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初二数学上册知识点：二元一次方程

二元一次方程
1.二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知项的次数是1，系数不是O，这样的整式方程，叫做二元一次方程.
二元一次方程指的是有两个未知数的，而且未知数的质数都是1的方程式。由二元一次方程衍生出了二元一次方程组、二元一次方程的解等方面的知识，一般来说，解二元一次方程都需要把方程中的未知数的个数减少，然后再解，它的方程式是X-Y=1。
2.二元一次方程的一般形式ax+by=c(其中x、y少是未知数，a、b、c是字母已知数，且ab≠O).
3.判断一个方程是二元一次方程，它必须同时满足下列四个条件
(l)含有两个未知数;
(2)未知项的次数都是1;
(3)未知项的系数都不是仇
(4)等号两边的代数式是整式，即方程是整式方程.

二元一次方程解题技巧：
每个人初学二元一次方程的时候，总是会觉得十分难解的，但是只要你掌握了解题技巧，自然而然就能解开。首先要想解开一个二元一次方程，就应该是解开二元一次方程组，第一步做的就是把第一个和第二个方程组合并，然后把需要解开的项移到一旁，然后合并同类项，最后就可以将解得的一个未知数带入原先的方程中，就可以得知两个未知数的值。
通常求一个二元一次方程解的方法是:用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，如3x-x/2=7变形为y=2(3x-7)，给出二的一个值，就可以求出少的对应值，这样就得到了一个方程的解。适合一个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.由于任何一个二元一次方程，让其中一个未知数取任意一个值，都可以求出与其对应的另一个未知数的值，因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.但若对未知数的取值附加某些条件限制时，方程的解可能只有有限个。

精选阅读

二元一次方程学案

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10.1二元一次方程
班级姓名学号
【课前准备】：
根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？
这可以转化为数学上的问题，设该队赢了x场，输了y场，那么

【探索新知】
1、你能说出输赢的所有可能情况吗？
x5
y10
某球员在一场篮球比赛中共得35分（其中一罚球得10分），问他分别投中了多少个两分球？多少个三分球？你能列出方程吗？

2、请你也设计一张表格，列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况。并请回答下列问题：
（1）这名球员最多投中了多少个三分球？
（2）这名球员最多投中了多少个球？
（3）如果这名球员投中了10个球，那么他投中了几个两分球？几个三分球？
3、提问方程2x+y=20和2x+3y=25有哪些共同得特点？
4、概括总结：
像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。
记作：

【知识运用】
例1甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg.
(1)列出关于x、y的二元一次方程;
(2)如果x=12，求y的值；
(3)请将关于x、y的二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式

例2写出一个二元一次方程，使x=-1,y=3为它的一个解，该二元一次方程可以
为_______________

例3、二元一次方程x-y=5的解有多少个？
x011.52345－2－1……
y
指出：一般地，二元一次方程的解有无数个

设问：是否x、y任意取两个数都是这个方程的解？试举例

探究：根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程：一个长方形的周长是20cm，求这个长方形的长和宽.

巩固练习
（1）判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？
①6x+3y=4z②7xy+y=9③2x+y+1④2（x+y）=8-x
（2）把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式
①2x+y=10②x+y=20③2x+3y=12

【当堂反馈】
1、方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（）
A、m≠0B、m≠1C、m≠－1D、m≠2
2、方程的公共解是（）
A、B、C、D、
3、若，的符号为（）
A、同号B、异号C、可能同号可能异号D、
4、下列各组数，既是方程2x-y=3的解，同时又是方程3x+4y=10的解的是()
Ax=1Bx=2Cx=4Dx=-2
Y=-1y=1y=5y=4
5、方程中2x-y/3=1,1／2x+2／y=3,5(x+y)=7(x-y),1／2x+y=4中是二元一次方程的有______________________
6、已知x=2是方程2x+ay=5的解，则a=_______
y=1
7、二元一次方程2x+y=5中，当x=2时，y=;
8、把二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式是
9、已知方程是二元一次方程,则m=_____;n=______.
10、方程的非正整数解有组，分别为。
11、写出一个二元一次方程，使其满足的系数是大于2的自然数，的系数是小于－3的整数，且是它的一个解。。
12、校初一年级200名学生参加期中考试，数学成绩情况如下表，问这次考试中及格和不及格的人数各是多少人？（只列方程）
平均分
及格学生87
不及格学生43
初一年级76

13、如图，等腰三角形ABC，AB＝x，BC＝y，周长为12．
（1）列出关于x、y的二元一次方程
（2）求该方程的所有整数解。

14、已知是方程2x+3y=5的一个解，求a的值.

15、已知3y-2x=1，用含x的一次式来表示y，并取x=1，-5，10，求出方程的三个解。

16、甲种铅笔每枝0.2元，乙种铅笔每枝0.5元，现在某人买了x枝甲种铅笔，y枝乙种铅笔，共花了７元．
（１）列出关于x,y的二元一次方程．
（２）如果x＝5，那么y的值是多少？
（３）如果乙种铅笔买了10枝，那么甲种铅笔买了多少枝？

二元一次方程的解法

§8.2消元——二元一次方程的解法
第1、2课时（代入法解二元一次方程组）
学习目标：
重点：用代入法解二元一次方程组
难点：用代入法解二元一次方程组
课前预习：
一、阅读教材P96－P98的内容
二、独立思考：
1、满足方程组的x的值是－1，则方程组的解是_____________.
2、用代入法解方程组比较容易的变形是（）、
A、由①得B、由①得
C、由得D、则得
3、用代入消元法解方程以下各式正确的是（）
A、B、
C、D、
4、如果是二元一次方程，则的值是多少？
互动教学过程
探究一：用代入法解方程组。
探究二：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
步骤名称具体做法目的
1变形变形为
2代入
3求一元
4求另一元
5写出解

探究三：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为
2：5，某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小两种产品各多少瓶？

自我能力评估
一、课堂练习
教材P98练习1、2题，P99练习第3、4题
解下列方程组
（1）（2）（3）

二、作业布置
教材P103习题8.2第1、2、4、6题。
三、自我检验
（一）填空题
1、在方程中，若用x表示y，则y＝__________________，若用y表示x，则x＝____________.
2、用代入法解方程组较简单的解法步骤为：先把方程______变为_________________，再代入方程________，求得_______的值，然后再求_________的值。
3、二元一次方程组的解为_______________。
4、若是方程组的解，则m＝_________，n＝__________。
5、在方程中，若x与y互为相反数，则x＝_______，y＝___________。
6、从方程组中消去m，得x与y的关系式为_____________________。
7、如果方程组的解是方程的一个解，则m＝________________。
8、用代入法解方程组由得到用x的式子表示y是：_______________________。
（二）选择题
1、用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（）
A、由得B、由得C、由得D、由得
2、用代入法解方程组时，代入正确的是（）
A、B、C、D、
3、解方程组的最佳方法是（）
A、由得再代入B、由得再代入
C、由得再代入D、由得再代入
4、方程的一个解与方程组的解相同，由m等于（）
A、4B、3C、2D、1
5、如果是方程组的解，那之间的关系是（）
A、B、C、D、
6、在式子中，当时，其值为3，当时，其值是4，当时，其值为（）
A、B、C、D、
7、某校八年级学生在会议室开会，若每排坐12人，则有11人无处从，若每排从14人，则余1人独从一排，则这个年级的学生总数为（）
A、133B、144C、155D、166
（三）解答题
1、用代入消元法解下列方程组：
（1）（2）（3）
2、已知方程组的解中x与y互为相反数，求m的值。

3、已知方程组的解是方程的一个解，求a的值。

4、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b的值。

5、解下列方程组的过程中，是否有错误，如有错误，请指出来。
解方程组
解：由①得
把代入中，
∴y是任意数
∴x是任意数
因此方程组有无数个解
6、若求的值。

7、一个两位数，十位上的数字比个位数字大2，若将十位数了和个位数字交换位置，所得的数比原数的多3，求这个两位数。

8、甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C，解得，求A、B、C的值。

9、已知等式对于一切数都成立，求A、B的值。

10、根据有关信息求解：
（1）根据图中给出的信息，求每件T恤衫和每
瓶矿泉水的价格。
（2）用八块相同的长方形地砖拼成了一个大长
方形，求每块地砖的长和宽。

第3、4课时（加减消元法）
学习目标：1、掌握用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，进一步体会消元的思想。
2、能根据二元一次方程组的特点选择比较容易的方法解题。
3、能由题意找出相等关系列出方程组解简单的实际问题。
重点：用加减消元法解二元一次方程组
难点：用加减消元法解二元一次方程组
课前预习：
一、阅读教材P99-P102内容
二、独立思考；
1、用加减消元法解方程组，如果要消去x，方法是_______________，得到__________，如果要消去y，方法是________________，得到_____________________。
2、已知方程有两个解分别是和则＝_________，＝___________。
3、解方程组为了计算较简单，最好是（）
A、①×7-②×3B、①－②×3C、①+②×3D、①÷2-②
4、已知方程组，则与的关系是_____________________。
5、已知点A（），点B（）关于轴对称，则的值是_____________。
6、解方程组比较简单的方法是_______________。
7、大数和小数相差8，和是32，由大数是___________，小数是_______________。
8、已知方程组，则＝__________________。
互动课堂教学
探究一：用加减法解方程组。
步骤名称具体做法目的
1变形使方程中某一个未知数的系数相等或变成相反数的形式。
2加减
3求一元
4求另一元
5写出解
探究二：用加减消元法解方程组的一般步骤;
探究三：2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

自我能力评估
一、课堂作业：
1、教材P102练习第1.2.3题。
二、作业布置：
教材P103习题8.2第3、5、7、8、9题
三、自我检测
（一）填空题
1、解二元一次方程组的基本思想是________，其中常用的方法有______________、______________两种。
2、用加减消元法解下列方程组，较简单的消元方法是：将两方程左右两边_________，消去未知数______。
3、已知方程组用加减消元法消去x的方法是_________，用加减法消去y的方法是_______。
4、方程组，可用______________消去未知数y，也可用___________消去x。
5、方程的解是_________________。
6、用加着消元法解方程时，你认为行消哪个未知数较简单，填写消元的过程，不解：
（1），消元的方法是_______________________.
（2），消元的方法是_________________________.
7、已知方程组，不解方程组，则＝___________，＝___________。
8、满足，那么的值是__________________。
9、已知一个等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为6cm和9cm两部分，则它的底边长是____________。
（二）选择题
1、解方程组比较简单的消元方法是（）
A、用含y的式子表示x，用代入法B、加减法
C、换元法D、三种方法完全一样
2、用加减法解方程组，下列解法不正确的是（）
A、○1×3-○2×2，消去xB、○1×2-○2×3，消去y
C、○1×（-3）+○2×2，消去xD、○1×2-○2×（-3），消去y
3、用加减法解方程组，其解题步骤如下：（1）○1+○2得；（2）○1-○2×2得，所以原方程组的解为，则下列说法正确的是（）
A、步骤（1）、（2）都不对B、步骤（1）、（2）都对
C、本题不适宜用加减法解D、加减法不能用两次
4、若二元一次方程有公共解，则m等于（）
A、－2B、－1C、3D、4
5、已知方程组的解为，则的值为（）
A、4B、6C、－6D、－4
6、以方程的解为坐标的点P（）一定不在（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
7、如果关于x、y的二元一次方程组的解x、y的差是7，那么k的值是（）
A、－2B、8C、0.8D、－8
（三）解答题
1、用加减法解下列方程组：
（1）（2）（3）

2、用适合的方法解下列方程组：
（1）（2）（3）

3、若方程组的解满足，求m的值。

4、已知方程组中的系数已经模糊不清，但知道其中Ο表示同一个数，Δ也表示同一个数，且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？

5、已知关于有方程组的解是，求。

6、解方程组。

7、在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被盖住了，你能求出p的吗？

8、已知，，求的值。

9、如图，在平面直角坐标系中A、B两点的坐标满足方程

10、解这个方程组

初二数学重要知识点归纳：二元一次方程组的定义

初二数学重要知识点归纳：二元一次方程组的定义

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0)。
如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
归纳：基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
8.教科书中没有的几种解法
(1)加减-代入混合使用的方法：
特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。
(2)换元法
特点：两方程中都含有相同的代数式，换元后可简化方程也是主要原因。
(3)设参数法
9.列方程(组)解应用题步骤：
(1)审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
(2)设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
(3)用含未知数的代数式表示相关的量。
(4)寻找相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出)，列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
(5)解方程及检验。
(6)答案。
综上所述，列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
10.三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。举例如下：
11.三元一次方程组解法：
主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。
12.简单的三元一次方程组的解法步骤：
(1)思路：解三元一次方程组的基本思想仍是消元，其基本方法是代入法和加减法。
(2)步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值;
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
灵活运用加减消元法，代入消元法解简单的三元一次方程组。

一、二元一次方程概念
1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、二元一次方程解答方法
1、代入消元法解二元一次方程组：
基本思路：未知数又多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
(2)将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
(3)解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
(4)把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
(5)把x、y的值用{联立起来即“联”
2、加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减消元法解二元一次方程组的解
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
(3)解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
(5)把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
3、换元法
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
4、另类换元
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
三、二元一次方程组应用题
(1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
(2)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数;
(3)找：找出能够表示题意两个相等关系;
(4)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组;
(5)解：解这个方程组，求出两个未知数的值;
(6)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

文章来源：http://m.jab88.com/j/59981.html

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