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八年级数学上册《分式》知识点湘教版
知识点
1.分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件:
分式有意义的条件:分式的分母不等于0;分式无意义的条件:分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件:
分式AB=0的条件是A=0,且B≠0.
(首先求出使分子为0的字母的值,再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时,就是所要求的字母的值。)
4.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式),
5.分式的通分:
和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点:
(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;
(2)如果各分母的系数都是整数时,取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。
6.分式的约分:
和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母分解因式,然后再约分;
(2)找公因式的方法:
①当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式;
②当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。
第5章二次根式
5.1二次根式
第1课时二次根式的概念及性质
1.了解二次根式的概念.
2.理解并掌握二次根式的性质:(a)2=a(a≥0)和a2=a(a≥0).(重点)
自学指导:阅读教材P155~157,完成下列问题.
(一)知识探究
1.形如a的式子叫作二次根式,根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时,二次根式才在实数范围内有意义.
2.二次根式的性质:(1)(a)2=a(a≥0);(2)a2=|a|=a(a≥0),-a(a0).
(二)自学反馈
1.下列各式中,一定是二次根式的是(C)
A.-7B.3m
C.1+x2D.2x
二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.
2.代数式x+1有意义,则x的取值范围是(A)
A.x≥-1B.x≠1
C.x≥1D.x≤-1
二次根式有意义的条件是:被开方数大于等于零.
活动1小组讨论
例1当x是怎样的实数时,二次根式x-1在实数范围内有意义?
解:由x-1≥0,解得x≥1.
因此,当x≥1时,x-1在实数范围内有意义.
例2计算:
(1)(5)2;(2)(22)2.
解:(1)(5)2=5.
(2)(22)2=22×(2)2=4×2=8.
例3计算:
(1)(-2)2;(2)(-1.2)2.
解:(1)(-2)2=22=2.
(2)(-1.2)2=1.22=1.2.
活动2跟踪训练
1.若(a-3)2=a-3,则a的取值范围是(D)
A.a3B.a≤3
C.a3D.a≥3
2.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式:
(1)5=(5)2;(2)3.4=(3.4)2;
(3)16=(16)2;(4)x=(x)2(x≥0).
3.当x是怎样的实数时,下列二次根式有意义?
(1)-x;(2)5-2x;(3)x2+1.
解:(1)由-x≥0,得x≤0.因此,当x≤0时,-x有意义.
(2)由5-2x≥0,得x≤52.因此,当x≤52时,5-2x有意义.
(3)由x2+1≥0,得x为任意实数.因此,当x为任意实数时,x2+1都有意义.
4.计算:
(1)(11)2;(2)(-6)2;(3)(-25)2;(4)-2(18)2.
解:(1)11.(2)6.(3)20.(4)-14.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获?
第2课时二次根式的化简
1.了解最简二次根式的概念.
2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.(重点)
自学指导:阅读教材P157~159,完成下列问题.
(一)知识探究
1.积的算术平方根的性质:ab=ab(a≥0,b≥0).化简二次根式时,可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意:从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).
2.最简二次根式应有如下两个特点:(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式);(2)被开方数不含分母.
(二)自学反馈
1.下列各式正确的是(D)
A.(-4)×(-9)=-4×-9
B.16+94=16×94
C.449=4×49
D.4×9=4×9
运用积的算术平方根的性质ab=ab化简时,注意a≥0,b≥0这一条件.
2.把200化成最简二次根式是102.
活动1小组讨论
例1化简下列二次根式:
(1)18;(2)20;(3)72;
解:(1)18=9×2=9×2=32.
(2)20=4×5=4×5=25.
(3)72=8×9=2×22×32=2×32=62.
例2化简下列二次根式:
(1)12;(2)35.
解:(1)12=1×22×2=(12)2×2=122.
(2)35=3×55×5=(15)2×15=1515.
活动2跟踪训练
1.下列二次根式中是最简二次根式的是(A)
A.30B.12C.8D.12
2.实数0.5的算术平方根等于(C)
A.2B.2C.22D.12
3.化简二次根式(-3)2×6得(B)
A.-36B.36C.18D.6
4.化简下列二次根式:
(1)12;(2)45;(3)72;(4)72.
解:(1)23.(2)35.(3)62.(4)142.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获?
5.2二次根式的乘法和除法
第1课时二次根式的乘法
会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.(重难点)
自学指导:阅读教材P161~162,完成下列问题.
(一)知识探究
积的算术平方根的性质:ab=ab(a≥0,b≥0),反过来,ab=ab(a≥0,b≥0),利用这一公式,可以进行二次根式的乘法运算.
(二)自学反馈
计算:
(1)5×7;(2)13×9;(3)9×27.
解:(1)35.(2)3.(3)93.
(1)这里要用到公式:ab=ab(a≥0,b≥0);(2)计算9×27时,将27写成9×3,方便开平方.
活动1小组讨论
例1计算:
(1)3×6;(2)13×72.
解:(1)3×6=3×6=32×2=32.
(2)13×72=13×72=24=22×6=26.
例2计算:
(1)23×521;(2)32×(-184).
解:(1)23×521=2×5×3×21=1032×7=307.
(2)32×(-184)=3×(-14)×2×18=-342×18=-92.
例3已知一张长方形图片的长和宽分别是37cm和7cm,求这张长方形图片的面积.
解:37×7=3×7=21(cm)2.
答:这张长方形图片的面积为21cm2.
活动2跟踪训练
1.计算2×3的结果是(B)
A.5B.6C.23D.32
2.下列各等式成立的是(D)
A.45×25=85B.53×42=205
C.43×32=75D.53×42=206
3.50a的值是一个整数,则正整数a的最小值是(B)
A.1B.2C.3D.5
4.一个直角三角形的两条直角边分别为a=23cm,b=36cm,那么这个直角三角形的面积为92cm2.
5.计算下列各题:
(1)3×5;(2)12×3;(3)12×32;
(4)32×27;(5)6×15×10;(6)68×(-32).
解:(1)15.(2)6.(3)22.(4)614.(5)30.(6)-72.
活动3课堂小结
本节课你有什么收获?
第2课时二次根式的除法
1.理解商的算术平方根的性质ab=ab(a≥0,b>0),并能运用于二次根式的化简.(重点)
2.能熟练运用二次根式的除法法则ab=ab(a≥0,b>0)进行二次根式的除法运算.(重难点)
自学指导:阅读教材P163~164,完成下列问题.
(一)知识探究
1.商的算术平方根的性质:ba=ba(a>0,b≥0),可以利用它进行二次根式的化简.
2.二次根式的除法规定:ba=ba(a>0,b≥0).
(二)自学反馈
1.下列各式成立的是(A)
A.-3-5=35=35
B.-7-6=-7-6
C.2-9=2-9
D.9+14=9+14=312
2.计算123÷13的结果正确的是(B)
A.3B.15C.5D.53
3.化简下列二次根式:
(1)7100;(2)0.24;(3)315;(4)11549.
解:(1)710.(2)65.(3)455.(4)87.
活动1小组讨论
例1化简下列二次根式:
(1)716;(2)95.
解:(1)716=716=74.
(2)95=95=35=3×55×5=355.
例2计算:
(1)15÷3;(2)34256;(3)146.
解:(1)15÷3=153=153=5.
(2)34256=35426=357.
(3)146=146=73=7×33×3=213.
例3电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r=2Rh(其中R是地球半径).现有两座高分别为h1=400m,h2=450m的电视塔,问它们的传播半径之比等于多少?
解:设两座电视塔的传播半径分别为r1,r2.
因为r=2Rh,400m=0.4km,450m=0.45km,
所以r1r2=2Rh12Rh2=h1h2=0.40.45=4045=21035=223.
活动2跟踪训练
1.下列运算正确的是(D)
A.50÷5=10B.10÷25=22
C.32+42=3+4=7D.27÷3=3
2.计算:123=2.
3.如果一个三角形的面积为15,一边长为3,那么这边上的高为25.
4.计算:
(1)40÷5;(2)322;(3)44876;(4)45÷215.
解:(1)22.(2)4.(3)827.(4)6.
活动3课堂小结
1.商的算术平方根的性质.
2.二次根式的除法法则.
5.3二次根式的加法和减法
第1课时二次根式的加法和减法
1.理解二次根式的加、减运算法则.
2.会进行简单的二次根式的加、减运算.(重难点)
自学指导:阅读教材P167~168,完成下列问题.
(一)知识探究
在进行二次根式的加减运算时,应先将每个二次根式化简,然后再将被开方数相同的二次根式相加减.
(二)自学反馈
计算:
(1)80-45;(2)28+47;(3)18-32+2;(4)(45+18)-(8-125).
解:(1)5.(2)1677.(3)0.(4)85+2.
活动1小组讨论
例1计算:
(1)58-227+18;(2)218-50+1345.
解:(1)原式=102-63+32=132-63.
(2)原式=62-52+5=2+5.
二次根式的加减与合并同类项类似,进行二次根式的加减运算时,必须先将各个二次根式化简,再合并被开方数相同的二次根式.
例2如图是某土楼的平面剖面图,它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2,求圆环的宽度d(π取3.14).
解:设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为S1,S2,由S1=πR2,S2=πr2可知R=S1π,r=S2π,则
d=R-r
=S1π-S2π
=763.023.14-150.723.14
=243-48
=93-43
=53.
答:圆环的宽度d为53m.
活动2跟踪训练
1.下列二次根式中,不能与2合并的是(C)
A.12B.8C.24D.18
2.下列计算是否正确?为什么?
(1)8-3=8-3;(2)4+9=4+9;
(3)32-2=22.
解:(1)不正确.此式结果为22-3.
(2)不正确.此式结果为5.
(3)正确.
3.计算:
(1)8+18;(2)212+27;(3)80-20+5;
(4)18+(98-27);(5)(75-54)-(108-96).
解:(1)52.(2)73.(3)35.(4)102-33.(5)6-3.
活动3课堂小结
怎样进行二次根式的加减计算?
第2课时二次根式的混合运算
会正确快速地进行二次根式的混合运算.(重难点)
自学指导:阅读教材P169~171,完成下列问题.
(一)知识探究
1.二次根式的运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;有括号的先算括号里的,再算括号外面的.
2.与二次根式相关的乘法公式:(a+b)(a-b)=a-b,(a+b)2=a+2ab+b,(a-b)2=a-2ab+b.
(二)自学反馈
计算:
(1)(5+1)2;(2)(13+3)(13-3);(3)(12-13)×3;(4)8+182.
解:(1)(5+1)2=(5)2+25+1=5+25+1=6+25.
(2)(13+3)(13-3)=(13)2-32=13-9=4.
(3)(12-13)×3=12×3-13×3=36-1=6-1=5.
(4)8+182=82+182=4+9=2+3=5.
活动1小组讨论
例1计算:
(1)(6-38)×2;(2)(2+2)(1-2).
解:(1)(6-38)×2=6×2-38×2=6×2-38×2=23-32=323.
(2)(2+2)(1-2)=2-22+2-2×2=2-22+2-2=-2.
例2计算:
(1)(2+1)(2-1);(2)(2-3)2.
解:(1)(2+1)(2-1)=(2)2-12=1.
(2)(2-3)2=(2)2-22×3+(3)2=2-22×3+3=5-26.
例3计算:
(1)(32+2)÷2;(2)12+3+12-3.
解:(1)(32+2)÷2=(42+2)÷2=52÷2=5.
(2)12+3+12-3=2-3(2+3)(2-3)+2+3(2+3)(2-3)=4(2+3)(2-3)=422-(3)2=4.
活动2跟踪训练
1.化简8-2(2-2)的结果是(D)
A.-2B.2-2C.2D.42-2
2.估计20×15+3的运算结果应在(C)
A.1到2之间B.2到3之间
C.3到4之间D.4到5之间
3.计算:(27-13)×3=8.
4.计算:
(1)(3+5)(3-5);(2)(3+5)2.
解:(1)-2.(2)8+215.
5.计算:
(1)3(2-3)-24-6-3;(2)23÷223×25-110.
解:(1)原式=6-3-26+6-3=-6.
(2)原式=23×38×25-110=1010-1010=0.
活动3课堂小结
如何进行二次根式的混合运算?
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划,才能规范的完成工作!你们会写一段优秀的教案课件吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“八年级数学上册《分式》教案一”,相信能对大家有所帮助。
八年级数学上册《分式》教案一
一、教学目标
1.使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则,并能运用这些性质进行分式的恒等变形.
2.通过分式的恒等变形提高学生的运算能力.
3.渗透类比转化的数学思想方法.
二、教学重点和难点
1.重点:使学生理解并掌握分式的基本性质,这是学好本章的关键.
2.难点:灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形.
三、教学方法
分组讨论.
四、教学手段
幻灯片.
五、教学过程
(一)复习提问
1.分式的定义?
2.分数的基本性质?有什么用途?
(二)新课
1.类比分数的基本性质,由学生小结出分式的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即:
2.加深对分式基本性质的理解:
例2填空:
(1),
解:∵x≠0,
同理可化简第二个.
(2)
学生自己解答.
把学生分为四人一组开展竞赛,看哪个组做得又快又准确,并能小结出填空的依据.
练习1:
化简下列分式(约分)
例3(1)(2)(3)
教师给出定义:
把分式分子、分母的公因式约去,这种变形叫分式的约分.
问:分式约分的依据是什么?
分式的基本性质
在化简分式时,小颖和小明的做法出现了分歧:
文章来源:http://m.jab88.com/j/57134.html
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