一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？小编收集并整理了“数列教案”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

§2.1数列的概念
一、知识要点
1、数列的定义：按照一定排列的一列数叫数列.数列中的都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项,…,第n项,…数列的一般形式可以写成：，其中是数列的，叫做数列的，我们通常把一般形式的数列简记作。
2、数列的表示:
(1)列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.
(2)图像法:由(n,an)点构成的一些孤立的点;
(3)解析法:用通项公式an=f(n)（）表示.
通项公式：如果数列{}中的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的.
数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
思考与讨论:
①数列与数集有什么区别？
与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；
确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？
③{}与有什么区别？
⑷递推公式法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项.递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。

3、数列与函数
从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为（或它的）的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的是相应的函数的解析式，它的图像是。
4、数列分类：
按项数分类：，.
按项与项间的大小关系分类：，
，，.
5、任意数列{an}的前n项和的性质
=a1+a2+a3+……+an
6、求数列中最大最小项的方法：
最大最小，考虑数列的单调性.
二、典例分析
题型1:用观察法求数列的通项公式
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项.
⑴-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
⑶，，…；
⑷，，，，…；
⑸，，，，，…；
根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n的关系写通项.
⑵正负相间的问题，符号用（－1）n或（－1）n+1来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.
⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.
⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n2}，{}，{2n}，，{10n－1}，{1－10—n}等.
⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式来表示.
题型2:运用an与Sn的关系求通项
例2、已知数列的前n项的和.
⑴写出数列的通项公式；
⑵判断的单调性.

题型3:运用函数思想解决数列问题
例3、已知数列中，它的最小项是（）
A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项
题型4:递推数列
例4、⑴若数列中，，且各项满足，写出该数列的前5项．
⑵已知数列{an}中，，且各项满足，写出该数列的前5项.
三、课时作业
1.数列…的一个通项公式是（）
..
..
2.已知数列满足,则数列是()
A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列
3.已知数列的首项且,则等于()
A.B.C.D.
4.已知数列中,,
则等于()
A.B.C.D.
5.已知数列对任意的满足，且，那么等于（）
A．B．C．D．
6.已知数列{}的前项和，第项满足，则（）
A．B．C.D．
7.数列，…，则按此规律，是这个数列的第项.
8.已知数列的通项公式，则=，65是它的第项.
9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x应为_______.
10.写出下列数列的通项公式：
①，，，，．．．；
②，，，，．．．；
③，，，，．．．；
④，，，，，．．．；
⑤，，，，．．．；
⑥1,0,1,0,1,0,…；
11.已知数列
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由.
12.已知数列的通项公式为.
(1)试问是否是数列中的项?
(2)求数列的最大项.

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等比数列教案

教学设计
2．3.1等比数列
整体设计
教学分析
等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．
等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．
由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．
大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现．
三维目标
1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．
3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．
重点难点
教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．
教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．
课时安排
2课时

教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境引入)将一张厚度为0.044mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．
思路2.(实例导入)先给出四个数列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.
2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.
3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？
4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？
5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？
6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？
7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？
活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．
引导学生发现数列①②③的共同特点：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12.
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：
一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12.
①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)．
②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.
教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．
③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.
④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么Gx＝yG，即G2＝xy，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．
课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……
归纳得到an＝a1＋(n－1)d.
类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
归纳得到an＝a1qn－1.
这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．
下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：
∵{an}是等比数列，
∴anan－1＝q，an－1an－2＝q，an－3an－4＝q，…，a2a1＝q.
把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到
ana1＝qn－1，
于是得到an＝a1qn－1.
对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：
(1)不要把公式错误地写成an＝a1qn.
(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.
(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.
(4)类比等差数列中d＞0，d＜0时的情况，若q＞0，则相邻两项符号同号，若q＜0，则各项符号异号；若q＝1，则等比数列为非零常数列；若q＝－1，则为如2，－2,2，－2，…这样的数列；若|q|＜1，则数列各项的绝对值递减．
最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．

等差数列等比数列
定义从第2项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第2项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0
通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1

讨论结果：(1)～(3)略．
(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
(5)并不是所有的两个数都有等比中项．
(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．
(7)(8)略．
应用示例
例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝1410n.
活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问．
解：(1)an＝22n－1，
∴a1＝2，q＝2.
(2)∵an＝141010n－1，
∴a1＝14×10＝52，q＝10.
点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
变式训练
设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()
A.14B.12C.18D．1
答案：A
解析：由题意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴2a1＋a22a3＋a4＝2a1＋2a18a1＋8a1＝14.

例2(教材本节例3)
活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．
点评：解完本例后，启发引导学生观察a5，a10，a15，a20的规律．
变式训练
已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
∵a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，
∴2q＋2q＝203.
解得q1＝13，q2＝3.
当q＝13时，a1＝18.
∴an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝29，
∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
活动：教师引导学生观察，数列{an}不是等差数列，也不是等比数列，要求an的表达式，通过转化{an＋1}是等比数列来求解．
解：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
∵a1＝1，故a1＋1≠0，则有an＋1＋1an＋1＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1.
点评：教师引导学生进行解后反思．如本题(1)，不能忽视对an＋1≠0的说明，因为在等比数列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否则解题会出现漏洞．
变式训练
已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：∵{lgan}是等差数列，设公差为d，
则lgan＋1－lgan＝d，即an＋1an＝10d(常数)．
∴{an}是等比数列．

知能训练
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()
A．64B．81C．128D．243
2．在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比为23，则项数为()
A．3B．4C．5D．6
答案：
1．A解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1.
所以a7＝a1q6＝64.
2．B解析：设等比数列为{an}．
又∵a1＝98，q＝23，an＝13，∴qn－1＝ana1，即(23)n－1＝827.
∴n－1＝3，n＝4，即项数为4.
课堂小结
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．
2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．
作业
课本习题2—3A组1；习题2—3B组1.
设计感想
本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．
本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．
本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．
(设计者：张晓君)

第2课时
导入新课
思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．
思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.
2回忆怎样证明一个数列是等比数列？
3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.
4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？

活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究”中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为an＝2n－1的数列的图象和函数y＝2x－1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为an＝a1qqn，而y＝a1qqx(q≠1)是一个不为零的常数a1q与指数函数qx的乘积．从图象上看，表示数列{a1qqn}中的各项的点是函数y＝a1qqx的图象上的孤立点．
和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．
就任一等差数列{an}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？
在等差数列{an}中，我们已经探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，则aman＝apas.让学生对此给出证明．
证明：设等比数列{an}的公比为q，
则有aman＝a1qm－1a1qn－1＝a21qm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝a21qp＋s－2，
∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas.
经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，则有aman＝apas.
结合等比中项，我们很容易有这样的结论：
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．
结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：
1．等比数列的判断方法
(1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常数，an－1≠0)?{an}是等比数列．
(2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)an＝cqn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列．
2．主要性质
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列，当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列．
(2)an＝amqn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有aman＝apaq.
(4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．
(5)数列{an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．
学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．
讨论结果：(1)让学生默写．
(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)等比数列的通项公式是关于n的指数型函数．
(4)最常用的是活动中的第3个性质．
应用示例
例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．
活动：本例是课本上例题3，由题意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①
a1q3＝18.②
②÷①，得q＝32，③
把③代入①，得a1＝163.
因此，a2＝a1q＝163×32＝8.
答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.
点评：通过本题让学生体会方程思想．
变式训练
在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，则a18a10等于()
A．－23或－32B.23C.32D.23或32
答案：D
解析：∵a5a7＝a2a10，由a2a10＝6，a2＋a10＝5，
得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2.
∴a18a10＝a10a2＝32或a18a10＝23.

例2(1)在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18；
(2)在等比数列{bn}中，b4＝3，求该数列前七项之积；
(3)在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．
解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝a9a10a1＝1005＝20.
(2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b24＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2187.
(3)∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2)．∴a8＝－1458.
另解：a8＝a5q3＝a5a5a2＝54×54－2＝－1458.
点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．
变式训练
已知等比数列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝11－log2a2n＋13，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
由题意得a1＋a1q2＝15，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝45，解得q＝2，a1＝3，
∴an＝32n－1.
(2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2a2n＋13＝11－2n.
∴数列{bn}是首项为9，公差为－2的等差数列．
从而Sn＝n9＋11－2n2＝－n2＋10n.

例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和已知，故可设这三个数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a、d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解：设所求三个数为a－d，a，a＋d，
则由题设得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，
解此方程组，得a＝5，d＝2.∴所求三个数为3,5,7.
点评：此类问题要注意设未知数的技巧．若设所求三个数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．
例4根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
活动：本题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但本题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．
解：若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，…，
可知a1＝1，a2＝a1×12，a3＝a2×12.
于是，可得递推公式a1＝1，an＝12an－1n1.
由于anan－1＝12，
因此，这个数列是等比数列．
其通项公式是an＝(12)n－1.
点评：通过本题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，an＋1an是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列．
知能训练
1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)
答案：
1．解：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8.∴a2＝2.
从而a1＋a3＝5，a1a3＝4.
解之，得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2，当a1＝4时，q＝12.
∴an＝2n－1或an＝4(12)n－1＝23－n(n∈N*)．
点评：本例解答中易产生的错误是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分别得出q＝±2或q＝±12.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4(12)n－1或an＝4(－12)n－1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0这一隐含条件．
2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列，其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，
用计算器算得n≈4.
答：这种物质的半衰期大约为4年．
点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，本题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．
课堂小结
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列则可以与指数函数联系起来．
2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要体现在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．
作业
课本习题2—3A组2、3、4.
设计感想
本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．
本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．
本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．
备课资料
一、备用例题
例1.已知无穷数列10，10，10，…，10，….
求证：(1)这个数列成等比数列；
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的110；
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

例2.设a，b，c，d均为非零实数，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
求证：a，b，c成等比数列且公比为d.
证法一：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，
∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.
则必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
设公比为q，则b＝aq，c＝aq2，代入
(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.
证法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.
∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c.
∵a，b，c，d非零，∴ba＝cb＝d.∴a，b，c成等比数列且公比为d.
二、备用习题
1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为()
A．1B．2C．3D．4
2．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，则a3a6a9…a30等于()
A．210B．220C．216D．215
3．各项为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于……()
A．33B．72C．84D．189
4．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．
5．在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q.
6．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比较an＋1与bn＋1的大小．
参考答案：
1．答案：C
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得a23＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)．
∴d＝－2a1.
设等比数列的公比为q，则q＝a3a2＝3.
2．答案：B
解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得
a33q3a36q3a39q3…a330q3＝230，
∴a33a36a39…a330＝(2q)30.
∴a3a6a9…a30＝220.
3．答案：C
解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
4．答案：216
解析：设插入的三个数为a、b、c，则b2＝83×272＝4×9＝ac，
所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.
5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝±12.
当q＝12时，a12＝a1q11＝2561211＝18；
当q＝－12时，a12＝a1q11＝256×(－12)11＝－18.
(2)a1q2a1q4＝18，即a21q6＝18.
又a1q3a1q7＝72，即a21q10＝72.
两式相除得q4＝7218＝4，∴q＝±2.
6．解：由题意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝c2(q2n－1)．
∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋c2(q2n－1)－cqn＝c2(qn－1)2≥0，
∴an＋1≥bn＋1.
三、斐波那契数列的奇妙性质
我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．
1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：
11＝1.000021＝2.0000
32＝1.500053＝1.6667
85＝1.6000138＝1.6250
2113＝1.61543421＝1.6190
5534＝1.61768955＝1.6182
14489＝1.6180253144＝1.6181
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.6180与1.6181之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．
2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：
3．在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：
前n项和Sn＝an＋2－1，
anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)，
a2n－1＋a2n＝an－1(n≥2)，
an－2an＝a2n－1－(－1)n(n≥3)．
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式Un＋1Un－1－U2n＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式Sn＝[(1＋52)n－(1－52)n]，现在称之为比内公式．
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列

【复习目标】
掌握等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。
【课前热身】
1．如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则()
A．B．C．++D．=
2．已知–9,a1,a2,–1这四个数成等差数列,–9,b1,b2,b3,–1这5个数成等比数列,则等于（）
A．-8B．8C．8或-8D．
3．设Sn是等差数列的前n项和，若（）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=（）（浙江文理）
A–4B–6C–8D–10
5.(2005年杭州二模题)已知成等差数列,成等比数列,则椭圆的准线方程为________.
【例题探究】
1、已知数列为等差数列，且(05湖南)
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明

2、设数列
记
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取）
【方法点拨】
1．本题的关键在于指数式和对数式的互化在数列中的应用。
2．数列通项公式和递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应掌握.
3．例3是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.
冲刺强化训练（12）
1．已知等差数列满足则有()
A.B.C.D.
2在正数等比数列中已知则（）
A．11B．10C．8D．4
3．设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）
A．B．C．D．
4．在各项都为正数的等比数列中首项，前三项和为21，则()
A．33B．72C．84D．189
5．设数列的前项和为（）.关于数列有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列；
（3）若，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是.

6、在等差数列中，，等比数列中，
，，则

7．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为（湖南理）

8．已知，都是各项为正数的数列，对任意的正整n,都有成等差数列，
等比数列。
（1）求证：是等差数列；
（2）如果，，。

9．设⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为。已知，。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。
（1）求证：是等差数列（2）求的表达式；
（3）求证：
参考答案
【课前热身】
1．B2，A3，A4，B
5、y=±22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要注意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=±a2c=±22.
【例题探究】
1,（I）解：设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
（II）证明因为，
所以
2,解：（I）
（II）因为,所以
所以
猜想：是公比为的等比数列.
证明如下：因为
所以是首项为,公比为的等比数列.
3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：（万元）
银行贷款本息：（万元）
故甲方案纯利：（万元）
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和：
（万元）
故乙方案纯利：（万元）；综上，甲方案更好.

冲刺强化训练(12)
1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）
6．解：
点评：此题也可以把和d看成两个未知数，通过列方程，联立解之d=。再求出但计算较繁，运用计算较为方便。
7．
8．解：（1）证明：成等差数列，。
成等比数列，，即，
，，成等差数列。
（2）解：而，
，
）
9．解：（1）由题意知：⊙：，⊙：
，，
,两边平方，整理得
是以为首项，公差为2的等差数列
（2）由（1）知，
（3）
），

数列求和

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助授课经验少的教师教学。写好一份优质的教案要怎么做呢？小编经过搜集和处理，为您提供数列求和，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

数列的求和
教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
教学过程：
基本公式：
1.等差数列的前项和公式：
，
2．等比数列的前n项和公式：
当时，①或②
当q=1时，
一、特殊数列求和－－常用数列的前n项和及其应用：
例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
——由题和等差数列的前n项和公式先求通项公式an，再sn
例3求和S=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)．
——关键是处理好通项：n(n+1)(n+2)=n+3n+2n，
应用特殊公式和分组求解的方法。
二、拆项法(分组求和法)：
例4求数列
的前n项和。
——拆成等比数和列等差数列{3n-2},应用公式求和，注意分a=1和两类讨论.
三、裂项（相消）法：
例5求数列前n项和
——关键是处理好通项（裂项）.设数列的通项为bn，则
例6求数列前n项和
解：
四、错位法：
例7求数列前n项和
解：①
②
两式相减：
五、作业：
1.求数列前n项和
2.求数列前n项和
3.求和：(5050)
4.求和：1×4+2×5+3×6+……+n×(n+1)
5.求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an1)，……前n项和

数列的递推公式（选学）教案

教学设计
2．1.2数列的递推公式(选学)
整体设计
教学分析
本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．
数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．
数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．
三维目标
1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．
2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．
3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．
重点难点
教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．
教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．
思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？
(2)数列{an}的通项公式是an＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1coscoscos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？
(3)怎样理解递推公式？若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？
活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．
模型一：自上而下
第1层钢管数为4，即1?4＝1＋3；
第2层钢管数为5，即2?5＝2＋3；
第3层钢管数为6，即3?6＝3＋3；
第4层钢管数为7，即4?7＝4＋3；
第5层钢管数为8，即5?8＝5＋3；
第6层钢管数为9，即6?9＝6＋3；
第7层钢管数为10，即7?10＝7＋3.
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an＝n＋3(1≤n≤7)．
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，
即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．
引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．
注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．
有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．
讨论结果：
(1)略
(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；
数列3，a1＝1，an＝cos(an－1)(n＝2,3,4，…)．
(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．
应用示例
例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前5项，并猜想an.
活动：根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．
由anan－1＝2，可得到以下解法：
anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，
∴an＝2n.
解：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴a2＝2×a1＝4，
a3＝2×a2＝8，
a4＝2×a3＝16，
a5＝2×a4＝32.
∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，
∴猜想an＝2n.
变式训练
已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.
解：由an＋1－an＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，
an－an－1＝－4
an－1－an－2＝－4
an－2－an－3＝－4
……
＋a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1
∴an＝2－4(n－1)．

例2(教材本节例1)
活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：
a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1a1＝23－2n.
变式训练
已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
求：(1)a5；
(2)127是这个数列中的第几项？
解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，
∴a3＝3a2－2a1＝7，
a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，
∴127是此数列的第7项．

例3(教材本节例2)
活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出来让学生观察发现an与an＋1间的关系．
变式训练
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an等于()
A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn
答案：A
解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.
方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，
∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，
…
a2－a1＝ln21，
将以上n－1个式子累加得
an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝ln(nn－1n－1n－2…21)＝lnn，
∴an＝2＋lnn.

例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的长度所在的数列为{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．
甲
乙

(1)写出数列的前4项；
(2)写出数列{ln}的一个递推关系式；
(3)求{ln}的通项公式；
(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA9，OA2007的长度分别是多少？
活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．
解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.
(2)通过观察图形，可知：OAn＋1，OAn,1组成直角三角形，而OAn＋1＝ln＋1，OAn＝ln.
∴由勾股定理可得l2n＋1＝l2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．
(3)ln＝n.
(4)OA9＝l9＝3，OA2007＝2007＝3223.
点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．
知能训练
1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为()
A．{a2n＋1}B．{a3n＋1}C．{a4n＋1}D．{a6n＋1}
2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn＝anan＋1，则数列{bn}的前4项依次是__________．
答案：
1．B解析：取k＝0,1,2，…，8验证，周期为8.
2．前4项依次是12，23，35，58.
课堂小结
1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．
2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．
作业
课本本节习题2—1A组7、8；习题2—1B组4，第5题选做．
设计感想
本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．
本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．
备课资料
一、探究求数列通项公式的方法
求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．
1．观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
【例1】已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．
解：观察数列前若干项可得通项公式为an＝(－1)n2n－32n.
2．公式法
已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达式．
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求此数列的通项公式．
解：由条件可得Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.
3．累差迭加法
若数列{an}满足an＋1＝an＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．
【例3】已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．
解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，
各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
∴an＝n2＋5(n∈N)．
4．连乘法
若数列{an}能写成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，则可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n－2)，…，a2＝a1f(2)连乘求得通项公式．
【例4】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝n＋1an2(n∈N)，求{an}的通项公式．
解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，
2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，
两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)．
于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)，
以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．
5．求解方程法
若数列{an}满足方程f(an)＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．
【例5】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n，求数列{an}的通项公式．
解：由条件f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n.
∴a2n＋2nan－1＝0.
又an＞0，∴an＝n2＋1－n.
6．迭代法
若数列{an}满足an＝f(an－1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．
二、备用习题
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an－2(n≥3)，则a5等于()
A.5512B.133C．4D．5
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝－12an－1(n≥2，且n∈N*)，则a4等于…()
A．－1B.12C.1724D．－18
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝__________.
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝__________.
5．已知an＝n－98n－99(n∈N*)，则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．
6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？
参考答案：
1．A解析：a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.
2．D解析：a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.
3.1n解析：由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.
4.nn＋12＋1解析：由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.当n＝1时，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.
5．a10，a9解析：an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，
当1≤n≤9时，99－98n－99＜0，an为递减函数；
当n≥10时，99－98n－99＞0，an为递减函数．
∴最大项为a10，最小项为a9.
6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．
爬一级梯子的方法只有一种．
爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，
则an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，
则得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，就可以求得a8＝81.

文章来源：http://m.jab88.com/j/44775.html

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