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高二数学数学归纳法学案练习题

作为杰出的教学工作者,能够保证教课的顺利开展,作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助高中教师能够更轻松的上课教学。那么如何写好我们的高中教案呢?小编经过搜集和处理,为您提供高二数学数学归纳法学案练习题,供您参考,希望能够帮助到大家。

§2.3数学归纳法(1)
一、知识要点
1.数学归纳法原理:

2.在运用数学归纳法证明问题时,第一步验证初始值可称为“初始步”,第二步运用归纳假设可称为“递推步”,这两个步骤缺一不可。
二、典型例题
例1.用数学归纳法证明:等差数列中,为首项,为公差,则通项公式为.

例2.用数学归纳法证明:当时,;
例3.用数学归纳法证明:当时,.

三、巩固练习
1.什么是数学归纳法?在用数学归纳法解题时,为什么步骤⑴和步骤⑵两者缺一不可?

分析下列各题(2~3)用数学归纳法证明过程中的错误:
2.设,求证:.
证明:假设当时等式成立,即
那么,当时,有
因此,对于任何等式都成立.
3.设,求证:.
证明:⑴当时,,不等式显然成立.
⑵假设当时不等式成立,即,那么当时,有
.
这就是说,当时不等式也成立.根据⑴和⑵,可知对任何不等式都成立.
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四、课堂小结
运用数学归纳法注意两点:
1.验证的初始值至关重要,且初始值未必是1,要看清题目;
2.第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清由“到”时命题的变化(项的增加或减少).
五、课后反思
六、课后作业
1.用数学归纳法证明,第一步验证=.
2.用数学归纳法证明,第一步即证不等式
成立.
3.当为正奇数时,求证被整除,当第二步假设命题为真时,进而需证=时,命题亦真.
4.用数学归纳法证明,从“到”左端需增乘的代数式为.
5.用数列归纳法证明,第二步证明从“到”,左端增加的项数为.
用数学归纳法证明下列各题
6..

延伸阅读

高二数学定积分学案练习题


§1.5.2定积分
一、知识要点
1.定积分的概念
说明:⑴定积分是一个常数;
⑵用定义求定积分的一般方法是:①分割;②以直代曲;③作和;④逼近.
2.定积分的几何意义
一般地,定积分的几何意义是,在区间上曲线与轴所围成图形面积的代数和(即轴上方的面积减去轴下方的面积)
二、例题
例1.计算定积分.

例2.利用定积分的定义求定积分,并用几何意义来验证.

例3.运用定积分的几何意义求下列定积分的值.
⑴⑵⑶⑷

三、课堂练习
1.定积分的几何意义是由所围成的图形的面积.
2.如图,阴影部分的面积分别以表示,
则定积分=.
3.计算下列定积分

4.用定积分表示下列图⑴,图⑵中阴影部分的面积.

四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.计算定积分=.
2.设变速直线运动物体的速度为,则在到这一时间段内,该物体经过的位移=.
3.设质点受力(为质点所在位置)的作用沿轴由点移动到点,若处处平行于轴,则在该过程中变力对质点所作的功=.
4.若,则=.
5.利用几何意义说明等式成立的理由.

6.简化下列各式,并画出各式所表示的图形的面积.
⑴⑵

高二数学曲线的交点学案练习题


§2.6.3曲线的交点
一、知识要点:
求两条曲线的交点就是求方程组的实数解。
二、典型例题:
例1已知(如图)探照灯的轴截面是抛物线,平行于的轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的Q点。试确定点Q的坐标.

例2在长、宽分别为10m、18m的矩形地块内,欲开凿一花边水池,池边由两个椭圆组成(如图),试确定两个椭圆的四个交点的位置.

例3若抛物线与以A(0,1),B(2,3)为端点的线段AB有两个不同的交点,求实数m的取值范围.

三、巩固练习:
2、曲线与曲线的交点个数是.
2、若两条直线与的交点在曲线上,则的值是.
3、已知直线与曲线有两个公共点,求的取值范围.
四、小结:

五、课后作业:
1.曲线与曲线的公共点的个数是
2.直线被曲线截得的线段的中点到原点的距离是
3.若直线与曲线的两个交点恰好关于轴对称,则k等于
4.抛物线与直线无交点,则实数k的取值范围是
5.已知A(-2,3)、B(3,1),直线与线段AB有公共点,则b的取值范围是
6.求直线被曲线截得的线段长
7、已知直线与抛物线交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求的值.

8.若直线与有一个公共点,求k的值

9.设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥轴,证明:直线AC经过原点.

高二数学数系的扩充学案练习题


§3.1数系的扩充
一、知识要点
1.复数的概念;
2.复数的表示;
3.两个复数相等的充要条件;
4.两个虚数只有相等与不等关系,不能比较大小.
二、典型例题
例1.写出复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?

例2.实数取什么值时,复数是
①实数?②虚数?③纯虚数?

例3.已知,求实数的值.

例4.已知复数,求实数的值.

三、巩固练习
1.下列结论中,正确的是()
A.B.
C.D.
2.实数为何值时,复数分别是①实数;②虚数;③纯虚数.

3.求满足下列条件的实数的值.
四、小结
五、作业
1.是复数为纯虚数的条件.
2.复数的虚部是.
3.如果复数是虚数,则满足的条件是.
4.以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是.
5.当实数=时,是纯虚数.
6.若复数和相等,则的值为.
7.若,则是的条件.
8.若,则实数的值(或范围)是.
9.若为纯虚数,求实数的值.

10.已知.①求实数;②求复数.

订正栏:

高考数学(理科)一轮复习数学归纳法学案带答案


俗话说,居安思危,思则有备,有备无患。作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础,让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的高中教案呢?下面是小编帮大家编辑的《高考数学(理科)一轮复习数学归纳法学案带答案》,欢迎您参考,希望对您有所助益!

学案39数学归纳法

导学目标:1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
自主梳理
1.归纳法
由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法.
2.数学归纳法
设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题________(或________)成立;(2)在假设______成立的前提下,推出________也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.
3.数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立.
(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立,证明当________时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
自我检测
1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为()
A.1B.1+a
C.1+a+a2D.1+a+a2+a3
2.如果命题P(n)对于n=k(k∈N*)时成立,则它对n=k+2也成立,又若P(n)对于n=2时成立,则下列结论正确的是()
A.P(n)对所有正整数n成立
B.P(n)对所有正偶数n成立
C.P(n)对所有正奇数n成立
D.P(n)对所有大于1的正整数n成立
3.(2011台州月考)证明n+221+12+13+14+…+12nn+1(n1),当n=2时,中间式子等于()
A.1B.1+12
C.1+12+13D.1+12+13+14
4.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()
A.2B.3C.5D.6
5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()
A.(k+3)3B.(k+2)3
C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3
探究点一用数学归纳法证明等式
例1对于n∈N*,用数学归纳法证明:
1n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)2+n1=16n(n+1)(n+2).

变式迁移1(2011金华月考)用数学归纳法证明:
对任意的n∈N*,1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n.

探究点二用数学归纳法证明不等式
例2用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式1+131+15…1+12n-12n+12均成立.

变式迁移2已知m为正整数,用数学归纳法证明:当x-1时,(1+x)m≥1+mx.

探究点三用数学归纳法证明整除问题
例3用数学归纳法证明:当n∈N*时,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.

变式迁移3用数学归纳法证明:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.

从特殊到一般的思想
例(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-12bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较1bn与Sn+1的大小,并说明理由.
【答题模板】
解(1)由已知得a2+a5=12a2a5=27,又∵{an}的公差大于0,
∴a5a2,∴a2=3,a5=9.∴d=a5-a23=9-33=2,a1=1,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.[2分]
∵Tn=1-12bn,∴b1=23,当n≥2时,Tn-1=1-12bn-1,
∴bn=Tn-Tn-1=1-12bn-1-12bn-1,
化简,得bn=13bn-1,[4分]
∴{bn}是首项为23,公比为13的等比数列,
即bn=2313n-1=23n,
∴an=2n-1,bn=23n.[6分]
(2)∵Sn=1+2n-12n=n2,∴Sn+1=(n+1)2,1bn=3n2.
以下比较1bn与Sn+1的大小:
当n=1时,1b1=32,S2=4,∴1b1S2,当n=2时,1b2=92,S3=9,∴1b2S3,
当n=3时,1b3=272,S4=16,∴1b3S4,当n=4时,1b4=812,S5=25,∴1b4S5.
猜想:n≥4时,1bnSn+1.[9分]
下面用数学归纳法证明:
①当n=4时,已证.
②假设当n=k(k∈N*,k≥4)时,1bkSk+1,即3k2(k+1)2.[10分]
那么,n=k+1时,1bk+1=3k+12=33k23(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1[(k+1)+1]2=S(k+1)+1,∴n=k+1时,1bnSn+1也成立.[12分]
由①②可知n∈N*,n≥4时,1bnSn+1都成立.
综上所述,当n=1,2,3时,1bnSn+1,当n≥4时,1bnSn+1.[14分]
【突破思维障碍】
1.归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索出一般规律.
2.数列是定义在N*上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一致的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的,数列中有不少问题常用数学归纳法解决.
【易错点剖析】
1.严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是归纳假设的基础.
2.在进行n=k+1命题证明时,一定要用n=k时的命题,没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法.
1.数学归纳法:先证明当n取第一个值n0时命题成立,然后假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立,那么就证明了这个命题成立.这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时,命题成立,这样假设就有了存在的基础,至少k=n0时命题成立,由假设合理推证出n=k+1时命题也成立,这实质上是证明了一种循环,如验证了n0=1成立,又证明了n=k+1也成立,这就一定有n=2成立,n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立,如此反复以至无穷,对所有n≥n0的整数就都成立了.
2.(1)第①步验证n=n0使命题成立时n0不一定是1,是使命题成立的最小正整数.
(2)第②步证明n=k+1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推,否则就不是数学归纳法.
(满分:75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)
1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是()
A.假设n=k(k∈N*)时命题成立,证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+1命题成立
C.假设n=2k+1(k∈N*)时命题成立,证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+2命题成立
2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,则()
A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=12+13
B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14
C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13
D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14
3.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是()
A.P(n)对n∈N*成立
B.P(n)对n4且n∈N*成立
C.P(n)对n4且n∈N*成立
D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立
4.(2011日照模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()
A.k2+1
B.(k+1)2
C.k+14+k+122
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
5.(2011湛江月考)已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)≥k2成立,则f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命题成立的是()
A.若f(3)≥9成立,且对于任意的k≥1,均有f(k)≥k2成立
B.若f(4)≥16成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)k2成立
C.若f(7)≥49成立,则对于任意的k7,均有f(k)k2成立
D.若f(4)=25成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2(n∈N*)”时,从n=k到n=k+1时,该式左边应添加的代数式是________.
7.(2011南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n1324的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是______________.
8.凸n边形有f(n)条对角线,凸n+1边形有f(n+1)条对角线,则f(n+1)=f(n)+________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)用数学归纳法证明1+n2≤1+12+13+…+12n≤12+n(n∈N*).

10.(12分)(2011新乡月考)数列{an}满足an0,Sn=12(an+1an),求S1,S2,猜想Sn,并用数学归纳法证明.

11.(14分)(2011郑州月考)已知函数f(x)=1x2e-1|x|(其中e为自然对数的底数).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)在(-∞,0)上求函数f(x)的极值;
(3)用数学归纳法证明:当x0时,对任意正整数n都有f(1x)n!x2-n.

学案39数学归纳法
自主梳理
1.一般结论完全不完全2.(1)P1P0(2)PkPk+1
3.(1)n0(n0∈N*)(2)n=k(k≥n0,k∈N*)n=k+1
自我检测
1.C[当n=1时左端有n+2项,∴左端=1+a+a2.]
2.B[由n=2成立,根据递推关系“P(n)对于n=k时成立,则它对n=k+2也成立”,可以推出n=4时成立,再推出n=6时成立,…,依次类推,P(n)对所有正偶数n成立”.]
3.D[当n=2时,中间的式子
1+12+13+122=1+12+13+14.]
4.C[当n=1时,21=12+1;
当n=2时,2222+1;当n=3时,2332+1;
当n=4时,2442+1.而当n=5时,2552+1,∴n0=5.]
5.A[假设当n=k时,原式能被9整除,
即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.
当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.]
课堂活动区
例1解题导引用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于弄清等式两边的构成规律:等式的两边各有多少项,由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
证明设f(n)=1n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)2+n1.
(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时等式成立,
即1k+2(k-1)+3(k-2)+…+(k-1)2+k1
=16k(k+1)(k+2),
则当n=k+1时,
f(k+1)=1(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-1]2+(k+1)1
=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)
=16k(k+1)(k+2)+12(k+1)(k+1+1)
=16(k+1)(k+2)(k+3).
由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立.
变式迁移1证明(1)当n=1时,
左边=1-12=12=11+1=右边,
∴等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即
1-12+13-14+…+12k-1-12k
=1k+1+1k+2+…+12k.
则当n=k+1时,
1-12+13-14+…+12k-1-12k+12k+1-12k+2
=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1-12k+2
=1k+1+1+1k+1+2+…+12k+12k+1+1k+1-12k+2
=1k+1+1+1k+1+2+…+12k+12k+1+12k+1,
即当n=k+1时,等式也成立,
所以由(1)(2)知对任意的n∈N*等式都成立.
例2解题导引用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
证明(1)当n=2时,左边=1+13=43;右边=52.
∵左边右边,∴不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,
即1+131+15…1+12k-12k+12.
则当n=k+1时,
1+131+15…1+12k-11+12k+1-1
2k+122k+22k+1=2k+222k+1=4k2+8k+422k+1
4k2+8k+322k+1=2k+32k+122k+1=2k+1+12.
∴当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.
变式迁移2证明(1)当m=1时,原不等式成立;
当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,
因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立;
(2)假设当m=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,
即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,
∵x-1,∴1+x0.
于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同时乘以1+x得,
(1+x)k(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2
≥1+(k+1)x.
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,
即当m=k+1时,不等式也成立.
综合(1)(2)知,对一切正整数m,不等式都成立.
例3解题导引用数学归纳法证明整除问题,由k过渡到k+1时常使用“配凑法”.在证明n=k+1成立时,先将n=k+1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理,最终将其变成一个或多个部分的和,其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除,从而由部分的整除性得出整体的整除性,最终证得n=k+1时也成立.
证明(1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1能被a2+a+1整除.
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,
ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,
则当n=k+1时,
ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1
=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,
由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,
∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除,
即n=k+1时命题也成立.
综合(1)(2)知,对任意的n∈N*命题都成立.
变式迁移3证明(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,
命题显然成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,
f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.
则当n=k+1时,
32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)
即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)
∴n=k+1时命题也成立.
综合(1)(2)可知,对任意的n∈N*,命题都成立.
课后练习区
1.D[A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.]
2.D
3.D[由题意可知,P(n)对n=3不成立(否则P(n)对n=4也成立).同理可推P(n)对n=2,n=1也不成立.]
4.D[∵当n=k时,左端=1+2+3+…+k2,
当n=k+1时,
左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,
∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上
(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.]
5.D[f(4)=2542,∴k≥4,均有f(k)≥k2.
仅有D选项符合题意.]
6.2k+1
解析∵当n=k+1时,
左边=1+2+…+k+(k+1)+k+…+2+1,
∴从n=k到n=k+1时,应添加的代数式为(k+1)+k=2k+1.
7.12k+12k+2
解析不等式的左边增加的式子是
12k+1+12k+2-1k+1=12k+12k+2.
8.n-1
解析∵f(4)=f(3)+2,f(5)=f(4)+3,
f(6)=f(5)+4,…,∴f(n+1)=f(n)+n-1.
9.证明(1)当n=1时,左边=1+12,右边=12+1,
∴32≤1+12≤32,命题成立.(2分)
当n=2时,左边=1+22=2;右边=12+2=52,
∴21+12+13+1452,命题成立.(4分)
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,
即1+k21+12+13+…+12k12+k,(6分)
则当n=k+1时,
1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k1+k2+2k12k+1=1+k+12.(8分)
又1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k12+k+2k12k=12+(k+1),
即n=k+1时,命题也成立.(10分)
由(1)(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.(12分)
10.解∵an0,∴Sn0,
由S1=12(a1+1a1),变形整理得S21=1,
取正根得S1=1.
由S2=12(a2+1a2)及a2=S2-S1=S2-1得
S2=12(S2-1+1S2-1),
变形整理得S22=2,取正根得S2=2.
同理可求得S3=3.由此猜想Sn=n.(4分)
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,上面已求出S1=1,结论成立.
(6分)
(2)假设当n=k时,结论成立,即Sk=k.
那么,当n=k+1时,
Sk+1=12(ak+1+1ak+1)=12(Sk+1-Sk+1Sk+1-Sk)
=12(Sk+1-k+1Sk+1-k).
整理得S2k+1=k+1,取正根得Sk+1=k+1.
故当n=k+1时,结论成立.(11分)
由(1)、(2)可知,对一切n∈N*,Sn=n都成立.
(12分)
11.(1)解∵函数f(x)定义域为{x∈R|x≠0}
且f(-x)=1-x2=1x2=f(x),
∴f(x)是偶函数.(4分)
(2)解当x0时,f(x)=1x2,
f′(x)=-2x3+1x2(-1x2)
=-1x4(2x+1),(6分)
令f′(x)=0有x=-12,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,-12)
-12
(-12,0)

f′(x)+0-
f(x)增极大值减
由表可知:当x=-12时,f(x)取极大值4e-2,
无极小值.(8分)
(3)证明当x0时f(x)=1x2,∴f(1x)=x2e-x.
考虑到:x0时,不等式f(1x)n!x2-n等价于x2e-xn!x2-nxnn!ex(ⅰ)(9分)
所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ)对一切n∈N*都成立即可.
①当n=1时,设g(x)=ex-x(x0),
∵x0时,g′(x)=ex-10,∴g(x)是增函数,
故g(x)g(0)=10,即exx(x0).
所以当n=1时,不等式(ⅰ)成立.(10分)
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式(ⅰ)成立,
即xkk!ex,
当n=k+1时,设h(x)=(k+1)!ex-xk+1(x0),
h′(x)=(k+1)!ex-(k+1)xk=(k+1)(k!ex-xk)0,
故h(x)=(k+1)!ex-xk+1(x0)为增函数,
∴h(x)h(0)=(k+1)!0,
∴xk+1(k+1)!ex,
即n=k+1时,不等式(ⅰ)也成立,(13分)
由①②知不等式(ⅰ)对一切n∈N*都成立,
故当x0时,原不等式对n∈N*都成立.(14分)

文章来源:http://m.jab88.com/j/38117.html

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