22.3实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积
出示目标
能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.
预习导学
阅读教材第49至50页,自学“探究1”,能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式,体会二次函数这一模型的意义.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①如图,点C是线段AB上的一点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是(A)
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C为AB的三等分点时,S最小
D.当C是AB的三等分点时,S最大
②用长8m的铝合金制成如图所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是m2.
第②题图第③题图
③如图所示,某村修一条水渠,横断面是等腰梯形,底角为120°,两腰与下底的和为4cm,当水渠深x为时,横断面面积最大,最大面积是.
先列出函数的解析式,再根据其增减性确定最值.
合作探究1
活动1小组讨论
例1某建筑的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料长为15m(图中所有线条长度之和),当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解:由题意可知4y+×2πx+7x=15.化简得y=.
设窗户的面积为Sm2,则S=πx2+2x×=-3.5x2+7.5x.
∵a=-3.50,∴S有最大值.∴当x=-=≈1.07(m)时,
S最大=≈4.02(m2).即当x≈1.07m时,窗户通过的光线最多.
此时,窗户的面积是4.02m2.
此题较复杂,特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时,要充分利用几何关系;要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.
活动2跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示)
如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,两腰之间有两条竖直甬道,且它们的宽度相等,设甬道的宽为x米.
①用含x的式子表示横向甬道的面积;
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽;
③根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米,如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?
解:①150xm2;②5m;③当甬道宽度为6m时,所建花坛总费用最少,为238.44万元.
想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.
合作探究2
活动1小组讨论
例2如图,从一张矩形纸较短的边上找一点E,过E点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE、DE,要使剪下的两个正方形的面积和最小,点E应选在何处?为什么?
解:设矩形纸较短边长为a,设DE=x,则AE=a-x.
那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x=a时,
y最小=2×(a)2-2a×a+a2=a2.即点E选在矩形纸较短边的中点时,剪下的两个正方形的面积和最小.
此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.
活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图,有一块空地,空地外有一面长10m的围墙,为了美化生活环境,准备靠墙修建一个矩形花圃,用32m长的不锈钢作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门,花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?
解:当x=6.25m时,面积最大为56.25m2.
此题要结合函数图象求解,顶点不在取值范围内.
活动3课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么?
当堂训练
教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.
红星学校初中部______年级___________学科课堂导学案
第____课时备课:____月___日讲课:____月____日组长签批:____月____日
课题图形的旋转(一)授课教师
学习
目标1、记住旋转、旋转中心、旋转角的概念。
2、熟记旋转的性质并会应用解题。
学习
重难点学习重点:旋转、旋转中心、旋转角的概念。
学习难点:旋转的性质并会应用解题。
学法
指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法
学习过程
独
立
尝
试学案导案
一、导入新课
下列现象哪些是平移?
平移的特点有哪些?
①平移是指整个图形平行移动,包括图形的每一条线段、每一个点、经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。
②平移不改变图形的形状、大小,方向,只改变图形的位置。
日常生活中,我们经常见到(钟表、风扇、汽车方向盘,摩天轮,旋转木马……)钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。
③上面情景中的转动现象,有什么共同特征?
④钟表的指针、钟摆在转动过程中,其形状、大小、位置是否发生改变?风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢?
合作探究1、旋转
在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
注意:“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时,它的形状和大小不变。因此,旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。
2、旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等。
④图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。
自我挑战
堂清试题如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:
①旋转中心是什么?旋转角是什么?
②经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
解:①旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角。②经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的置。
自我总结1、记住本节基本概念和旋转的性质是解题的关键点。
2、解题过程中要认真、仔细,同时注意做题的规范性。
预留作业课本第77页知识技能第1、2题。
板书设计图形的旋转(一)
一、旋转、旋转中心、旋转角的概念三、自学检测
二、典型例题分析四、堂清试题
导学反思
张家港市一中2014—2015学年度第二学期八年级数学导学案
初二班姓名学号
课题:9.1图形的旋转
教学目标:1.经历对生活中旋转现象的观察、分析过程,学会用数学的眼光看待生活中的有关问题;2.通过具体实例的认识旋转,研究、发现旋转的性质;3.经历对具有旋转特征的图形的观察、作图、操作等过程,掌握和熟悉作图的技能。
教学重点难点:探索发现旋转图形的定义以及性质,并能熟练的掌握。怎么样利用旋转的性质作一个图形的旋转图形。
一.课前预习与导学
1.(1)在平面内,将一个图形绕一个_______转动________的角度,这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点成为______,旋转的角度称为_________.
(2)旋转前后的图形________(对应线段_____,对应角_______)。
(3)对应点到旋转中心的距离__________。
(4)每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此______。
(5)如图,画出⊿ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。
2.小组交流合作:
(1)举出生活有关旋转的例子。
(2)选择:①下列现象属于旋转的是()
A.摩托车在急刹车时向前滑动;B.飞机起飞后冲向空中的过程
C.幸运大转盘转动的过程;D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
②在图形旋转中,下列说法错误的是()
A.图形上各点的旋转角度相同;B.旋转不改变图形的大小、形状;
C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到;D.对应点到旋转中心距离相等
(3)指出下图中的旋转、旋转中心、旋转角?
二。课堂研讨:
1.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC上一点,△ABD经过旋转后到达△ACD’的位置。(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)如果M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?
2.下图是由正方形ABCD旋转而成。(1)旋转中心是______
(2)旋转的角度是______(3)若正方形的边长是1,则C′D=_____
3.旋转作图
(1)画出将线段AB绕点O按顺时针方向旋转1000后的图形。
(2)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转1200后的对应三角形。
(3)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形.
4.如图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形
所在的平面上可以作为旋转中心的点共有______个。
5.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=1200,以BC为边向形外作等边三角形△BCD,把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD,若AB=3,AC=2,求∠BAD的度数与AD的长.
6.如右上图:画出AB绕点O旋转后,线段AB的对应线段是A′B′,试确定旋转中心点O的位置.
7.探究:如图3.1-19,Rt△ABC中,∠ACB=90°,
AC=,BC=1,将Rt△ABC绕C点旋转90°后
为Rt△A’B’C’,再将Rt△A’B’C’绕B点旋转
为Rt△A”B”C”使得A、C、B’、A”在同一直线上,
则A点运动到A”点所走的长度为.
三.课堂小结
教学后记:
图形旋转要有三个关键要素:一是旋转的中心,即绕着哪一个点旋转;二是旋转的方向,按顺时针还是逆时针方向旋转;三是旋转的角度。为了突破学生在方格纸上把简单图形按顺时针或逆时针旋转90°这个难点,笔者思考能否将静止的方格图形在学生手中活动起来,让学生看清楚它的完整旋转过程?再用“探究验证”法来检测自己的学习成果。在“操作——验证”这样的过程中逐步建构图形旋转的方法和关键点。
初二数学课堂练习班级姓名学号。
1.如图1所示图形旋转一定角度能与自身重合,则旋转的角度可能是()
A.30°B.60°C.90°D.120°
2.如图2,△ABC按顺时针方向旋转一个角度后成为△A/B/C/,指出图中的旋转中心是()A.A点B.B点C.C点D.B/点
图1
3.如图3,△ABC为等边三角形,D是△ABC内一点,若将△ABD经过旋转后到△ACP位置,则旋转中心是__________,旋转角等于_________度,△ADP是___________三角形.
4.如图4,△ABC与△CDE都是等边三角形,图中的△________和△_______可以绕
点旋转_______度互相得到.
5.如图5,△ABC按逆时针方向转动了80°以后成为△A/B/C/,已知∠B=60度,∠C=55度,那么∠BAC/=度.
6.如图,在等腰直角△ABC中,∠C=900,BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将这个三角形旋转1800,点B落在点B′处,求BB′的长度.
7.按要求分别画出旋转图形:
(1)画△ABC绕O点顺时针方向旋转90°后得到△
(2)把四边形ABCD绕O点逆时针方向旋转90°后得四边形。
8.王虎使一长为4,宽为3的长方形木板,在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A位置变化为,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°角,则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为
文章来源:http://m.jab88.com/j/68157.html
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