一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？下面是由小编为大家整理的“高二数学1.1两个计数原理学案”，仅供参考，大家一起来看看吧。

§1.1两个计数原理(1)
一、知识要点
1.分类计数原理；
2.分步计数原理.
二、典型例题
例1.某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加学代会.
⑴若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？
⑵若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少种不同的选法？

例2.⑴在图(1)中的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
⑵在图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？

例3.要从甲、乙、丙、丁4名工人中选出2名分别值星期日的日班和晚班，有多少种不同的选法？

三、巩固练习
1.乘坐交通工具从甲地到相距较远的乙地，可以乘飞机，也可乘火车，还可以乘长途汽车，一天中，飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班.问：一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有种不同的方法.
2.将3封信投入2个信箱中，不同的投法有种；将2封信投入3个不同的信箱中，共有种不同投法.
3.把4名实习老师分配到5个班实习，每个班人数不限的分配方案有种；每个班最多有1名老师的分配方案有种.
4.书架上原来并排放着5本书，现要再插入3本不同的书，有多少种不同的插法？
5.在1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字5的自然数有多少？

四、课堂小结

五、课后反思

六、课后作业
1.若，则的不同值的个数为.
2.一名学生去书店，发现4本好书，决定至少买其中1本，则这名学生的购书方案共有种.
3.若，且，则有序数对共有个.
4.某商场有东南西北四个大门，从一个大门进去又从另一个大门出来，共有种不同走法.
5.有3个小盒要放入4个不同颜色的小球，则不同的放法有种.
6.3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，则不同的报名方案有种.
7.在三个不同的盒子中，分别装有不同标号的红球10个，白球9个，黄球8个.
⑴从三个盒子中任取1个球，共有多少种不同的取法？
⑵从三个盒子中各取1个球，共有多少种不同的取法？
⑶若要从盒子中任取2个球，其颜色不同的取法有多少种？

8.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？

订正栏：

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分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案

第01课时
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）
学习目标
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2．会利用两个原理分析和解决简单的应用问题.
学习过程
一、学前准备
阅读课本P1内容，知道：（1）现实生活中的计数问题普遍存在的；（2）计算问题的思路；（3）明确本章学习的主要内容。

二、新课导学
◆探究新知（预习教材P2～P6，找出疑惑之处）
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？

问题2：用前6个大写英文字母和九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？
◆应用示例
例1．(课本P2例1)在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学B大学
生物学数学
化学会计学
医学信息技术学
物理学法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少
种选择呢？

例2.(课本P4例2)设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
例3.(课本P5例3)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

例4.(课本P5例4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

◆反馈练习
1．（课本P6练1）填空：
(1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出l人来完成这件工作，不同选法的种数是;
(2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村到C村
的路线有条．
2．（课本P6练3）在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有6+4=10（种）.这种算法有什么问题？

学习评价
1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有()
A.12种B.19种C.32种D.60种
2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则的不同值有()
A.2个B.6个C.9个D.3个?
3.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有()
A.3种B.6种C.7种D.9种?
课后作业
1．（课本P6练2）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．(1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
(2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

2．(课本P12A1)一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？

3．一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?

高二数学期末知识点：两个变量的线性

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。您知道教案应该要怎么下笔吗？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高二数学期末知识点：两个变量的线性”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

高二数学期末知识点：两个变量的线性

教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学重点：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学过程：
1.回顾上节课的案例分析给出如下概念:
(1)回归直线方程
(2)回归系数
2.最小二乘法
3.直线回归方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行估计,高三，即可得到个体Y值的容许区间。
(3)利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
4.应用直线回归的注意事项
(1)做回归分析要有实际意义;
(2)回归分析前,最好先作出散点图;
(3)回归直线不要外延。

基本计数原理

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师提前熟悉所教学的内容。写好一份优质的教案要怎么做呢？下面是小编为大家整理的“基本计数原理”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

“教材分析与导入设计”
第一章计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
本节教材分析
（1）三维目标:
知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
过程与方法：培养学生的归纳概括能力；
情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式
（2）教学重点:初步理解分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理),并能根据具体的问题特征,选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题.
（3）教学难点:根据具体的问题特征,正确选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题.
（4）教学建议:分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人们通过大量的计数实践归纳出来的基本规律,它们是推导排列数,组合数公式的依据,其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终,本节通过实例分析引出两个计数原理,从而抽象概括出两个原理的一半结论.例1,例2分别是单独使用这两个原理进行计数的例题,有助于学生进一步了解两个原理的意义和区别.

新课导入设计
导入一:
先看下面的问题：
①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.
导入二;在日常的生产,生活中,我们常常会遇到一些需要计数的问题,例如:2010年中国足球协会超级联赛有14支球队参加,每支球队要和其余的13支球队进行比赛,而且在主场和客场各赛一次,那么联赛一共要安排多少场比赛呢?我国许多地区的电话号码都是由6位升至8位,这样电话号码可以增加多少?如果考虑用户不喜欢带4的,那么增加多少?回答这些问题将会用到这章的内容,这节课我们先学习两个原理.

高二数学必修四《两个变量的线性相关》创新教案

高中数学必修四《两个变量的线性相关》教案设计

一、内容和内容解析

本节课是人教A版高中数学必修三2.3.2两个变量的线性相关的第二课时。上节课通过大量的生活实例，学生已经初步认识两个变量间的相关关系，并可以借助散点图呈现收集的数据。通过对单变量样本数据中“平均数的几何意义”（切合学生的认知需要）的介绍，为本节课的内容做了铺垫。本节课的主要内容是用最小二乘法求线性回归方程，基础知识是回归直线的概念，也是本节课的核心概念；基本思想是“最小二乘法”思想；根据线性回归方程的系数公式求回归直线是本节课的基本技能.

就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域.了解“最小二乘法”思想，比较各种“估算方法”，体会它的科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进学生对核心概念的进一步理解.“样本估计总体”是本节课的上位思想也是整个第二章的核心思想，而“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现.回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中有所渗透.

本节课通过引导学生经历“收集数据——整理数据（作散点图）——探究并确定回归直线的数学意义——求回归直线方程——应用”完整的回归分析的过程，鼓励学生独立思考、自主探究、合作交流和计算机操作等方式展开学习，从而发挥本节课的育人价值。整个学习过程渗透了数据分析和数学建模的核心素养。通过引导学生对散点图中的点大致分布在一条直线附近的观察，渗透直观想象的核心素养；通过尝试提出找回归直线的想法、用自己的语言描述对这条直线的初步认识到探究从数学的角度定义回归直线的过程，渗透数学抽象和逻辑推理的核心素养；最后，根据回归直线方程的系数公式，引导学生先求出公式中的基本统计量，再代入公式的过程和指导学生利用Excel电子表格求回归方程的过程，提升数学运算的核心素养。

基于上述内容分析，本节课的教学重点为:了解最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程

二、目标和目标设置

基于对本节课教学内容的解析，结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，制定本节课的教学目标如下：

1.了解一元线性回归模型的含义：

（1）能根据散点图解释两个相关变量的线性相关关系；（2）能用自己的语言解释回归直线的统计意义；2.了解最小二乘原理：

（1）经历用不同方法确定回归直线的过程，能认识到回归直线是“从整体上看，各点与此直线上的点的距离最小”的直线；

（2）能用数学符号刻画“从整体上看，各点与此直线上的点的距离最小”的表达方式；

（3）通过对表达方式的转化（距离最小到偏差平方和最小），体会最小二乘法原理，并能用自己的语言表述；

3.针对实际应用问题，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；4.在经历完整的线性回归分析的过程中，重点提升数据分析和数学建模核心素养；5.针对实际应用问题，会用一元线性回归模型进行预测.

三、学生学情分析

第1页（共6页）

在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然.而上节课的“从平均数的几何意义说起”符合学生的认知需要和支撑点，同时引起了学生的兴趣，为这节课的最小二乘法思想的产生做了重要的铺垫.

“最小二乘法”作为经典的回归方程估算方法，通过用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一直观的几何描述，采取合适的数学处理方法，最终获得回归直线，对学生认可统计估算的科学性有很大帮助.其中对于数形结合发现距离与偏差的等价性，二元二次函数的特征辨识等都是这节课学生所要具备的认知基础.

基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻画并化简，化几何问题为代数问题，是学生顺利了解解“最小二乘法”思想的前提;而如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高，这里就造成了已有认知与现需认知的差异，而且是学生不能独立突破的.要了解“最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程可作为“两个具有线性相关关系的变量的代表”这一回归直线概念的本质，并体现相对于其他估算方法法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说理，这里的认知差异也是学生无法自己消除的，需要老师的引导和帮忙.

知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到的最大矛盾.教学中，要防止两种倾向:一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程;二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂上花大量时间对回归系数公式进行证明说理.这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标;后者人为拔高教材要求，脱离了本节课教学要求.

所以，本节课的教学难点是:如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想.对于该教学难点，教师通过精准问题串层层分解学生认知的难点，不断寻找学生的认知原点，关键处动画展示，直观形象，突破教学难点.本节课涉及大量数据计算，形成操作上的一个难点，通过小组合作，教师培训模式突破难点.

四、教学策略分析

本节课在课前让学生收集身高与体重的数据，一方面对前面学过的知识有一个巩固，同时让本节课进行线性回归分析的过程更加完整；二是从学生身边的真实数据出发，更容易促进学习动机，而且给学生带来的体验也更为真实。对回归直线概念的学习，采用概念形成和概念同化相结合的策略。从自然语言描述上，回归直线是“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的一条直线，“总偏差平方和最小”是回归直线的数学符号表示。这里通过精心设计“问题串”引导学生经历充分的思维活动过程，是本节课落实数学基本活动经验的最佳机会。具体来说，考虑让学生带着“同学们想做什么？或者说利用学过的统计知识你能做些什么？”这样的问题，在得出散点图后，直观感知“点”的分布特点，实际上也是在培养学生“发现问题”、“提出问题”的能力；通过让学生“尝试画出你认为合适的回归直线”的活动，给予学生独立思考的时间和空间，再通过让学生展示自己画的回归直线，引导学生对回归直线的标准有一个模糊的初步的想法。在此基础上提出如何给回归直线一个定量的数学的标准的问题。通过借助几何画板动态演示，帮助学生理解从“距离的和的最小”到“总偏差平方和最小”的转化过程，完成对回归直线概念的形成过程。除此之外，上节课利用“平均数的几何意义”的案例做了铺垫，本节课再类比标准差公式的学习过程，实际上是采用了先行组织者策略帮助学生同化回归直线的概念。新课标相对于老课标（修订版）在教学目标上增加了“会使用相关统计软件”的要求，采用小组合作学习的方式，更能在探究和上机操作的过程中帮助基础薄弱的学生学习。另外，手机拍照投屏技术可以及时将学生讨论的结果展示给所有学生，帮助老师及时获得反馈，也有助于学生在心理上形成与他人的比较，帮助学生逐渐形成自我评价的意识。最后考虑结合国策作为作业的背景材料，也是体现教学中要有立德树人的意识。

五、教学过程设计（一）知识回顾，导入新课

1．两个变量之间有几种关系？

2．从“平均数”的几何意义说起

师生活动：两个变量之间有两种关系，即函数关系和相关关系.通过平均数是数轴上一组数据最靠近的一个“代表值”，但是这是一个单变量样本数据的问题，日常生活中涉及的大多数是多变量的问题，比如课前收集的身高与体重就是一个双变量样本数据的问题

（二）初步探索，直观感知

面对收集来的样本数据，同学们想做什么？或者说利用学过的统计知识你能做些什么？利用电子表格作出散点图，直观感知两个变量之间的线性相关关系及回归直线（板书）数学实验1：寻找回归直线——请同学们在学案上尝试画出你认为合适的回归直线

问题1：如何评价这些“直线”的优劣？是否有个评价标准？

【设计意图】能够进行数学抽象，达到新课标的水平一，即在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题.在上节课平均数的几何意义的基础上，学生通过散点图对寻求回归直线的优劣展开思考，对于所有的点要突出“整体”二字，于是提出“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”这一评价标准，对比几何描述的直观性和代数表达的便捷性，揭示两者是同一标准下不同表述.

师生活动：通过面对样本数据，感受核心思想“利用样本估计总体”.通过作出散点图发现两个变量线性相关关系及回归直线.寻求的可能方案：(1)回归直线是过散点最多的直线；(2)回归直线是使上下点基本平均分布的直线；(3)回归直线是过两个端点的直线；(4)回归直线是经过样本中心的直线；(5)回归直线是各点与之距离最小的直线；(6)多画几条直线，取它们的斜率、截距的平均数作为回归直线的斜率.由此自然出现一个问题:各种处理方法是否合理?哪条“最合适”?类比平均数的几何意义，感受样本数据点与相应直线在整体上是最接近的，“接近”，数学上是如何量化的.于是引出了评价优劣的标准为“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”.由于具有几何直观性，学生易于接受此标准，达成“几何”与“代数”的转化.（三）循序渐进，延伸拓展

问题2：你能用代数式刻画“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”吗?问题3：距离可以用别的形式代替吗？

问题4：作为判断优劣的标准，距离和偏差可以等价吗?

问题5：偏差有正有负，因此它们的和并不能反映“从总体上来看，各点与直线的偏差最小”，怎样解决这个问题呢?

【设计意图】能够在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，建立数学模型，进行数据分析.通过问题，引导学生进人深层次的思考，为下一步探究作好准备.经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，体会“最小二乘法”思想.

师生活动:利用几何画板介绍偏差处理法的优越性和等价性，达成“距离”与“偏差”的转化.假设样本数据为：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn).当自变量x取xi（i=1，2，……，n）时，

??bxi?a（i=1，2，……，n）可以得到y，它与实际收集到的yi之间的偏差是

?i?yi?(bxi?a)（i=1，2，……，n）?1)?(y1?y?2)??(yn?y?n)，yi?y，故偏差和为Q?(y1?y偏差有正有负，易抵消，所以学生生可能会存在如下回答:(1)每项加绝对值，这样全部变成

正数;(2)每项加平方.类比前面方差的学习，大家不难达成共识选（2），这样就形成二乘法思

2222想，即Q?(y1?bx1?a)?(y2?bx2?a)?(y3?bx3?a)?????(yn?bxn?a)

问题6：显然a，b是未知量，xi，yi是已知量，那么下面的表达式具有什么样的函数特征？【设计意图】不经历公式化简，无法真正理解最小二乘法思想.而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度.而由具体到抽象，由特殊到一般，是学生顺利完成认知过程的一般性原则.通过此问，让学生了解这个式子的结构，为后续学习打下基础.

师生活动:通过令式子等于Q观察其函数特征，可以发现其实是关于a，b的二元二次函数求最值的问题，即我们要求的是当a，b取什么值时，使Q取到最小值，即所有点到直线的整体距离最小.

上述这种通过求Q的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法.其中“二乘”指的是平方，最小即使得Q最小.在此基础上，给出使Q为最小值时的a，b的值的线性回归方程系数公式

nn?(xi?x)(yi?y)?xiyi?nxy，a?y?bx

i?1i?1b??nn222(x?x)x?nx?i?ii?1i?1对于公式的推导及证明，我们将在后面的学习中深入展开.

问题7：运用这个公式进行运算，你按怎样的顺序求解呢?

【设计意图】能够针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题，体现了数学的核心素养.但公式不要求推导（推导过程参见《选修2-3》第三章3.1节），又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识.通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解.

师生活动:这个公式不要求记忆，由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求a，b时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照的顺序来求，再代入公式.（四）实际应用，知识深化

问题1：观察公式，根据我们收集的数据，需要计算哪些新数据，才能求出线性回归方程系数?计算量大不大?我们用计算机代替，请大家自主进行操作

【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂.通过分解，加深对公式结构的理解.同时，通过数据处理的繁杂过程，体现计算器处理的优越性.师生活动:师生共同得出n,x,y,?xy,?xiii?1i?1nn2i这五个新数据.学生自主完成计算机操作(操作

流程拷贝在学生电脑上)，最后教师进行操作示范，点评，师生共同完成.

问题2：利用计算机，请同学们独立完成电脑上的例题（即课本上91页例题）.

师生活动:教师巡视，适时指导辅助，最后操作演示，并对估计的结果的随机性作出说明.（五）归纳总结，内化知识

数形结合、类比思想收集数据判断相关关系线性相关系数公式回归直线及方程预测散点图最小二乘法

【设计意图】思维导图式的对课堂知识和思想的两层总结、提炼师生活动:师生共同小结（六）作业布置，创新应用

我国是一个人口大国，由于二胎政策的放开，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关.上网收集我国近15年人口数量，并利用统计知识对收集到的数据进行分析，并预测2020年我国人口数.

【设计意图】学习材料的选择是学生自身的身高和体重的数据，渗透了数学源于生活，材料的选择更能引起学生兴趣，而作业的背景材料选择结合国策，促进知识的保持与迁移，同时也是对立德树人的体现

（七）板书设计

文章来源：http://m.jab88.com/j/38478.html

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