一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,有效的提高课堂的教学效率。关于好的教案要怎么样去写呢?小编经过搜集和处理,为您提供《基本不等式及其应用》教学设计,希望对您的工作和生活有所帮助。
《基本不等式及其应用》教学设计
一、教学内容分析
本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的,要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以基本不等式应重点研究。
从教学设计理念上来看,教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用,不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习,更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动,引导学生主体参与、探究本质、经历过程。
从知识应用价值上来看,基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用;另外它在如“求周长一定,面积最大;面积一定,周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。
从学生能力的培养来看,基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
二、学情分析
学生在初中阶段,学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念,高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解,学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容,变换灵活,应用广泛,条件有限制,考察了学生数形结合、类比转化等数学思想;对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高,在实际问题的解决中应用广泛。因此,必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手,才能让学生深刻理解它的本质。
另外,在用基本不等式解决最值时,学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件,因此,在教学过程中,应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用,并在第二课时重点学习与掌握。
三、教学目标设计
1.理解并掌握两个基本不等式,并能运用它们解决一些简单问题,如本节课导入环节中的实际问题;
2.思考生活中实际问题的解决方案,感受基本不等式的知识产生过程,并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势;
3.经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养分析问题、解决问题的能力,体会数形结合、类比代换等学习思想;
4.学会用数学的眼光看世界,用数学思维认知世界,养成善于思考的良好习惯;
四、教学重点及难点
1.教学重点:两个基本不等式的知识发生过程和证明;基本不等式的应用;
2.教学难点:基本不等式的应用,包括解决实际问题,求最值;
3.几点说明:整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程,从问题出发,应用数形结合理解不等式,并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件,尤其是对等号成立时充要条件的理解;在基本不等式的应用时,通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证,然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考,接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习,逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。
五、教学方法与手段
本节课采用“问题——思考——剖析——归纳——应用”的教学设计思路:
1.提出问题、启发诱导,以学生为主体,以基本不等式为主线,从实际问题出发,放手让学
生探究思索;
2.讲练结合,同时采用变式教学,巩固应用,加深理解;
3.以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段,直观演示,不仅启发思考,也
加深学生对基本不等式的理解。
六、教学过程设计
1.问题提出
问题:班级要用班费为秋游做准备,其中有一项要准备塑料绳子,把树干围成矩形作为活动的场所,由于班费有限,如何用最短的绳子围成最大的面积呢?
设计意图:引导学生在已学知识的基础上,针对该问题进行思考与讨论,不仅提高对于基本不等式学习的兴趣,更培养它们分析问题的能力;
2.基本不等式1的引入
问题:在客观世界中,有些不等关系是永远成立的,引发学生试举一些恒成立的不等关系.
根据学生回答,针对()进行提问,既然,那么可以用代替不等式中的吗?
得到:
进一步变形可得:
思考:
l不等式恒成立,和应该满足什么条件;
l不等式的等号成立时,和应该满足什么条件;
设计意图:
l基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系,引出;
l引发学生思考和所满足的条件,帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解;
3.基本不等式1
对于任意实数和,有,当且仅当时等号成立.
(1)基本不等式1的辨析
l;
l当且仅当时等号成立;
思考:“当且仅当”的含义是?
l当a=b时,取等号,即;
l仅当a=b时,取等号,即。
设计意图:对应问题引入中的两个思考,再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。
(2)基本不等式1的几何解释
a
b
l已知:四个全等的直角三角形构成正方形,直角边分别为a、b,当a≠b时,构成的正方形如左图所示,当a=b时,构成的正方形如右图所示.
l那么:大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的
大小关系是?
设计意图:给出基本不等式1的几何解释,帮助学生加深对基本不等式1的理解,尤其是对“当且仅当”的理解。
4.基本不等式2的引入
问题:当a0,b0时,在不等式中,以、分别代替a、b,得到什么?
得到:
设计意图:类比是学习数学的一种重要方法,此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的,突破了重点和难点,而且感受了其中的函数思想,有助于今后的学习。
5.基本不等式2
对于任意正数、,有,当且仅当时等号成立.
把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(1)基本不等式2的辨析
l;
l当且仅当时等号成立;
思考:“当且仅当”的含义是?
l当a=b时,取等号,即;
l仅当a=b时,取等号,即。
(2)基本不等式2的证明
证明:法1.因为、为正数,所以、均存在.
由基本不等式1,得,当且仅当时等号成立.
即,当且仅当时等号成立.
法2.因为,所以.
当时,.当时,.
所以,当且仅当时,的等号成立.
(3)基本不等式2的扩充
思考:当、为零时,基本不等式2是否成立?
基本不等式2的扩充:对于任意非负数、,有,当且仅当时等号成立.
(4)基本不等式2的几何解释
l已知:AB是半圆O的直径,过圆周上任意一点D做AB的垂线,令AC=a、CB=b,
那么DO=_____________,DC=_______________;
l得到:____________________________________;
设计意图:给出基本不等式2的几何解释,帮助学生加深对基本不等式2的理解,尤其是对“当且仅当”的理解.
6.基本不等式的应用
例1:已知,求证:,并指出等号成立的条件.
证明:方法多种,可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手,进行求证,同时也可以运用基本不等式求最值的方法;
其中一种方法示范板书为:
因为,所以、同号,并有,.
所以,.当且仅当,即时等号成立.
思考:若,则代数式的取值范围是什么?
设计意图:考察学生运用基本不等式时,要特别注意等号取到时的条件是否满足。
例2:若的最小
值为________,此时
练习2:的最小
值为________,此时
设计意图:帮助学生辨识基本不等式的结构特点,以及求最值的简单运用。
例3.在周长保持不变的条件下,何时矩形的面积最大?
猜想:由几何画板演示得出.
解:设矩形的长、宽分别为、(、)且(定值),则同样周长的正方形的边长为.
矩形面积,正方形面积
由基本不等式2,得,又由不等式的性质得,即.
由题意,(定值),所以(定值).当且仅当,即矩形为正方形时,矩形的面积最大.
思考:例3中的,为什么要为定值呢?如果不是定值,面积有最大值吗?
设计意图:
l通过例2和例3,先让学生通过基本不等式的运用,体验并思考“当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值;当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值”,这样在第二课时给出该结论效果会更好;
l例3也解决了情境创设环节提出的实际问题,让学生切实感受到学以致用的乐趣;
7.课堂小结
l
l
l初步应用两个基本不等式求最值.
8.作业练习
(1)2.4.1卷1(详见附录)
(2)思考题
l通过查阅资料,了解这两个基本不等式其它的几何解释.
l在面积保持不变的条件下,正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系?
l整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.
《基本不等式及其应用》教学反思
本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课,在学生熟练掌握不等式性质的前提下,介绍了两个基本不等式及其初步应用。基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具,因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.
本堂课借助多媒体及教学软件,采用以几何图形辅助代数知识讲授,由数到形,再由形到数的设计思路,将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中,并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识,从而达到较好的教学效果。整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程,让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论,然后再证明两个基本不等式,最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。
在用基本不等式解决最值时,学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。在教学过程中,尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用,但是学生依然会忽视限制条件,尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件,因此,基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)将在第二课时重点学习与掌握。
在教学过程中始终“关注学生的思维发展”,通过对相应例题的变式思考,培养学生自行探索、解决问题的能力。但是,由于学生刚刚接触基本不等式,对于其结构特点比较陌生,当遇到符合相应结构特点的关系式时,暂时想不到运用基本不等式解题,这时可以放手让学生采用其它方法尝试,然后引导学生运用基本不等式解题,对比体现其优点,加深学生对于基本不等式运用的真实体验。
通过整堂课的教学,不仅要求学生对有关知识点的掌握,此外还对应初步理解类比代换的数学方法有一定要求,并在公式的探求过程中,继续领悟数形结合的数学思想,逐步实现从知识结构的学习层次向能力水平的提高层次进行一定的转变与提升。
高三数学必修五基本不等式及其解法知识点
不等式的性质:①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有:
(1)abb
(2)ab,bcac(传递性)
(3)aba+cb+c(c∈R)
(4)c0时,abacbc
c0时,abac
运算性质有:
(1)ab,cda+cb+d。
(2)ab0,cd0acbd。
(3)ab0anbn(n∈N,n1)。
(4)ab0(n∈N,n1)。
应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:
(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
学案36基本不等式及其应用
导学目标:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
自主梳理
1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥________(a,b∈R).
(2)ba+ab≥____(a,b同号).
(3)ab≤a+b22(a,b∈R).
(4)a+b22____a2+b22.
3.算术平均数与几何平均数
设a0,b0,则a,b的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:________________________________________________.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x0,y0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当________时,x+y有最____值是________(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当________时,xy有最____值是__________(简记:和定积最大).
自我检测
1.“ab0”是“aba2+b22”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2011南平月考)已知函数f(x)=12x,a、b∈(0,+∞),A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A、B、C的大小关系是()
A.A≤B≤CB.A≤C≤B
C.B≤C≤AD.C≤B≤A
3.下列函数中,最小值为4的函数是()
A.y=x+4x
B.y=sinx+4sinx(0xπ)
C.y=ex+4e-x
D.y=log3x+logx81
4.(2011大连月考)设函数f(x)=2x+1x-1(x0),则f(x)有最________值为________.
5.(2010山东)若对任意x0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围为________________.
探究点一利用基本不等式求最值
例1(1)已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值;
(2)已知x54,求函数y=4x-2+14x-5的最大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
变式迁移1(2011重庆)已知a0,b0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是()
A.72B.4
C.92D.5
探究点二基本不等式在证明不等式中的应用
例2已知a0,b0,a+b=1,求证:(1+1a)(1+1b)≥9.
变式迁移2已知x0,y0,z0.
求证:yx+zxxy+zyxz+yz≥8.
探究点三基本不等式的实际应用
例3(2011镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)
变式迁移3(2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;a+b2≥ab成立的条件是a,b∈R+;ba+ab≥2成立的条件是ab0,即a,b同号.
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+bx,当a0,b0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a0,b0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a0,b0时函数在-ba,0,0,ba上是减函数,在-∞,-ba,ba,+∞上是增函数;当a0,b0时,可作如下变形:y=--ax+-bx来解决最值问题.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设a0,b0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()
A.8B.4C.1D.14
2.(2011鞍山月考)已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()
A.2B.4C.6D.8
3.已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()
A.2B.22C.4D.5
4.一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于a202km,那么这批货物全部运到B市,最快需要()
A.6hB.8hC.10hD.12h
5.(2011宁波月考)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为()
A.256B.83C.113D.4
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.
7.(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(1)已知0x43,求x(4-3x)的最大值;
(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值.
10.(12分)(2011长沙月考)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y=920vv2+3v+1600(v0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.
学案36基本不等式及其应用
自主梳理
1.(1)a0,b0(2)a=b2.(1)2ab(2)2(4)≤
3.a+b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)x=y小2p(2)x=y大p24
自我检测
1.A2.A3.C
4.大-22-15.[15,+∞)
课堂活动区
例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.
解(1)∵x0,y0,1x+9y=1,
∴x+y=(x+y)1x+9y
=yx+9xy+10≥6+10=16.
当且仅当yx=9xy时,上式等号成立,又1x+9y=1,
∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.
(2)∵x54,∴5-4x0.
y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3
≤-25-4x15-4x+3=1,
当且仅当5-4x=15-4x,
即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,
∴2y+8x=1.
∴x+y=(x+y)8x+2y=10+8yx+2xy
=10+24yx+xy
≥10+2×2×4yxxy=18,
当且仅当4yx=xy,即x=2y时取等号.
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.
变式迁移1C[∵a+b=2,∴a+b2=1.
∴1a+4b=(1a+4b)(a+b2)=52+(2ab+b2a)≥52+22abb2a=92(当且仅当2ab=b2a,即b=2a时,“=”成立),故y=1a+4b的最小值为92.]
例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.
在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法.
证明方法一因为a0,b0,a+b=1,
所以1+1a=1+a+ba=2+ba.
同理1+1b=2+ab.
所以(1+1a)(1+1b)=(2+ba)(2+ab)
=5+2(ba+ab)≥5+4=9.
所以(1+1a)(1+1b)≥9(当且仅当a=b=12时等号成立).
方法二(1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab
=1+a+bab+1ab=1+2ab,
因为a,b为正数,a+b=1,
所以ab≤(a+b2)2=14,于是1ab≥4,2ab≥8,
因此(1+1a)(1+1b)≥1+8=9(当且仅当a=b=12时等号成立).
变式迁移2证明∵x0,y0,z0,
∴yx+zx≥2yzx0,
xy+zy≥2xzy0,
xz+yz≥2xyz0.
∴yx+zxxy+zyxz+yz
≥8yzxzxyxyz=8.
当且仅当x=y=z时等号成立.
所以(yx+zx)(xy+zy)(xz+yz)≥8.
例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为:
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案.
解(1)依题意得
y=(560+48x)+2160×100002000x
=560+48x+10800x(x≥10,x∈N*).
(2)∵x0,∴48x+10800x
≥248×10800=1440,
当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元).
答当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
变式迁移3解(1)由题意可设3-x=kt+1,
将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-2t+1.
当年生产x万件时,
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为32x+3=323-2t+1+3.
当销售x(万件)时,年销售收入为
150%323-2t+1+3+12t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=-t2+98t+352t+1(t≥0).
(2)y=-t2+98t+352t+1=50-t+12+32t+1
≤50-2t+12×32t+1=50-216=42(万元),
当且仅当t+12=32t+1,即t=7时,ymax=42,
∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.
课后练习区
1.B[因为3a3b=3,所以a+b=1,
1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab
≥2+2baab=4,当且仅当ba=ab即a=b=12时,“=”成立.]
2.B[不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a+yx+axy≥a+2a+1≥9,
∴a≥2或a≤-4(舍去).
∴正实数a的最小值为4.]
3.C[因为1a+1b+2ab≥21ab+2ab
=21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b且1ab=ab,
即a=b=1时,取“=”号.]
4.B[第一列货车到达B市的时间为400ah,由于两列货车的间距不得小于a202km,所以第17列货车到达时间为400a+16a202a=400a+16a400≥8,当且仅当400a=16a400,即a=100km/h时成立,所以最快需要8h.]
5.A
6.18
解析由x0,y0,2x+y+6=xy,得
xy≥22xy+6(当且仅当2x=y时,取“=”),
即(xy)2-22xy-6≥0,
∴(xy-32)(xy+2)≥0.
又∵xy0,∴xy≥32,即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7.4
解析过原点的直线与f(x)=2x交于P、Q两点,则直线的斜率k0,设直线方程为y=kx,由y=kx,y=2x,得x=2k,y=2k或x=-2k,y=-2k,
∴P(2k,2k),Q(-2k,-2k)或P(-2k,-2k),Q(2k,2k).
∴|PQ|=2k+2k2+2k+2k2
=22k+1k≥4.
8.(-∞,22-1)
解析由f(x)0得32x-(k+1)3x+20,解得k+13x+23x,而3x+23x≥22,∴k+122,k22-1.
9.解(1)∵0x43,∴03x4.
∴x(4-3x)=13(3x)(4-3x)≤133x+4-3x22=43,(4分)
当且仅当3x=4-3x,即x=23时,“=”成立.
∴当x=23时,x(4-3x)的最大值为43.(6分)
(2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3.
∴2x+4y≥22x4y=22x+2y=223=42.
(10分)
当且仅当2x=4y,x+2y=3,即x=32,y=34时,“=”成立.
∴当x=32,y=34时,2x+4y的最小值为42.
(12分)
10.解(1)y=920vv2+3v+1600=920v+1600v+3≤
9202v×1600v+3=92083≈11.08.(4分)
当v=1600v,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时(6分)
(2)据题意有920vv2+3v+1600≥10,(8分)
化简得v2-89v+1600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内.
(12分)
11.解(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]
=6x2-6x.(6分)
(2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x,
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y=1x(6x2-6x+600)+1.5×400=600x+6x+594.(9分)
∴y≥2600x6x+594=714,(12分)
当且仅当600x=6x,即x=10时,取等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小,且最小为714元.(14分)
文章来源:http://m.jab88.com/j/44805.html
更多