系,解决简单的实际问题

【教学方法】探究法

【教具准备】计算器、电脑、实物投影

【教学过程】

一.复习提问

1.复述勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.锐角三角函数的定义:sinA=cosA=,

tanA=,cotA=。

1.锐角三角函数的特征与性质:

(1)锐角三角函数的值都是正实数,并且0<sinA<1,0<cosA<1

(2)tanA?cotA=1

(3)若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB、cosA=sinB、tanA=cotB、cotA=tanB。

(4)补充:,(视情况定)

(5)补充:已知锐角∠A,则(视情况定)

二.讲述新课

1.解直角三角形:在直角三角形中,除一个直角外,还有2个角和3条边共5个元素,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形。

2.例题讲解

例1(P116习题19.4:1(1))在Rt△ABC中,∠C=90゜,已知,,解直角三角形。

分析:先根据条件画出三角形,可由勾股定理求出c,再由三角函数求锐角的度数。

[答案:,∠A=60°,∠B=30°]

例2(P112例1)如图19.4.1所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下,树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少?

分析:利用勾股定理求出折断倒下部分的长度,再求大树在折断前的高度。

[答案:36米]

三.归纳:

1.解直角三角形,只有下面两种情况:

(1)已知两条边;

(2)已知一条边和一个锐角

2.在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,本书除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′.

四.课堂练习

1.P116(习题19.4):1(2)

2.P113(练习):1

五.课后作业:

P116(习题19.4):1(3)~(4)【改为“解这个直角三角形”】

文章来源:http://m.jab88.com/j/68922.html

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