每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划,才能规范的完成工作!你们会写一段优秀的教案课件吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“数学归纳法”,相信能对大家有所帮助。
1.4数学归纳法
教学过程:
一、创设情境,启动思维
情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个,大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等;
教师总结:财主的儿子很傻很天真,但他懂一样思想方法,是什么?以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法,这就是今天的课题.人们通常也会用归纳法思考问题,小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷,什么年龄人叫阿姨,叫哥哥或姐姐.
情境二:华罗庚的“摸球实验”
1、这里有一袋球共12个,我们要判断这一袋球是白球,还是黑球,请问怎么判断?
启发回答:
方法一:把它全部倒出来看一看.特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.
方法二:一个一个拿,拿一个看一个.
比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球,……,第十二个白球,由此得到:这一袋球都是白球.特点:有顺序,有过程.
2、如果想象袋子有足够大容量,球也无限多?要判断这一袋球是白球,还是黑球,上述方法可行吗?
情境三:回顾等差数列通项公式推导过程:
设计意图:首先设计情境一,分析情境,自然引出课题----归纳法,谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣,调动学生学习的积极性.情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题,很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.
二、师生互动,探究问题
承上启下:以上问题的思考和解决,用的都是归纳法.什么是归纳法?归纳法特点是什么?上述归纳法有什么不同呢?
学生回答以上问题,得出结论:
1.归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:由特殊→一般;
2.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法;
3.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
在生活和生产实际中,归纳法有着广泛的应用.例如气象工作者、水文工作者,地震工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,地震预测用的就是归纳法.
4.引导学生举例:
⑴不完全归纳法实例:如欧拉发现立体图形的欧拉公式:(V为顶点数,E为棱数,F为面数)
⑵完全归纳法实例:如证明圆周角定理时,分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论.
设计意图:从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例,进一步体会归纳意识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法,并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.
三、借助史料,引申思辨
问题1:已知=(n∈N),
(1)分别求;;;.
(2)由⑴你会有怎样的一个猜想?这个猜想正确吗?
问题2:费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发明者之一,是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也有许多贡献.他曾认为,当n∈N时,一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了=4294967297=6700417×641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
教师总结:有人说,费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法回答的.但是要告诉同学们,失误的关键不在于多算一个数上!
问题3:,当n∈N时,是否都为质数?
验证:f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1601.但是f(40)=1681=,是合数.
承上启下:这里算了39个数不算少了吧,但还是不行!我们介绍以上两个资料,不是说世界级大师还出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而是要找出运用归纳法出错的原因,并研究出对策来,寻求数学证明.
教师设问:,不完全归纳法为什么会出错?如何弥补不足?怎么给出证明呢?
设计意图:在生活引例与已学数学知识的基础上,进一步引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大师都有可能如此.那么,不完全归纳法价值体现在哪里?不足之处如何去弥补呢?结论正确性怎样给出证明?学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.
四、实例再现,激发兴趣
1、演示多米诺骨牌游戏视频.
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件:
⑴第一块要倒下;
⑵当前面一块倒下时,后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后,多米诺骨牌全部都倒下.
再举例:再举几则生活事例:推倒自行车,早操排队对齐等.
2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理,探究出证明有关正整数命题的方法(建立数学模型).
设计意图:布鲁纳的发现学习理论认为,“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.另外,这个环节里,我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好.应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理,教师给予肯定和补充即可。事实上,情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”,这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,突破口就是学生的概括过程.
五、类比联想,形成概念
1、类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式(师生共同完成,教师强调步骤及注意点)
(1)当n=1时等式成立;
(2)假设当n=k时等式成立,即,
则=,即n=k+1时等式也成立.
于是,我们可以下结论:等差数列的通项公式对任何n∈都成立.
2.数学归纳法原理(学生表述,教师补正):
(1)(递推奠基):n取第一个值(例如)时命题成立;
(2)(递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)
利用它证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确,这种证明方法叫做数学归纳法.
3、数学归纳法的本质:无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)
设计意图:至此,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点.数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理自然数有关问题的有力工具,一种具普遍性的方法.
六、讨论交流,深化认识
例1、数列中,=1,(n∈),通项公式是什么?你是怎么得到的?
探讨一:观察数列特点,变形解出.
探讨二:先计算,,的值,再推测通项的公式,最后用数学归纳法证明结论.
设计意图:通过典型例题使学生探究尝试,一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能使他们体验数学方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.不同的方法也体现解决问题的灵活性.
七、反馈练习,巩固提高
(请两位同学板演以下两题,教师指正)
1、用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=.
2、首项是,公比是q的等比数列的通项公式是.
3、用数学归纳法证明:时,下列推证是否正确,说出理由?
证明:假设时,等式成立
就是成立
那么
=
这就是说当时等式成立,
所以时等式成立.
4、判断下列推证是否正确,若是不对,如何改正.
求证:
证明:①当n=1时,左边=右边=,等式成立.
②设n=k时,有
那么,当n=k+1时,有
,即n=k+1时,命题成立
根据①②可知,对n∈N*,等式成立.
设计意图:练习题1,2的证明难度不大,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.这样既可以检验学生的学习水平,保证不盲目拔高,同时不冲淡本节课的重点,对例题是一个很好的对比与补充.通过3,4的易错辨析,进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.
八、总结归纳,加深理解
1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,枚举法仅局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
3、数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
4、本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想.
九、布置作业,课外延伸
十、书面作业:见教材P56
课后思考题:
1.是否存在常数a、b、c使得等式:
对一切自然数n都成立并证明你的结论.
2.是否存在常数a、b、c,使得等式1
对一切自然数n都成立?并证明你的结论(a=3,b=11,c=10)
设计意图:思考题则起着承上启下的作用,它既是“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体验,也是对下节课内容的铺垫与伏笔.高二上册数学《数学归纳法》教学设计
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点,帮助教师缓解教学的压力,提高教学质量。那么,你知道教案要怎么写呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《高二上册数学《数学归纳法》教学设计》,欢迎大家与身边的朋友分享吧!
高二上册数学《数学归纳法》教学设计
教材分析:
“数学归纳法”既是高中数学中的一种重要的数学方法。它贯通了高中数学的几大知识点:不等式,数列,三角函数……在教学过程中,教师应着力解决的内容是:使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)。只有真正了解了数学归纳法的实质,掌握了证题步骤,学生才能信之不疑,才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课,有两大难点:使学生理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点,学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性,或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平,本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示,引发和开启学生的探究热情,通过“师生”和“生生”的交流合作,掌握概念的深层实质。
教学目标
1、知识和技能目标
(1)了解数学推理的常用方法(归纳法)
(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。
(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。
2、过程与方法目标
通过多米诺骨牌实验加深对数学归纳法的原理的理解,使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识,解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观目标
通过对问题的探究活动,亲历知识的构建过程,领悟其中所蕴涵的数学思想;体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐,感悟“数学美”,激发学习热情,培养他们手脑并用,多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观,创新意识和科学精神。
教学重点和难点
教学重点:(1)使学生理解数学归纳法的实质。
(2)掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。
教学难点:
(1)数学归纳法的原理;
教学方法:讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法
教学过程:
(一):
如何通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立?
(二)新课讲解
1、多米诺骨牌实验
要使所有的多米诺骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到?
(1)第一张牌被推倒(奠基作用)
(2)任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下(递推作用)
于是可以获得结论:多米诺骨牌会全部倒下。
2、类比总结(板书)
板书例1
引导学生总结数学归纳法步骤:
第二步的证明没有用到假设,这不是数学归纳法
注意:递推基础不可少,
归纳假设要用到,
结论写明莫忘掉。
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:
①明确首取值n0并验证真假。(必不可少)
②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
④明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因
式分解、添拆项、配方等,并用上假设。
课堂练习
①用数学归纳法证明:在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是(C)
A.1B.C.D.
②用数学归纳法证明命题时,假设那么
③课本37页练习1,2,3
(三)、课堂小结
1、数学归纳法能够解决哪一类问题?
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
2、数学归纳法证明命题的步骤是什么?
两个步骤和一个结论,缺一不可
3、数学归纳法证明命题的关键在哪里?
关键在第二步,即归纳假设要用到,解题目标要明确
4、数学归纳法体现的核心思想是什么?
递推思想,运用“有限”的手段,来解决“无限”的问题
注意类比思想的运用
(四)、作业:39页习题2-3A组1,2,3
(五)、板书设计:
数学归纳法(一)例1:……学生板演
数学归纳法:证明:…………
1.…………
2.……
…………
归纳法
俗话说,凡事预则立,不预则废。教师要准备好教案,这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的教案内容吗?小编收集并整理了“归纳法”,相信您能找到对自己有用的内容。
普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版B]
2.3.1数学归纳法
教学目标:
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点:
了解数学归纳法的原理
教学过程
一、复习:推理与证明方法
二、引入新课
1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(kN*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
(1)证明:当n取第一个值n0结论正确;
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
4、例子
例1
用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数列,那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N*都成立.
例2用数学归纳法证明
例3判断下列推证是否正确,若是不对,如何改正.
证明:①当n=1时,左边=右边=,等式成立
②设n=k时,有
那么,当n=k+1时,有
即n=k+1时,命题成立
根据①②问可知,对n∈N*,等式成立
课堂练习:第80页练习
课后作业:第82页A:1,2,3
高二数学数学归纳法学案练习题
§2.3数学归纳法(1)
一、知识要点
1.数学归纳法原理:
2.在运用数学归纳法证明问题时,第一步验证初始值可称为“初始步”,第二步运用归纳假设可称为“递推步”,这两个步骤缺一不可。
二、典型例题
例1.用数学归纳法证明:等差数列中,为首项,为公差,则通项公式为.
例2.用数学归纳法证明:当时,;
例3.用数学归纳法证明:当时,.
三、巩固练习
1.什么是数学归纳法?在用数学归纳法解题时,为什么步骤⑴和步骤⑵两者缺一不可?
分析下列各题(2~3)用数学归纳法证明过程中的错误:
2.设,求证:.
证明:假设当时等式成立,即
那么,当时,有
因此,对于任何等式都成立.
3.设,求证:.
证明:⑴当时,,不等式显然成立.
⑵假设当时不等式成立,即,那么当时,有
.
这就是说,当时不等式也成立.根据⑴和⑵,可知对任何不等式都成立.
四、课堂小结
运用数学归纳法注意两点:
1.验证的初始值至关重要,且初始值未必是1,要看清题目;
2.第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清由“到”时命题的变化(项的增加或减少).
五、课后反思
六、课后作业
1.用数学归纳法证明,第一步验证=.
2.用数学归纳法证明,第一步即证不等式
成立.
3.当为正奇数时,求证被整除,当第二步假设命题为真时,进而需证=时,命题亦真.
4.用数学归纳法证明,从“到”左端需增乘的代数式为.
5.用数列归纳法证明,第二步证明从“到”,左端增加的项数为.
用数学归纳法证明下列各题
6..
文章来源:http://m.jab88.com/j/45263.html
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