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八年级数学上册13.3.1等腰三角形1等腰三角形的性质学案新版新人教版

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课题:13.3.1(1)等腰三角形的性质
【学习目标】
1、经历剪纸、折纸等活动,进一步认识等腰三角形;了解等腰三角形是轴对称图形;
能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质,并学会应用等腰三角形的性质。
2、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。
【学习重难点】
重点:等腰三角形性质的探索和应用。
难点:等腰三角形的性质的验证。
一、知识链接
复习旧知:
1、等腰三角形的周长是35cm,腰长是底边的2倍,则该三角形的底边长是________cm,腰长是__________cm。
2、等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm,那么它的周长为()
A、20cmB、22cmC、20cm或22cmD、都不对
3、已知等腰三角形的一个外角等于70°,那么底角的度数是()
A、110°B、55°C、35°D、以上都不对
4、已知等腰三角形的一个外角等于130°,那么底角的度数是()
A、50°B、65°C、50°或65°D、以上都不对

自主学习(新知):精读课本第75-76页,用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题,准备在课堂上讨论质疑。
如下图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的三角形有什么特点?
操作结论:剪刀剪过的两条边_______,即△ABC中的边____=_____,所以得到的三角形是_______三角形。
等腰三角形的定义:有_________相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形中相等的两边叫做________,另一边叫做_________,两腰所夹的角叫做_________,底边与腰的夹角叫__________。
一、合作与探究
(一)如上图,把剪出的三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段与角,由这些重合的线段与角,你能发现等腰三角形的性质吗?
重合的角重合的线段

1、通过操作可以得到等腰三角形的以下性质:
性质1等腰三角形的两个_______相等(简写“等边对等_____”)
性质2等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合(简写成“三线合一”)
2、如图,等腰三角形性质1用数学符号表示:
∵AB=AC
∴∠_____=∠_____

3.等腰三角形性质2你理解了吗?
思考:如图,在△ABC中,AB=AC,如何用数学符号表示性质2?
(1)等腰三角形底边上的高AD,既是底边上的,又是顶角;
即在等腰△ABC中,AB=AC,
∵AD⊥BC,∴____=____,∠_____=∠_____;
(2)等腰三角形的底边上中线AD,既是底边上的,又是顶角
即在等腰△ABC中,AB=AC,
∵AD是中线,∴____⊥____,∠_____=∠_____;
(3)等腰三角形的顶角的平分线AD,既是底边上的,又是底边上的,
即在等腰△ABC中,AB=AC,
∵AD是角平分线,∴_____=_____,____⊥____。
(二)你能利用三角形全等来证明性质1(等边对等角)吗?(你有几种方法?)
如右图△ABC中,AB=AC,求证:∠B=∠C

4、受性质1证明的启发,你能证明性质2(等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合)吗?请证之。
(三)等腰三角形性质的应用
例1如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。
三、巩固练习
基础练习:
1、等腰三角形一个底角为72°,它的顶角为______。
2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为分别为________________。
3、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________。
4、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30,DE垂直平分AC,
则∠BCD的度数为()
A、80°B、75°C、65°D、45°

拓展提升:
1、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为_______________。
2、如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,且AD=AE。求证:BD=CE

3、已知在△ABC中,AB=AC,∠BAD=30°,AD=AE。求:∠EDC的度数。

四、要点归纳
1.等腰三角形的定义
2.等腰三角形的性质:
性质1:等腰三角形的两个_______相等(简写“等边对等_____”)
性质2:等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合(简写成“三线合一”)
课后反思:.

延伸阅读

八年级数学上册13.3.1等腰三角形2等腰三角形的判定学案无答案新版新人教版


课题:13.3.1(2)等腰三角形的判定
【学习目标】
1、通过探索、归纳、验证等腰三角形的判定定理,学会应用等腰三角形的判定定理。
2、学会利用已有知识解决实际问题的能力
【学习重难点】
重点:等腰三角形的判定定理及其应用。
难点:探索等腰三角形的判定定理。
一、知识链接
复习旧知:1等腰三角形的性质:
性质1等腰三角形的两个_______相等(简写“等边对等_____”)
性质2等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合(简写成“三线合一”)
2、平行线的性质:
两直线平行,则__________相等
两直线平行,则____________相等
两直线平行,则_____________互补
自主学习(新知):精读课本第77-79页,用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题,准备在课堂上讨论质疑。

思考1:如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角相等。反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系呢?
如图,在△ABC中,∠B=∠C。求证:AB=AC(提示:添加辅助线,利用三角形全等的方法来证明)
证明:

结论:
等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的______也相等(简写成:“等角对等边”)

思考2:等腰三角形的性质与判定有区别吗?
二、合作与探究
(一)求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。
已知:如图∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD//BC。
求证:AB=AC

(二)作等腰三角形
已知等腰三角形底边长为,底边上的高长为h,求作这个等腰三角形。

作法:
1、作线段AB=____.
2、作线段AB的垂直平分线____,与AB相交于点.
3、在MN上取一点C,使DC=.
4、连接,,则△ABC即为所求作的等腰三角形.

三、巩固练习
基础练习:
1、如图,∠A=36,∠DBC=36,∠C=72。则∠1=_________,∠2=_________。图中的等腰三角形有____________________________。

2、如上图,把一张长方形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?
3、如图,AC和BD相交于点O,且AB//DC,OA=OB.求证OC=OD

拓展提升:
1、等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论。

四、要点归纳
1.等腰三角形的判定:_____________________________________________________

____________________________________________________________________
2.等腰三角形性质与判定的区别

3.等腰三角形的作法(尺规作图)

课后反思:.

14.3等腰三角形


14.3等腰三角形
教学目标:
知识技能
了解等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的性质定理及推论,会用定理及推论解决简单问题.
数学思考
培养学生探究思维、逻辑思维能力,探索引辅助线的规律.
情感态度与价值观:
渗透实践--理论--实践的辩证唯物主义思想,培养探究分析数学知识方法的兴趣,养成踏实细致、严谨科学的学习习惯.

教学重点与难点
重点:理解等腰三角形的性质定理、推论,并能用它们解决简单的问题.
难点:引辅助线证明定理和推论1的应用.

教学过程与流程设计
引导性材料:
1.学生把等腰三角形的两腰叠在一起,发现它的两个底角重合,这说明等腰三角形具有什么性质?(等腰三角形的两个底角相等)(演示叠合过程)
2.教师用等腰三角形纸片演示两腰叠合,再把纸片展开.
提问:你能发现等腰三角形还有什么特性吗?
(引入课题,明确目标)(显示教学目标)
教学设计:
问题1:怎样来证明“等腰三角形的两个底角相等”呢?
已知:如图,△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.

(方法1)证明:作顶角的平分线AD.
在△BAD和△CAD中.
AB=AC(已知)
∠1=∠2(辅助线作法)
AD=AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
问题2:上述命题还有哪些证法?
方法2:作底边BC上的高AD.(证明过程由学生口述)
方法3:作底边BC上的中线AD.(证明过程由学生口述)

(演示):等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”)
观察上述三种方法,思考如下问题:
(1)在等腰△ABC中,如果AD是顶角的平分线,那么AD是否平分底边?是否垂直于底边?
(2)在等腰△ABC中,如果AD是底边上的高,那么AD是否平分顶角?是否平分底边?
(3)在等腰△ABC中,如果AD是底边上的中线,那么AD是否平分顶角?是否垂直于底边?
推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
(等腰三角形的顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合.)
练习:填空,在△ABC中,
(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠=∠,=.
(2)∵AB=AC,AD是中线,
∴⊥,∠=∠.
(3)∵AB=AC,AD是角平分线,
∴⊥,=.
问题2:等边三角形是特殊的等腰三角形,除具有等腰三角形的性质外,还有特殊的性质吗?
推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.(学生完成证明)
已知:如图,△ABC中,AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角),
∵AC=BC,
∴∠A=∠B(等边对等角),
∴∠A=∠B=∠C,
∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),
∴∠A=∠B=∠C=60°
例题解析:
例1:填空,1.在△ABC中,AB=AC.
(1)若∠A=50°,则∠B=°,∠C=°;
(2)若∠B=45°,则∠A=°,∠C=°;
(3)若∠B=∠A,则∠A=°,∠C=°;
(4)若∠B=2∠A,则∠A=°,∠C=°.
2.等腰三角形的一个角是40°,则它的底角是.
3.等腰三角形的一个角是120°,则它的底角是.
例2:已知,如图(6),房顶的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
解:在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等底对等角),
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=40°,

(三角形内角和定理),
又∵AD⊥BC(已知),
∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合),
∵∠BAC=100°,
(7)∴
课堂练习:
已知:如图(7)中的三角形测平架中,AB=AC,在BC的中点挂一个重锤,自然下垂,调整架身,使点恰好在重锤线上.
求证:(1)AD⊥BC;
(2)这时BC处于水平位置,为什么?
课堂小结:
1.等腰三角形的性质定理:“等边对等角”,揭示了同一个三角形中边与角之间的关系;
2.等腰三角形性质定理的推论1、推论2;
3.由推论1知,等腰三角形“底边上的三条主要线段互相重合”,这条线段具有三种不同的“身份”,因此,它是推证两条线段相等、角相等以及两条直线互相垂直必须关注的“热线”.
4.掌握证明几何命题的完整过程,以及不同辅助线的添法,从中体验数学知识的美妙.
作业:习题14.3第6、7题(作业本),其他课本

八年级数学上13.3.1等腰三角形(人教版)


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13.3.1等腰三角形
第1课时等腰三角形(1)

【教学目标】
1.理解并掌握等腰三角形的定义,探索等腰三角形的性质和判定方法;能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
2.在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系,感受数学与生活的联系.培养学生添加辅助线解决问题的能力.
3.培养学生分析解决问题的能力,使学生养成良好的学习习惯.
【重点难点】
重点:理解并掌握等腰三角形的定义,探索等腰三角形的性质和判定方法;能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
难点:等腰三角形性质和判定的探索和应用.

┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境,导入新课
学生观察含有等腰三角形的图片,并回顾小学所学过的等腰三角形的有关概念.从实际生活中抽象出等腰三角形,让学生在感性上认识等腰三角形,激发学生学习的兴趣,以此引出课题.
二、师生互动,探究新知
活动1:实践观察认识等腰三角形
(1)把一张长方形的纸片按图中虚线对折,并按教材要求剪去阴影部分,再把它展开,观察AC和AB有什么关系?
(2)上述过程得到的△ABC有什么特点?
(3)回顾:什么是等腰三角形,等腰三角形中学过哪些重要线段?
活动2:把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段,填入下表:
重合的线段重合的角
观察上表,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?
学生经过观察,独立完成上表,然后小组讨论交流,猜想论证:等腰三角形的两个底角相等.
教师引导学生多角度、多方法解决问题.(学生主要从作底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线思考)
师生行为:先让学生观察,思考如何证两个角相等,通常用全等三角形的方法,让学生通过折纸过程,思考如何添加辅助线构造两个三角形全等,接着分小组讨论,然后请学生展示性质1的各种证明方法,师生归纳三种辅助线的作法.
为了调动学生的主观能动性,充分激发学生的好奇心和求知欲.

通过学生动手实践、观察、思考、猜想等腰三角形的性质,培养学生自主探究学习的能力.

从理性上认识等腰三角形性质的正确性,培养学生语言的转换能力和推理能力,体验辅助线在论证中的作用.
三、运用新知,解决问题
填空
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为________.
(2)等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为________.
(3)等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.通过一组基础练习,进一步巩固等腰三角形的性质,体会两解的问题.
四、课堂小结,提炼观点
通过本节课的学习,谈谈你的收获.对于课堂教学既要注重教学过程,重视方法,也要注重概括总结.教师与学生共同回顾学习内容,理顺知识点,归纳数学思想方法.
五、布置作业、巩固提升
教材第77页第1、2、3题设计了作业题让不同的学生在数学上有不同的发展.

【板书设计】
等腰三角形(1)
一、定义二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)例题
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)变式
【教学反思】
本节课通过学生动手实践,观察分析,猜想证明,完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,最后,学生动手运用所学知识解决问题,真正实现学生为主体的教学理念.

第2课时等腰三角形(2)
【教学目标】
1.理解掌握等腰三角形的判定定理;区别等腰三角形的性质和判定定理.
2.运用等腰三角形的性质和判定定理证明线段或角的关系.
3.探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
【重点难点】
重点:等腰三角形判定定理及其应用.
难点:1.等腰三角形判定定理的探索和应用;
2.等腰三角形判定与性质的区别.

┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境,导入新课
问题:上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角形有哪些性质?
老师指定学生回答.
师:如图,已知AC=BD,是否能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC=∠DAB呢?如果不可以,那是为什么呢?
教师根据这个问题提醒学生注意在等腰三角形的性质1——等边对等角中,要求是两条相等的边在同一个三角形中才存在以上的性质,本题中的两条边虽然相等,但是却不构成一个三角形,故这两条边所对的角也就不一定是相等的.
师:我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?这就是我们今天这节课要研究的问题.
学生举手回答,教师对学生的表述进行指导.该问题是对等腰三角形的性质进行复习,从而了解学生对等腰三角形性质的掌握情况,同时也可以加深学生对性质的记忆,继而能很自然地通过问题引入新课的学习,也为学生探究等腰三角形的判定做了铺垫,学生能根据等腰三角形的性质猜测出等腰三角形的判定.
二、师生互动,探究新知
在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
已知一个锐角AOB和一条线段CD,请作一个三角形CDE,使得∠C=∠D=∠AOB.(教师板书题目)
教师将题目和图形画在黑板上,学生在作业纸上进行作图,最后教师一边作图一边讲解.
师:请同学们用直尺测量出你所画出的三角形CDE中CE和DE的长度,你能发现什么?
生:动手测量这两条线段的长度后,发现CE=DE.
师:那么大家的这个结论是否成立呢?通过师生共同动手作图,学生根据自己作出的图形进行猜测的方法引入本课,可以让学生对等腰三角形的判定定理有初步的感知,从而为学生更自然地接受等腰三角形的判定定理做铺垫.
三、运用新知,解决问题
问题1:现在我们把这个问题一般化,那就可以变成:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也会相等吗?(板书在黑板上)
生:会相等.
师:请你们证明这个猜想.
教师引导学生将这个文字命题证明出来,要画出图形,写出已知、求证,而已知、求证的书写可以模仿等腰三角形性质1.之后教师再引导学生类比等腰三角形的性质证明进行添加辅助线,构造出AB,AC为边的两个三角形,并证明它们是全等的.
学生寻求证明途径的过程中,教师要提醒学生不能运用作BC边上的中线AD的方法来证明,这种证明方法无法找到两个三角形全等所需的条件,同时除了以上的证明方法外,还可以通过作BC边上的高AD来证明,这种方法学生可以课后自己试着去证明.
教师在此过程中要重点引导学生正确地分析题目,并能熟练地将文字命题转化为数学符号,正确地写出已知、求证,引导学生分析并证明.
师:现在已经将大家的结论证明出来了,说明大家的猜测是正确的.而这个猜测也就是等腰三角形的判定定理.
教师整理出等腰三角形的判定定理,并板书出来:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(等角对等边)
问题2:如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B,如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?
生:能同时到达.
师:为什么能同时到达呢?说说你的依据是什么?
学生给出回答.
从本题中写出判定定理的符号表示:∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).∴△ABC是等腰三角形.以上几个问题环环相扣,主要是让学生能够充分理解,并加强类比思想的渗透,分析思路的引导,以让学生体验分析的重要性.

问题1以实际问题展开数学思考,突出数学与实际的联系,类比等腰三角形性质进行猜测、叙述,让学生体验分析的重要性,逐步培养学生在几何证明中的分析能力.

问题2中这道题目是简单的应用等腰三角形的判定进行解答,学生可以通过题目的练习,初步地学会运用等腰三角形的判定定理来解决简单的问题.
四、课堂小结,提炼观点
通过本节课的学习,谈谈你的收获?
1.等腰三角形的判定方法有下列几种:__________.
2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是__________.
3.运用等腰三角形的判定定理时,应注意__________.对于课堂教学既要注重教学过程,重视方法,也要注重概括总结.教师与学生共同回顾学习内容,理顺知识点,归纳数学思想方法.
五、布置作业,巩固提升
教材第79页第1、2、3、4题.

【板书设计】
等腰三角形(2)
1.复习:等腰三角形的性质.
2.等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
【教学反思】
在教学过程中,采取分小组合作探究学习的方式,强调学生形成积极主动的学习态度,关注学生的学习兴趣和体验,充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想.注意引导学生对解题思路和方法进行总结,切实提高学生分析问题、解决问题的能力.

文章来源:http://m.jab88.com/j/56752.html

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