古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？以下是小编收集整理的“第二章平面向量教学设计”，希望能对您有所帮助，请收藏。

新课标人教版

必修4第二章平面向量
内容：《平面向量》
课型：新授课

第二部分教学设计
2.1平面向量的概念及其线性运算
授课人：苏仕剑
【学习目标】
1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；
4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。
【学习要点】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，记作；长度为______的向量叫做单位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
规定：与______向量平行；长度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。
3、向量减法
向量加上的相反向量叫做与的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
4、实数与向量的积
实数与向量的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。
5、两向量共线的充要条件
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得__________。
【典型例题】jAB88.cOM

例1在四边形ABCD中，等于（）
A、B、C、D、
例2若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且，，则、表示向量为（）
A、+B、—C、—+D、——
例3设、是两个不共线的向量，则向量与向量共线的充要条件是（）
A、0B、C、1D、2
例4下列命题中：
（1）=，=则=
（2）||=||是=的必要不充分条件
（3）=的充要条件是
（4）=（）的充要条件是=
其中真命题的有__________________。
例5如图5-1-1，以向量，
为边作平行四边形AOBD，又，
，用、表示、和。
图5-1-1
【课堂练习】
1、（）
A、B、C、D、
2、“两向量相等”是“两向量共线”的（）
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
3、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（）
A、
B、
C、
D、
4、若||=1，||=2，=且，则向量与的夹角为（）
A、300B、600C、1200D、1500
【课堂反思】

2.2平面向量的坐标运算
授课人：陈银辉
【学习目标】
1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。
【学习过程】
1、平面向量基本定理
如果、是同一平面内的两个的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、使，其中不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组。
2、平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个向量、作为基底，对任一向量，有且只有一对实数、使得，则实数对（，）叫做向量的直角坐标，记作=，其中、分别叫做在轴、轴上的坐标，叫做向量的表示。相等向量其坐标，坐标相同的向量是向量。
3、平面向量的坐标运算
（1）若=，=，则=
（2）若A，B，则
（3）若=（，），则
4、平面向量共线的坐标表示
若=，=，则//的充要条件是
5、若，其中，则有：
；
。
【典型例题】
例1设、分别为与轴、轴正方向相同的两个单位向量，若则向量的坐标是（）
A、（2，3）B、（3，2）C、（—2，—3）D、（—3，—2）
例2已知向量，且//则等于()
A、B、—C、D、—
分析同共线向量的充要条件易得答案。
例3若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()
A、与—B、3与2C、+与—D、与2
例4已知当实数取何值时，+2与2—4平行？

【课堂练习】
1、已知=（1，2），=（—2，3）若且
则____________,_________________。
2、已知点A（，1）、B（0，0）、C（，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有其中等于()
A、2B、C、—3D、
3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A若点C满足，其中、且+则点C的轨迹方程为()
A、B、
C、D、
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且，求点M、N的坐标及向量的坐标。
【课堂反思】

2.3平面向量的数量积及其运算
授课人：曾俊杰
【学习目标】
1．知识与技能：
（1）理解向量数量积的定义与性质；
（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；
（3）掌握向量数量积的运算律；
（4）理解两个向量的夹角定义；
2．过程与方法：
（1）能用投影的定义求一个向量在另一个向量上的投影；
（2）能区别数乘向量与向量的数量积；
（3）掌握两向量垂直、平行和反向时的数量积；
3．情感、态度与价值观：
（1）培养学生用数形结合的思想理解向量的数量积及它的几何意义；
（2）使学生体会周围事物周期变化的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣；
（3）培养数形结合的数学思想；
【学习过程】
1、请写出平面向量的坐标运算公式：
（1）若=，=，则=
（2）若A，B，则
（3）若=（，），则
2、平面向量共线的坐标表示
若=，=，则//的充要条件是

3、两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则_________________________叫与的夹角.
4、我们知道，如果一个物体在力F（与水平方向成θ角）的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=

5、数量积的概念：
（1）两个非零向量、，过O作=，=，则∠AOB叫做向量与的夹角，显然，夹角
（2）若与的夹角为90，则称与垂直，记作⊥
（3）、是两个非零向量，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积），记作。
即=||||cos
规定=0，显然，数量积的公式与物理学中力所做功的运算密切相关。
特别提醒：
（1）（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0
（2）两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，
1)=0
2)当与同向时，=||||；当与反向时，=||||
特别的=||2或.
3)cos=；
4)||≤||||

6、“投影”的概念：如图
定义：____________叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|

3、平面向量数量积的运算律
交换律：=______
数乘结合律：=_________=__________
分配律：=_____________

【典型例题】
例1边长为的正三角形ABC中，设，，则
=

例2已知△ABC中，，，，ABC的面积，且||=3，||=5，则与的夹角为
例3已知=（1，2），=（6，—8）则在上的投影为

【课堂练习】
1、已知、均为单位向量，它们的夹角为那么=

2、已知单位向量与的夹角为，且，，求及与的夹角。
3、若，，且向量与垂直，则一定有()
A、B、C、D、且
4、设是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题
①
②
③不与垂直
④
其中正确的有（）
A、①②B、②③C、③④D、②④
5、已知平面上三点A、B、C满足，则
的值等于__________
【课后反思】

2.4平面向量的应用
授课人：刘晓聪
【学习目标】
一、知识与技能
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力
2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力
二、过程与方法
1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题
2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.
三、情感、态度与价值观
1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.
2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

【学习过程】
请认真思考后，回答下列问题：
1、判断：
（1）若四点共线，则向量（）
（2）若向量，则四点共线（）
（3）若，则向量（）
（4）只要向量满足，就有（）
2、提问：
（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

【典型例题】
例1已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC长．

变式已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，点D在线段BC
上，且BD=2DC求AD长．

例２如图，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P为AM与BN的交点，求∠MPN．
【课堂练习】
⊿ABC中，AD，BE是中线，AD，BE相交于点G
（1）求证：AG=2GD
（2）若F为AB中点，求证G、F、C三点共线．

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第二章2.32．3.1平面向量基本定理讲义

2．3.1平面向量基本定理
预习课本P93～94，思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么？
(2)如何定义平面向量基底？
(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？

[新知初探]
1．平面向量基本定理
条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
2．向量的夹角
条件两个非零向量a和b
产生过程
作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

范围0°≤θ≤180°
特殊情况θ＝0°a与b同向
θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180°a与b反向

[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底．()
(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．()
(3)零向量不可以作为基底中的向量．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案：B
3．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()
A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2D．e1，e1＋e2
答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量，的夹角为______．
答案：135°

用基底表示向量

[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
[解]法一：由题意知，＝＝12＝12a，＝＝12＝12b.
所以＝＋＝－＝12a－12b，
＝＋＝12a＋12b，
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又＋＝，－＝，则x＋y＝a，y－x＝b，
所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，
即＝12a－12b，＝12a＋12b.
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以a，b为基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴＝13＝13b.
∵E为AD的中点，
∴＝＝12＝16b.
∵＝12，∴＝12b，
∴＝＋＋
＝－16b－a＋12b＝13b－a，
＝＋＝－16b＋13b－a＝16b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－16b－a＋12b
＝a－23b.

向量夹角的简单求解
[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[解]如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.

求两个向量夹角的方法
求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．

[活学活用]
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝，
∴∠DBC为向量与的夹角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量与的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴与的夹角为90°.
平面向量基本定理的应用
[典例]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
[解]设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.
∴＝45，＝35，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝25，
＝＋＝＋25＝b＋25(－)
＝b＋45a－25b＝35b＋45a.
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.
∴＝23，＝23，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．

层级一学业水平达标
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：选D如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()
①与；②与；③与；④与.
A．①②B．①③
C．①④D．③④
解析：选B寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝()
A．12(a－b)B．12(a＋b)
C．12(b－a)D．12b＋a
解析：选B如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝12(＋)＝12(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝()
A．12(e1＋e2)B．12(e1－e2)
C．12(2e2－e1)D．12(e2－e1)
解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝12(＋)＝12(e1＋e2)，故选A.
5．(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则()
A．＝－13＋43
B．＝13－43
C．＝43＋13
D．＝43－13
解析：选A由题意得＝＋＝＋13＝＋13－13＝－13＋43.
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为______．
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋1－5k2e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝______.
解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或13.
答案：－2或13
8．如下图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为______．
解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．
答案：a＋b2a＋c
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝13，＝13，＝13，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－
＝13－23＝13a－23b，
＝－＝－13－23＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
＝－＝－(＋)＝13(a＋b)．
10．证明：三角形的三条中线共点．
证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令＝a，＝b.则有＝b－a.
设G在AD上，且AGAD＝23，则有＝＋＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
＝－＝12b－a.
∴＝－＝23－
＝13(a＋b)－a＝13b－23a
＝2312b－a＝23.
∴G在BE上，同理可证＝23，即G在CF上．
故AD，BE，CF三线交于同一点．
层级二应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为()
A．12(a＋b)B．23a＋13b
C．13a＋23bD．13(a＋b)
解析：选C∵＝2，∴＝23.
∴＝＋＝＋23＝＋23(－)＝13＋23＝13a＋23b.
2．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝()
A．43a＋23bB．23a＋43b
C．23a－23bD．－23a＋23b
解析：选B设AD与BE交点为F，则＝13a，＝23b.所以＝＋＝23b＋13a，所以＝2＝23a＋43b.
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()
A．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，则λ1＝λ2＝0
B．平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选BA中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D中，λ1，λ2有且只有一对．
4．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是()
A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0
解析：选A由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.
5．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，解得e1＝13a－23b，e2＝13a＋13b.
故e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b
＝23a＋－13b.
答案：23－13
6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2λ＝1，λ＝－23.
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝34＋14.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图，由＝34＋14可知M，B，C三点共线，
令＝λ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λλ＝14，所以S△ABMS△ABC＝14，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y＝x＋y2，＝x4＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线x＋y2＝1，x4＋y＝1x＝47，y＝67.

第二章平面向量第3课时2.2向量的减法教案

第3课时§2.2向量的减法
【教学目标】
一、知识与技能
1．掌握向量减法及相反向量的的概念；
2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；
3．能用向量运算解决一些具体问题。
二、过程与方法
通过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟数学发展的过程及其思想.
三、情感、态度与价值观
（1）在学完向量加法后再学习向量减法指导学生辨证的看待和解决问题。
（2）数学与生活的联系能够引导学生注意用联系的观点看问题
【教学重点】向量减法定义和法则
【教学难点】向量减法法则的应用
【教学过程】
一、复习：
1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算
二、讲解新课：
1．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：；．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．
3．向量减法的法则：
已知如图有，，求作．
（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．

说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点，作，，
则．
思考：若，怎样作出？
四、例题分析：
例1、如图,是平行四边形的对角线的交点,若,,
试证明..
例2、用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形

例3、试证：对任意向量，都有．

五、课时小结：
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则

第二章平面向量第2课时2.2向量的加法教案

第2课时§2.2向量的加法
【教学目标】
一、知识与技能
（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；
（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算
二、过程与方法
从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律
三、情感、态度与价值观
感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣
【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；
2．向量加法定义的理解。
【教学过程】
一、复习：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）
（）、、、（）、、、
（）、、、（）、、、

二、创设情景
利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之间有何关系？
三、讲解新课：
1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：
作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则.

（1）（2）
2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：．
（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作平行四边形ABCD，则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：．
结合律：．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：；．
四、例题分析：
例1、如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

例2、已知矩形中，宽为，长为，，，，
试作出向量，并求出其模的大小。
例3、一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，
则飞行的路程为400千米；两次位移的和的方向为北偏东，
大小为千米．

例4、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地度过长江，其航向应如何确定？

变式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？

例5、已知两个力，的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角是，
牛，求和的大小

五、课时小结：
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则

高中数学必修四第二章平面向量章末小结导学案

第二章平面向量章末小结
【本章知识体系】
【题型归纳】
专题一、平面向量的概念及运算
包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
1、1.AB→＋AC→－BC→＋BA→化简后等于()
A．3AB→B.AB→
C.BA→D.CA→
2、在平行四边形ABCD中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，则下列运算正确的是()
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b－c＋d＝0
3、已知圆O的半径为3，直径AB上一点D使AB→＝3AD→，E、F为另一直径的两个端点，则DE→DF→＝()
A．－3B．－4
C．－8D．－6
4、如图，在正方形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BD→＝c，则在以a，b为基底时，AC→可表示为________，在以a，c为基底时，AC→可表示为________．

5、下列说法正确的是()
A．两个单位向量的数量积为1
B．若ab＝ac，且a≠0，则b＝c
C．AB→＝OA→－OB→
D．若b⊥c，则(a＋c)b＝ab

专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算
向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。

6、已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()
A．1B.2
C．2D．4

7、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则d＝()
A．(2,6)B．(－2,6)
C．(2，－6)D．(－2，－6)

8、已知a＝(1,1)，b＝(1,0)，c满足ac＝0，且|a|＝|c|，bc0，则c＝________.

专题三、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。
9、已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，设AD→＝a，BE→＝b，则BC→等于()
A.43a＋23b
B.23a＋43b
C.23a－43b
D．－23a＋43b

10、在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→成立，此时称实数λ为“向量OC→关于OA→和OB→的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量OP3→与向量a＝(1,1)垂直，则“向量OP3→关于OP1→和OP2→的终点共线分解系数”为()
A．－3B．3C．1D．－1

11、已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，
(1)用OA→，OB→表示OC→；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：

12、如图，平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H、M是AD、DC的中点，BC上点F使BF＝13BC.
(1)以a、b为基底表示向量AM→与HF→；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM→HF→.

专题四、平面向量的数量积
求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义ab＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；另一个是根据坐标法，坐标法是a＝(，)，b＝(，)时，ab＝＋。利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决．
13、在直角坐标系xOy中，AB→＝(2,1)，AC→＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()
A．1B．2C．3D．4

14、A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(DB→＋DC→－2DA→)(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是()
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形

15、已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝23，且a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca＝________.

16．已知|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角为120°，则向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为________．

17．如图所示，在正方形ABCD中，已知|AB→|＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AB→AN→的最大值是________．

18、设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0≤α2π)，b＝(－12，32)，a与b不共线．
(1)证明向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量3a＋b与a－3b的模相等时，求角α.

19、已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角．

专题五、平面向量的应用
用向量的方法研究代数问题与一些几何问题，往往能有一种简易的奇妙效果，关键是建立几何与向量问题的联系，利用向量的运算。
20、如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上的一点，且BE：ED=2:3，连接CE并延长交AB与F，求AF：FB的值。

21、在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(2,3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．
(1)求点C(s，t)；
(2)设点C(s，t)是第一象限的点，若AP→＝AB→－mAC→，m∈R，则m为何值时，点P在第二象限？

文章来源：http://m.jab88.com/j/44804.html

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