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18.3一次函数（5）
知识技能目标
1.使学生理解待定系数法；
2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．
过程性目标
1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函数式；
2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化．
教学过程
一、创设情境
一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？
问题1已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y＝kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值．
由已知条件x＝-2时，y＝-1，得-1＝-2k＋b．
由已知条件x＝3时，y＝-3，得-3＝3k＋b．
两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程
解得
所以，一次函数解析式为．
问题2已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．
考虑这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？
二、探究归纳
上题可作如下分析：
已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式，所以要求的就是系数k和b的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b的二元一次方程组，进而求得k与b的值．
解设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得
解这个方程组，得
所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．(其中自变量有一定的范围)
讨论1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题．
2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．
问题3若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．
分析考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程．
解当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．
这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法(methodofundeterminedcoefficient)．
三、实践应用
例1已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值．
分析1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数解析式中，求出k与b．
2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手．
解由题意，得
解这个方程组，得
这个函数解析式为y＝-3x-2．
当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．

例2已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．

分析从“形”看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式．
解设：所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得
解得
所以所求的一次函数的关系式是．
例3求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
分析两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解．
解两个函数关系式组成的方程组为
解这个方程组，得
所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．

例4已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
(1)在同一坐标系内作出它们的图象；
(2)求出它们的交点A坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析(1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．(4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解(1)

(2)解得
所以两条直线的交点坐标A为．
(3)当y1＝0时，x＝所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B(，0)，当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x轴于点E，则．
(4)两个解析式组成的方程组为
解这个关于x、y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即解得．

四、交流反思
本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法
1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值；
2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．
3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解．

五、检测反馈
1.根据下列条件写出相应的函数关系式．
(1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)；
(2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7．
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)．
3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系．
4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．
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扩展阅读

一次函数图像

班级_____________姓名_____________
课题：§5.3一次函数的图像（2）（初二数学上060）A版
课型：新课
学习目标：（学习重点）
1．能根据k、b的符号说出一次函数y＝kx＋b的图象（直线）的大致情况.
2．理解并掌握一次函数y＝kx＋b的性质.
补充例题：
例1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.
①y＝2x－4y＝12x＋1

观察直线y=2x－4：
（1）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是
（2）图象经过这些点：（－3，）；（－1，）；（0，）；（，－2）；（，2）
（3）当x的值越来越大时，y的值越来越
（4）整个函数图象来看，是从左至右（填上升或下降）
（5）当x取何值时，y0？
②y＝－2x＋2y＝－13x－1

观察直线y=－2x＋2：
（1）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是
（2）图象经过这些点：（－3，）；（－1，）；（0，）；（，－4）；（，－8）
（3）当x的值越来越大时，y的值越来越
（4）整个函数图象来看，是从左至右（填上升或下降）
（5）当x取何值时，y0？
小结：一次函数y＝kx＋b有下列性质：1.当k＞0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____；当k＜0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____.
2.当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在______
当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在_____.
当b＝0时，这时函数的图象与y轴的交点在_____.
3.当k＞0，b＞0时，一次函数图像经过______________象限.
当k＞0，b＜0时，一次函数图像经过______________象限.
当k＜0，b＞0时，一次函数图像经过______________象限.
当k＜0，b＜0时，一次函数图像经过______________象限.
当k＞0，正比例函数图像经过______________象限.
当k＜0，正比例函数图像经过______________象限.
补充例题：
例1．(1)一次函数y＝kx＋b的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质.
(2)下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m、n是常数，且mn≠0）的图象是（）

例2．（1）若k＞0，b＞0，则直线y＝kx＋b的图象经过第___________象限.
（2）若k0，b＞0，则直线y＝kx＋b的图象经过第___________象限.
（3）已知函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则k______，b______.

例3．已知一次函数y＝(m＋5)x＋(2－n).①m为何值时，y随x的增大而减少？②m、n为何值时，函数图像与y轴的交点在x轴上方？③m、n为何值时，函数图像过原点？④m、n为何值时，函数图像经过二、三、四象限？

例4．已知一次函数y＝(1－2m)x＋m－1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象与y轴的交点在x轴下方，求m的取值范围.
课后续助：
一、填空题：
1．已知一次函数y＝kx＋5的图象经过点（－1，2），则k＝_________.
2．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k＝_______，b＝________.
3．若k＜0，b＜0，则一次函数y＝kx＋b的图象经过第______________象限.
4．已知直线l1：y＝ax＋b经过第一、二、四象限，那么直线l2：y＝bx＋a所经过的象限是.
5．（1）一次函数y＝x－1的图象与x轴交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________，y随x的增大而____________.
（2）一次函数y＝－5x＋4的图象经过___________象限，y随x的增大而________.
（3）一次函数y＝kx＋1的图象过点A（2，3），则k＝_______，该函数图象经过点B（－1，____）和C（0，_____）
（4）已知函数y＝mx＋(m＋2)，当m________时，的图象过原点；当m________时，函数y值x随的增大而增大.
（5）写出一个y随x的增大而减少的一次函数_______.
二、选择题:
1.直线y＝x＋1不经过的象限是（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（）
A．y＝－3xB．y＝－2x＋1C．y＝x－3D．y＝－x－2
3.若函数y＝(m－1)x＋1是一次函数，且y随自变量x的增大而减小，那么m的取值为（）A．m＞1B．m≥1C．m＜1D．m＝1
4.已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb0，则它的大致图象是（）

ABCD
三、解答题：
1．已知一次函数y＝(p＋8)x＋(6－q).
①p、q为何值时，y随x的增大而增大？
②p、q为何值时，函数与y轴交点在x轴上方？
③p、q为何值时，图象过原点？
2．若一次函数y＝(2k－3)x＋2－k的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而增大，求k的取值范围.

3．已知一次函数y＝ax＋1＋a2的图象与y轴的交点的纵坐标为5，且图象经过第一、二、三象限，求此函数的解析式.
4．已知一次函数y＝(3m－8)x＋1－m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.
（1）求m的值；（2）当x取何值时，0＜y＜4？

11．2一次函数

11．2一次函数
§11．2．1正比例函数
教学目标
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
答应:１．根据圆的周长公式可得：L=2r．
２．依据密度公式p=可得：m=7．8V．
３．据题意可知：h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportionalfunc-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x２．y=-2x
结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x-3-2-10123
y-6-4-20246

画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x-3-2-10123
y6420-2-4-6

画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y=x２．y=-x
x-6-4-20246
y=x
-3-2-10123
Y=-x
3210-1-2-3

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
[活动二]
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=x２．y=-3x
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
Ⅴ．课后作业
1、习题11．2─1、2、6题．
2、《课堂感悟与探究》
Ⅵ．活动与探究
某函数具有下面的性质：
１．它的图象是经过原点的一条直线．
２．y随x增大反而减小．
请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
解：函数解析式：y=-0．5x
x02
y0-1
板书设计
§11．2．1正比例函数
一、正比例函数定义
二、正比例函数图象特征
三、正比例函数图象特征与解析式的关系规律
四、随堂练习

备课资料
汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
解法一：用图象解答：
从图上可以看出4个小时可到达．
速度＝=30（千米／时）．
行驶１小时离开天津约为30千米．
当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．
解法二：用解析式来解答：
由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120
即120=k×4k=30
∴S=30t．
当t=1时S=30×1=30（千米）．
当S=100时100=30tt=（小时）．
以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．

一次函数

第十四章一次函数

课题：11.1.1变量

知识目标：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系
能力目标：增强对变量的理解
情感目标：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想
重点：变量与常量
难点：对变量的判断
教学媒体：多媒体电脑，绳圈
教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式
教学设计：
引入：
信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s.
t/m12345
s/km

新课：
问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?
(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？
（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?
（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。
指出上述问题中的变量和常量。
范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？
（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；
（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；
（4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。
活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量.
(1)圆的面积公式S=πr2;
(2)正方形的l=4a;
(3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为y=2.5x.
2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量.
（1）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.
（2）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.
思考：怎样列变量之间的关系式？
小结：变量与常量
作业：阅读教材5页，11.1.2函数

课题：11.1.2函数

知识目标：理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数
能力目标：会用变化的量描述事物
情感目标：回用运动的观点观察事物，分析事物
重点：函数的概念
难点：函数的概念
教学媒体：多媒体电脑，计算器
教学说明：注意区分函数与非函数的关系，学会确定自变量的取值范围
教学设计：
引入：
信息1：小明在14岁生日时，看到他爸爸为他记录的以前各年周岁时体重数值表，你能看出小明各周岁时体重是如何变化的吗？
周岁12345678910111213
体重（kg）9.311.813.515.416.718.019.621.523.22527.630.232.5

信息2：当你坐在摩天轮上时，随着旋转时间t（min）与你离开地面的高度h(m)之间的关系如图，你能填写下表吗？
时间/min012345
高度/m
新课：
问题：（1）如图是某日的气温变化图。
①这张图告诉我们哪些信息？
②这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的？
(2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和赫兹（KHz）为单位标刻的，下表中是一些对应的数：
波长l(m)30050060010001500
频率f(KHz)1000600500300200
①这表告诉我们哪些信息？
②这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，你能用一个表达式表示出来吗？
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
范例：例1判断下列变量之间是不是函数关系：
（5）长方形的宽一定时，其长与面积；
（6）等腰三角形的底边长与面积；
（7）某人的年龄与身高；
活动1：阅读教材7页观察1.后完成教材8页探究，利用计算器发现变量和函数的关系
思考：自变量是否可以任意取值
例2一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系式.
（2）指出自变量x的取值范围.
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
解：（1）y=50-0.1x
（2）0≤x≤500
（3）x=200,y=30
活动2：练习教材9页练习
小结：（1）函数概念
（2）自变量，函数值
（3）自变量的取值范围确定
作业：18页：2，3，4题

文章来源：http://m.jab88.com/j/64656.html

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