一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师提前熟悉所教学的内容。优秀有创意的教案要怎样写呢？下面是小编精心为您整理的“高中数学必修三导学案2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（2）”，但愿对您的学习工作带来帮助。

2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（2）
【学习目标】
1．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差．
2．进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的基本数字特征.
【新知自学】
知识回顾：
众数、中位数、平均数

新知梳理：
1.标准差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．样本数据的标准差的算法：
（1）算出样本数据的平均数.
（2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差：.
（3）算出（2）中的平方.
（4）算出（3）中n个平方数的平均数，即为样本方差.
（5）算出（4）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.
其计算公式为：

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．
【感悟】现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，如何求得总体的平均数和标准差呢？
2.方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：

在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
对点练习：
1．可以描述总体稳定性的统计量是（）．
(A)样本平均数(B)样本中位数
（C）样本方差(D)样本最大值
2．已知容量为40的样本方差，那么s等于（）．
(A)4(B)2（C）(D)1
3．与总体单位不一致的量是（）．
(A)s(B)B
（C）(D)
【合作探究】
典例精析
例题1.在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：
甲：78795491074
乙：9578768677
（1）甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
（2）使用标准差判断哪位运动员的成绩更加稳定？

变式训练1.甲乙两人在同样的条件下练习射击，每人5发子弹，命中环数如下：
甲：6，8，9，9，8；
乙：10，7，7，7，9，则两人射击成绩的稳定程度是（）
A.甲比乙稳定B.乙比甲稳定
C.甲乙稳定程度相同D.无法比较
例题2.对自行车运动员甲乙两人在相同条件下进行了6次测试，测试成绩的茎叶图如图所示
甲乙
7289
0157833468

(1)分别求出甲乙的中位数和平均数；
(2)试用方差判断选谁参加该项比赛更合适。

变式训练2.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4,9.7，去掉最高分和最低分，所剩数据的平均值和方差分别是（）
A.9.4，0.4884B.9.4，0.016
C.9.5，0.04D.9.5，0.016

【课堂小结】
【当堂达标】
1、下列说法正确的是（）
A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．
2、已知两组样本数据的平均数为h，的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为()
A.B.
C.D.
3、某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9，5,4,9,10,7,4则平均命中环数为___________;命中环数的标准差为___________.
【课时作业】
1.已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的方差是（）
A、1B、2C、3D、4
2.一组数据的方差为，将这组数据中的每个数据都扩大倍，所得一组新数据的方差为（）
A.B.
C.D.
3.若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是（）．
(A)平均数为10，方差为2
(B)平均数为11，方差为3
（C）平均数为11、方差为2
(D)平均数为14，方差为4
4.一个样本的方差是，则这个样本的平均数与样本容量分别是(）．
(A)10，10(B)6，15
（C）15、10(D)由确定，10
5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）
A.B.C.3D.
分数54321
人数2010303010

6.已知一个样本1，3，2，5，x，它的平均数为3，则该样本的标准差是
7.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是，标准差是
8.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为
(从小到大排列)
9．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）
其中产量比较稳定的小麦品种是．
品种第1年第2年第3年第4年第5年
甲9.89.910.11010.2
乙9.410.310.89.79.8

10.某盐场有甲、乙两套设备包装食盐，在自动包装传送带上，每隔3分钟抽一包称其重量是否合格，分别记录数据如下：
甲套设备：504，510，505，490，485，485，515，510，496，500；
乙套设备：496，502，501，499，505，498，499，498，497，505．
（1）试确定这是何种抽样方法？
（2）比较甲、乙两套设备的平均值与方差，
说明哪套包装设备误差较少？

11.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差.jab88.CoM

12.甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）：
甲：203204202196199201205197
202199
乙：201200208206210209200193
194194
（1）分别计算两个样本的平均数和方差.
（2）从计算结果看，哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？

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２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中甲、乙两名运动员各射击次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕，，，，，，，，，；
乙运动员﹕，，，，，，，，，
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
一、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是（最高的矩形的中点）（图略见课本第页）它告诉我们，该市的月均用水量为的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第页看看原来抽样的数据，有没有这个数值呢？根据众数的定义，怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为。（图略见课本63页图）
〖思考〗：这个中位数的估计值，与样本的中位数值不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图）显示，大部分居民的月均用水量在中部（左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
二、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中甲、乙两名运动员各射击次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕，，，，，，，，，；
乙运动员﹕，，，，，，，，，
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
（１）、算出样本数据的平均数。
（２）、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
（３）、算出（２）中的平方。
（４）、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（５）、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：

在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析：比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P７１练习1.2.3４
【课堂小结】
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
a)用样本平均数估计总体平均数。
b)用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P７２习题A组３、４、１０

用样本的数字特征估计总体的数字特征

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么怎么才能写出优秀的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“用样本的数字特征估计总体的数字特征”，希望能为您提供更多的参考。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

〖教学目标〗
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
〖教学重难点〗
教学重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点能应用相关知识解决简单的实际问题。
〖教学过程〗
一、复习回顾
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
二、创设情境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。
三、新知探究
众数、中位数、平均数
众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
思考探究：
分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么
问题？为什么会这样呢？
你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。
（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。
练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？
解析：平均数。
一、标准差、方差
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察图2.2－7）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
1、标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

思考探究：
1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
（2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据
都等于样本平均数。
2、方差

在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
四、例题精析
例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
[分析]采用求标准差的方法
解：

所以甲水稻的产量比较稳定。
点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。
变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90899095939493
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）92,2(B)92,2.8(C)93,2(D)93,2.8
【答案】B
【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为
90+=92；方差为2.8，故选B。

例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为

由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是.

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数.

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数.

点评：在直方图中估计中位数、平均数。
变式训练：
某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数48521
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值=，病人等待时间的标准差的估计值=

五、反馈测评
1．在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩678910
人数分布12467
则选手的平均成绩是（）
A．4B.4.4C.8D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为，约有一半的新生儿身长大于等于，新生儿身长的最可能值是.
3.．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为

4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.

六、课堂小结
1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
〖板书设计〗
〖书面作业〗
课本67

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

课前预习学案
一、预习目标：
通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：
1、知识回顾：
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？

2、众数、中位数、平均数的概念
众数:____________________________________________________________________

中位数:___________________________________________________________________

平均数:____________________________________________________________________
3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：
众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________
中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.
4.标准差、方差
标准差s=_________________________________________________________________

方差s2=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1.能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
二、学习内容
1.众数、中位数、平均数
思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？

思考2：你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？

2.标准差、方差
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？

思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？

思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？

3、〖典型例题〗
例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为

由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是.

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数.

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数.

例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
三、反思总结
1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?

四、当堂检测

1．在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩678910
人数分布12467
则选手的平均成绩是（）
A．4B.4.4C.8D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为，约有一半的新生儿身长大于等于，新生儿身长的最可能值是.
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数48521
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值=，病人等待时间的标准差的估计值=

4．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为

5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.

课后练习与提高
1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（）
A．1B.2C.3D.4
解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得
所以有，故选D.
2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万
3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表：
老板大厨二厨采购员杂工服务生会计
3000元450元350元400元320元320元410元
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析
解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员
（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平
（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之

高二数学用样本的数字特征估计总体的数字特征

用样本的数字特征估计总体的数字特征（第一课时）
【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。
【重点难点】掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。
【学习过程】
一、学习引导
①．方差和标准差计算公式：
设一组样本数据，其平均数为，则
样本方差：s2=
样本标准差：s=
②．方差和标准差的意义：
二．合作交流
①若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
②若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；特别地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；
③方差刻画了程度；对于不同的数据集，当越大时，方差越大；
④方差的单位是，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
二、随堂练习
例：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：
甲755752757744743729721731778768761773764736741
乙729767744750745753745752769743760755748752747
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？

1.证明方差的两个性质
①．若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
②．若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；

【小结反思】1.方差和标准差计算公式：
设一组样本数据，其平均数为，则
样本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
样本标准差：s=
2.方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。

【自我测评】
1．若的方差为3，则的方差为.
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）
A．B．C．D．
3.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：
甲658496
乙876582
根据以上数据，说明哪个波动小？
4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：
甲7868659107456678791096
乙95787686779658696877
问谁射击的情况比较稳定？
5．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
甲12131415101613111511
乙111617141319681016
哪种小麦长得比较整齐？
6．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)
A、25414037221419392142
B、27164427441640164040
(1)哪种棉花的苗长得高？
(2)哪种棉花的苗长得整齐？
7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？

用样本的数字特征估计总体的数字特征（第二课时）

【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。
【重点难点】掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。
【学习过程】
三、学习引导
①．方差和标准差计算公式：
设一组样本数据，其平均数为，则
样本方差：s2=
样本标准差：s=
②．方差和标准差的意义：
二．合作交流
①若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
②若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；特别地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；
③方差刻画了程度；对于不同的数据集，当越大时，方差越大；
④方差的单位是，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
四、随堂练习
例：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：
甲755752757744743729721731778768761773764736741
乙729767744750745753745752769743760755748752747
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
1.证明方差的两个性质
①．若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
②．若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；

【小结反思】1.方差和标准差计算公式：
设一组样本数据，其平均数为，则
样本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
样本标准差：s=
2.方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。

【自我测评】
1．若的方差为3，则的方差为.
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）
A．B．C．D．
3.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：
甲658496
乙876582
根据以上数据，说明哪个波动小？
4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：
甲7868659107456678791096
乙95787686779658696877
问谁射击的情况比较稳定？
5．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
甲12131415101613111511
乙111617141319681016
哪种小麦长得比较整齐？
6．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)
A、25414037221419392142
B、27164427441640164040
(1)哪种棉花的苗长得高？
(2)哪种棉花的苗长得整齐？
7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？

第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案》，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P71～P78，回答下列问题．
(1)众数、中位数、平均数各是什么样的数？
提示：见本课时[归纳总结，核心必记](1)．
(2)你能说出教材P72思考中样本的中位数与样本中位数估计值为什么不一样吗？
提示：频率分布直方图已经损失了一些基本的信息，因而通过频率分布直方图只能估计样本的中位数，而不能得到样本的准确的中位数．
(3)标准差和方差各指什么？
提示：见本课时[归纳总结，核心必记](2)．
2．归纳总结，核心必记
(1)众数、中位数、平均数
①众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．
②中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．
③平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)标准差、方差
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．假设样本数据是x1，x2，…，xn，x表示这组数据的平均数，
则s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].
②方差：标准差的平方s2即为方差，则s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
[问题思考]
(1)一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？
提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．
(2)在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？
提示：①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；
②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)众数、中位数、平均数的概念：；
(2)标准差、方差的公式：.
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)
甲：3,4,5,6,8,8,8,10
乙：4,6,6,6,8,9,12,13
丙：3,3,4,7,9,10,11,12
[思考1]三家广告中都称其产品使用寿命为8年，你能说明为什么吗？
名师指津：三个厂家从不同的角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．
[思考2]众数、中位数、平均数各有什么优缺点？
名师指津：三种数字特征的比较：
众数：优点是体现了样本数据的最大集中点，容易计算；缺点是只能表达样本数据中很少的一部分信息，无法客观地反映总体的特征．
中位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，便于利用中间数据的信息；缺点是对极端值不敏感．
平均数：优点是代表性较好，是反映数据集中趋势的量，一般情况下可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；缺点是任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”对平均值的影响越大．
?讲一讲
1．某工厂人员及月工资构成如下：
人员经理管理
人员高级
技工工人学徒合计
月工
资(元)22000250022002000100029700
人数16510123
合计22000150001100020000100069000
(1)指出这个表格中月工资的众数、中位数、平均数；
(2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？
[尝试解答](1)由表格可知，众数为2000元．
把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2200，故中位数为2200元．
平均数为69000÷23＝3000(元)．
(2)虽然平均数为3000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理的工资在平均数以上，其余人的工资都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．
对众数、中位数、平均数的几点说明
(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．
(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．
?练一练
1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：
分数5060708090100

人数甲班161211155
乙班351531311
选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．
解：甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；
甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；
按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．
如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适.
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
[思考1]通过计算可以知道，甲、乙两人的平均成绩相等，那么甲、乙两人的成绩谁的更稳定一些？怎样用数字刻画这种稳定性？
名师指津：乙的成绩相对稳定，样本数据的稳定性(或分散程度)常用标准差来刻画．
[思考2]怎样理解方差与标准差？
名师指津：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
?讲一讲
2．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：9910098100100103
乙：9910010299100100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[尝试解答](1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，
s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s2甲s2乙，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
(1)求一组数据的方差和标准差的步骤：
①先求平均数x.
②代入公式得方差和标准差
s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，
s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].
(2)实际问题中方差、标准差的意义
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．
?练一练
2．甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)：
甲：10.210.110.98.99.910.39.7109.910.1
乙：10.310.49.69.910.1109.89.710.210
分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？
解：x甲＝110(10.2＋10.1＋10.9＋…＋10.1)＝10(mm)，
x乙＝110(10.3＋10.4＋9.6＋…＋10)＝10(mm)，
s甲＝
110[10.2－102＋10.1－102＋…＋10.1－102]
＝0.228＝0.477(mm)．
s乙＝110[10.3－102＋10.4－102＋…＋10－102]
＝0.06＝0.245(mm)．
∵x甲＝x乙＝10，s甲＞s乙，∴乙比甲稳定，用乙较合适．
?讲一讲
3．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均分．
[尝试解答](1)由图知众数为70＋802＝75.
(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.40.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由图知这次数学成绩的平均分为：
40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．?
练一练
3．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，
则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________．
解析：(1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13(2)62.5(3)64
——————————————[课堂归纳感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值，见讲1.
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，见讲2.
(3)利用频率分布直方图求出的众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
(1)计算标准差或方差时易将公式记错而致误，如讲2；
(2)利用频率分布直方图求数字特征时易出现理解错误而致错，如讲3.
课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1众数、中位数、平均数的简单应用
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()
A．85,85,85B．87,85,86
C．87,85,85D．87,85,90
解析：选C从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.
2．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是40×90＋50×8190＝85(分)．
答案：85
题组2标准差(方差)的计算及应用
3．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是()
A．1B．2C．3D．4
解析：选A由s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，得s2＝110×100－32＝1，即标准差s＝1.
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲乙丙丁
平均成绩x
8.58.88.88
方差s23.53.52.18.7
则应派________参赛最为合适．
解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
答案：丙
5．用一组样本数据8，x,10,11,9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝________.
解析：∵该组样本数据的平均数为10，
∴(8＋x＋10＋11＋9)÷5＝10，∴x＝12，
∴s2＝15(4＋4＋0＋1＋1)＝2，∴s＝2.
答案：2
题组3频率分布与数字特征的综合应用
6．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________．
解析：甲的中位数为28，乙的中位数为36，所以甲、乙两人得分的中位数之和为64.
答案：64
7．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．
解析：平均数x＝10×0.06＋12×0.2＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.1＝14.24.
答案：14.24
8．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,
445,451,454
品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,
416,422,430.
(1)完成数据的茎叶图；
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
解：(1)如图
(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．
(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．
[能力提升综合练]
1．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为()
A．6B.6
C．66D．6.5
解析：选A∵x＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝111(61＋x)＝6，∴x＝5.方差数为：s2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.
2．(2016衡阳高一检测)甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是()
A．③④B．①②④
C．②④D．①③
解析：选A甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.
3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()
甲乙
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：选C由条形图易知甲的平均数为x甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，方差为s2甲＝－22＋－12＋02＋12＋225＝2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为x乙＝3×5＋6＋95＝6，方差为s2乙＝3×－12＋0＋325＝125，中位数为5，极差为4，故x甲＝x乙，s2乙＞s2甲，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等．
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05，则参赛的选手成绩的众数和中位数可能是()
A．65,65B．70,65
C．65,50D．70,50
解析：选A众数为第二组中间值65.设中位数为x，则0.03×10＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65.故选A.
5．已知k1，k2，…，kn的方差为5，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差为________．
解析：设k1、k2、…kn的平均数为k，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均数为3(k－4)，∴s2＝1ni＝1n[3(ki－4)－3(k－4)]2＝1ni＝1n[3(ki－k)]2＝9×1ni＝1n(ki－k)2＝9×5＝45.
答案：45
6．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为________．
解析：根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，
则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4.
∴s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.
答案：367
7．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图中数据算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
解：(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲10分13分12分14分16分
乙13分14分12分12分14分
甲得分的平均数为10＋13＋12＋14＋165＝13，
乙得分的平均数为13＋14＋12＋12＋145＝13.
s2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s2甲s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．
8．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；
(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．
解：(1)x甲＝110(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s2甲＝110[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，
∴s甲≈14.1.
x乙＝110(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
s2乙＝110[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.
∴s乙≈9.8.
(2)∵x甲＜x乙且s甲＞s乙，
∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小．
说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．

文章来源：http://m.jab88.com/j/51719.html

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