作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。高中教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编为大家整理的“高考数学（理科）一轮复习简单的线性规划问题学案附答案”，希望对您的工作和生活有所帮助。

学案35简单的线性规划问题JAb88.coM

导学目标：1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
自主梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)判断不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时，常选用______________．
对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C0(或0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B0时，
①Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0______的区域；
②Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0______的区域．
(2)画不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．
2．线性规划的有关概念
(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．
(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．
(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．
(4)可行解：满足________________的解(x，y)．
(5)可行域：所有________组成的集合．
(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．
3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)作出目标函数的等值线．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．
自我检测
1．(2011北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()
A．(－∞，1)B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞)D．(0,1)
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()
3．(2010重庆)设变量x，y满足约束条件x≥0，x－y≥0，2x－y－2≤0，则z＝3x－2y的最大值为()
A．0B．2C．4D．6
4．(2010浙江)若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y的最大值为9，则实数m等于()
A．－2B．－1C．1D．2
5．(2010天津河西高三期中)已知实数x，y满足x＋y≥2，x－y≤2，0≤y≤3，则z＝2x－y的最大值为________.
探究点一不等式组表示的平面区域
例1画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
变式迁移1(2011安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域M、N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所确定．设M、N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于()
A．－2t2＋2tB.12(t－2)2
C．1－12t2D．－t2＋t＋12
探究点二求目标函数的最值
例2(2010天津)设变量x，y满足约束条件x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为()
A．12B．10C．8D．2
变式迁移2(2010山东)设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为()
A．3，－11B．－3，－11
C．11，－3D．11,3
探究点三线性规划的实际应用
例3某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

变式迁移3(2010四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
数形结合思想的应用
例(12分)变量x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，
(1)设z＝4x－3y，求z的最大值；
(2)设z＝yx，求z的最小值；
(3)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．
【答题模板】
解
由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1
作出(x，y)的可行域如图所示．
由x＝13x＋5y－25＝0，解得A1，225.
由x＝1x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝03x＋5y－25＝0，
解得B(5,2)．[4分]
(1)由z＝4x－3y，得y＝43x－z3.
当直线y＝43x－z3过点B时，－z3最小，z最大．
∴zmax＝4×5－3×2＝14.[6分]
(2)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝25.[9分]
(3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[12分]
【突破思维障碍】
1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：
画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值
2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：
(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
【易错点剖析】
本题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．
1．在直角坐标系xOy内，已知直线l：Ax＋By＋C＝0与点P(x0，y0)，若Ax0＋By0＋C0，则点P在直线l上方，若Ax0＋By0＋C0，则点P在直线l下方．
2．在直线l：Ax＋By＋C＝0外任意取两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C
与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．
3．线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011龙岩月考)下面给出的四个点中，位于x＋y－10，x－y＋10表示的平面区域内的点是()
A．(0,2)B．(－2,0)
C．(0，－2)D．(2,0)
2．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为()
A．2B．1C.12D.14
3．(2011广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→OA→的最大值为()
A．42B．32
C．4D．3
4．(2011安徽)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为()
A．1，－1B．2，－2
C．1，－2D．2，－1
5．(2011四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于()
A．4650元B．4700元
C．4900元D．5000元
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010北京改编)设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．
7．(2011长沙一中月考)已知实数x、y同时满足以下三个条件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，则yx的取值范围是______________．
8．(2011湖南师大月考)设不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1)＋1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是____________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2010广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

10．(12分)已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，
求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(3)z＝2y＋1x＋1的范围．

11．(14分)(2011杭州调研)预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？

学案35简单的线性规划问题
自主梳理
1．(1)原点(0,0)①上方②下方2.(4)线性约束条件
(5)可行解(6)目标函数3.(3)最优解
自我检测
1．B2.C3.C4.C
5．7
课堂活动区
例1解题导引在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计．
解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组
x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x∈Z.
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
变式迁移1D[作出由不等式组y≥0y≤xy≤2－x组成的平面区域M，即△AOE表示的平面区域，
当t＝0时，
f(0)＝12×1×1＝12，
当t＝1时，
f(1)＝12×1×1＝12，
当0t1时，如图所示，所求面积为f(t)＝S△AOE－S△OBC－S△FDE
＝12×2×1－12t2－12[2－(t＋1)]2＝－t2＋t＋12，
即f(t)＝－t2＋t＋12，此时f(0)＝12，f(1)＝12，
综上可知选D.]
例2解题导引1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．
2．线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的，当b0时，则是向下方平移．
B
[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋z2，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．解方程组x＋y＝3，y＝1
得A(2,1)，∴zmax＝10.]
变式迁移2A[作出可行域如图所示．
目标函数y＝34x－14z，则过B、A点时分别取到最大值与最小值．易求B(5,3)，A(3,5)．
∴zmax＝3×5－4×3＝3，zmin＝3×3－4×5＝－11.]
例3解题导引解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；
(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．
解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.
目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．
由方程x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.
所以点M的坐标为(100,200)．
所以zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
变式迁移3B[
设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，
由题意可知
x＋y≤70，10x＋6y≤480，x≥0，y≥0.
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.
画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．]
课后练习区
1．C2.B3.C4.B5.C
6．(1,3]
7.95，6
解析由x＝1x＋y－7＝0
A(1,6)，
x－y＋2＝0x＋y－7＝0
B52，92，
∴kOA＝6，kOB＝95.
∴k∈95，6，即yx∈95，6.
8.－14，12
解析
作可行域，如图．
因为函数y＝k(x＋1)＋1的图象是过点P(－1,1)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A(1,2)时，k取最大值12，当直线l过点B(3,0)时，k取最小值－14，故k∈－14，12.
9．解设该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z＝2.5x＋4y.(2分)
可行域为12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，即3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.(6分)
作出可行域如图所示：
(9分)
经试验发现，当x＝4，y＝3时，花费最少，为2.5×4＋4×3＝22(元)．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．(12分)
10．解
作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－40，将点C(7,9)代入z得最大值为21.(4分)
(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，
故z的最小值是|MN|2＝92.(8分)
(3)z＝2×y－－12x－－1表示可行域内任一点(x，y)与定点Q－1，－12连线的斜率的两倍，
因此kQA＝74，kQB＝38，
故z的范围为34，72.(12分)
11．解设桌子、椅子分别买x张、y把，
目标函数z＝x＋y，(2分)
把所给的条件表示成不等式组，
即约束条件为50x＋20y≤2000，y≥x，y≤1.5x，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.(6分)
由50x＋20y＝2000，y＝x，解得x＝2007，y＝2007，
所以A点的坐标为2007，2007.
由50x＋20y＝2000，y＝1.5x，解得x＝25，y＝752.
所以B点的坐标为25，752.(9分)
所以满足条件的可行域是以A2007，2007、B25，752、
O(0,0)为顶点的三角形区域(如图)．(12分)
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为
B25，752，但注意到x∈N*，y∈N*，故取x＝25，y＝37.
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．(14分)

延伸阅读

简单线性规划问题

3.3.2简单线性规划问题
课前预习学案
一、预习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
线性规划的有关概念：
①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解

2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？

课内探究学案
一、学习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、学习重难点
学习重点：教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P87页，并回答以下几个问题：
问题1.①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：

(二)合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤

（三）典型例题
例1、①求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确画出

②求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确性
不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
例2.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．

轮船运输量／
飞机运输量／

粮食

石油

现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则
即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，
即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
变式训练.1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
反馈测评给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是．

答案：

三、课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
四课后练习与提高
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车
型车
限量
车辆数

运物吨数

费用

由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知当直线过时，最小，但不是整点，继续向上平移直线可知，是最优解．这时（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为（元）．

简单的线性规划

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的教师教学。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“简单的线性规划”，相信能对大家有所帮助。

3.4.4简单的线性规划
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数,线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域,最优解:
2.讲授新课
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
例6在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第103页练习2

4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第3题
【板书设计】

简单的线性规划1

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。那么如何写好我们的高中教案呢？小编经过搜集和处理，为您提供简单的线性规划1，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

简单的线性规划1教学目标
(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;
(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;
(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;
(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.
对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:
(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.
(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.
难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.
对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.
三、教法建议
(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念
(2)建议将本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证实、归纳)来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧知识把握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.
(3)要举几个典型例题,非凡是似是而非的例子,对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是十分必要的.
(4)建议通过本节教学着重培养学生把握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.
(5)对作业、思考题、研究性题的建议:①作业主要练习学生规范的解题步骤和作图能力;②思考题主要供学有余力的学生课后完成;③研究性题综合性较大,主要用于拓宽学生的思维.
(6)若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解四周寻找.
假如可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也可.
(7)在线性规划的实际问题中,主要把握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
线性规划教学设计方案(一)
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域.
教学过程
引入新课
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢?
二元一次不等式表示的平面区域
1.先分析一个具体的例子
我们知道,在平面直角坐标系中,以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l(如图)那么,以二元一次不等式(即含有两个未知数,且未知数的最高次数都是1的不等式)的解为坐标的点的集合是什么图形呢?
在平面直角坐标系中,所有点被直线l分三类:①在l上;②在l的右上方的平面区域;③在l的左下方的平面区域(如图)取集合A的点(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我们发现这些点都在l的右上方的平面区域,而点(0,0)、(-1,-1)等等不属于A,它们满足不等式,这些点却在l的左下方的平面区域.
由此我们猜想,对直线l右上方的任意点成立;对直线l左下方的任意点成立,下面我们证实这个事实.
在直线上任取一点,过点P作垂直于y轴的直线,在此直线上点P右侧的任意一点,都有∴
于是
所以
因为点,是L上的任意点,所以,对于直线右上方的任意点,
都成立
同理,对于直线左下方的任意点,
都成立
所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.
是直线右上方的平面区域(如图)
类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.
2.二元一次不等式和表示平面域.
(1)结论:二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式就表示的面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)判定方法:由于对在直线同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点,以的正负情况便可判定表示这一直线哪一侧的平面区域,非凡地,当时,常把原点作为此非凡点.
应用举例
例1画出不等式表示的平面区域
解;先画直线(画线虚线)取原点(0,0),代入,
∴∴原点在不等式表示的平面区域内,不等式表示的平面区域如图阴影部分.
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析:在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解:不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线上及右上方的平面区域,上及左上方的平面区域,所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.
(1)(2)(3)
(4)(5)
总结提炼
1.二元一次不等式表示的平面区域.
2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.
3.二元一次不等式组表示的平面区域.
布置作业
1.不等式表示的区域在的().
A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方
2.不等式表示的平面区域是().
3.不等式组表示的平面区域是().
4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.
5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是.
6.画出表示的区域.
答案:
1.B2.D3.B4.5.(-1,-1)

高考数学（理科）一轮复习圆的方程学案（附答案）

学案49圆的方程

导学目标：1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．圆的定义
在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．
2．确定一个圆最基本的要素是________和________．
3．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中________为圆心，____为半径．
4．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是__________________，其中圆心为___________________，半径r＝____________________________.
5．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
6．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.
自我检测
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的条件是()
A.14m1B．m1
C．m14D．m14或m1
2．(2011南平调研)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()
A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝0
4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________________．
5．(2011安庆月考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．
探究点一求圆的方程
例1求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．

变式迁移1根据下列条件，求圆的方程．
(1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，3)，且半径为4的圆的方程；
(2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

探究点二圆的几何性质的应用
例2(2011滁州模拟)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

变式迁移2
如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．
(1)求圆M和圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

探究点三与圆有关的最值问题
例3已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值．

变式迁移3如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求yx的最大值与最小值．

1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．
2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．dr时，点在圆内；d＝r时，点在圆上；dr时，点在圆外．
3．本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
A．52B．102
C．152D．202
2．(2011合肥期末)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()
A．a－2或a23B．－23a0
C．－2a0D．－2a23
3．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a、b∈R)对称，则ab的取值范围是()
A.－∞，14B.0，14
C.－14，0D.－∞，14
4．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a，b的值为()
A．a＝－3，b＝3B．a＝0，b＝－3
C．a＝－1，b＝－1D．a＝－2，b＝1
5．(2011三明模拟)已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()
A．3－2B．3＋2
C．3－22D.3－22

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010天津)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．
7．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3，0)两点，则圆的方程为______________．
8．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在直线3x＋10y＋9＝0上；
(2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.

10．(12分)(2011舟山模拟)已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求x＋y的最大值和最小值；
(2)求yx的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．
11．(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度|AB|＝20米，拱高|OP|＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(825≈28.72)．

学案49圆的方程
自主梳理
1．定点定长集合2.圆心半径3.(a，b)r
4．D2＋E2－4F0－D2，－E2D2＋E2－4F2
5．(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程6.(1)＝(2)(3)
自我检测
1．D2.A3.A
4．(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)
5．(x－2)2＋(y－1)2＝5
课堂活动区
例1解题导引(1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．
(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．
解方法一设圆心为C，
所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心C－D2，－E2.∴kCB＝6＋E28＋D2.
由kCBkl＝－1，
∴6＋E28＋D2－13＝－1.①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②
又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③
解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．
又kAB＝6＋48＋2＝1，
∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，
即x＋y－4＝0.②
由①②联立后，解得x＝112，y＝－32.即圆心坐标为112，－32.
∴所求圆的半径r＝112－82＋－32－62＝1252.
∴所求圆的方程为x－1122＋y＋322＝1252.
变式迁移1解(1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝42，又∵OQ＝6，
∴联立方程0－a2＋0－b2＝62－1－a2＋3－b2＝16，
解得a＝－3，b＝33，
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－33)2＝16.
(2)
如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心(0,0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝1532＋42＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.
所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
例2解题导引(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．
(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值．
解方法一将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：
y1＋y2＝4，y1y2＝12＋m5.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2.
∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，
∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，
∴m＝3，此时1＋36－3×40，圆心坐标为－12，3，半径r＝52.
方法二
如图所示，
设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，
∴kO1M＝2.
又圆心坐标为－12，3，
∴O1M的方程为y－3＝2x＋12，即y＝2x＋4.
由方程组y＝2x＋4，x＋2y－3＝0，解得M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.
在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2.
∴－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－62－4m4.
∴m＝3.∴半径为52，圆心为－12，3.
变式迁移2解(1)∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，
则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.
设圆N的半径为r，
连接MA，NC，OM，
则MA⊥x轴，NC⊥x轴，
由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，
∴O，M，N三点共线．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，
|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r＝1rr＝3，
则OC＝33，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，
此弦的方程是y＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，
圆心N到该直线的距离d＝32，
则弦长为2r2－d2＝33.
例3解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
解(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，
x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.
变式迁移3解设P(x，y)，
则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.
而yx的几何意义就是直线OP的斜率，
设yx＝k，则直线OP的方程为y＝kx.
当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
因为点C到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，
所以当|3k－3|k2＋1＝6，
即k＝3±22时，直线OP与圆相切．
即yx的最大值为3＋22，最小值为3－22.
课后练习区
1．B[圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故EF＝5，∴BD＝210－52＝25，
∴S四边形ABCD＝12ACBD＝102.]
2．D3.A4.B5.A
6．(x＋1)2＋y2＝27.(x－2)2＋(y－1)2＝28.0
9．解(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，
由3x＋2y－15＝0，3x＋10y＋9＝0，解得x＝7，y＝－3.(3分)
∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(6分)
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②
(8分)
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(12分)
10．解(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
即|2＋－3－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1，
所以x＋y的最大值为2－1，
最小值为－2－1.(4分)
(2)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k－－3|1＋k2＝1，
解得k＝－2＋233或k＝－2－233，
所以yx的最大值为－2＋233，
最小值为－2－233.(8分)
(3)x2＋y2＋2x－4y＋5，
即[x－－1]2＋y－22，其最值可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．
又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.(12分)
11．解建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由于圆心在y轴上，所以D＝0，那么方程即为x2＋y2＋Ey＋F＝0.(3分)
下面用待定系数法来确定E、F的值．
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，
于是有方程组42＋4E＋F＝0，102＋F＝0，(7分)
解得F＝－100，E＝21.
∴这个圆的方程是x2＋y2＋21y－100＝0.(10分)
把点P2的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，
得(－2)2＋y2＋21y－100＝0，y2＋21y－96＝0.
∵P2的纵坐标y0，故应取正值，
∴y＝－21＋212＋4×962≈3.86(米)．
所以支柱A2P2的高度约为3.86米．(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/52048.html

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