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导数的运算

作为杰出的教学工作者,能够保证教课的顺利开展,作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助教师提高自己的教学质量。关于好的教案要怎么样去写呢?下面是由小编为大家整理的“导数的运算”,希望对您的工作和生活有所帮助。

§1.2导数的运算
§1.2.1常见函数的导数
目的要求:(1)了解求函数的导数的流程图,会求函数的导函数
(2)掌握基本初等函数的运算法则
教学内容
一.回顾函数在某点处的导数、导函数
思考:求函数导函数的流程图

新授;求下列函数的导数

思考:你能根据上述(2)~(5)发现什么结论?
几个常用函数的导数:
基本初等函数的导数:
(7)为常数)(8)且
(7)且(8)
(9)(10)(11)
例1.若直线为函数图像的切线,求及切点坐标。
例2.直线能作为下列函数图像的切线吗?若能,求出切点坐标;若不能,简述理由
(1)(2)

小结:(1)求函数导数的方法
(2)掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式
作业:
(1)在曲线上一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为。

(2)当常数为何值时,直线才能与函数相切?并求出切点

§1.2.2函数的和、差、积、商的导数
目的要求:了解导数的四则运算法则,能利用导数的四则运算法则求函数的导数
重点难点:四则运算法则应用
教学内容:
一.填写下列函数的导数:
(1)(2)
(3)(为常数)(4)(且)
(5)(且)(6)
(7)(8)(9)(=
二.新授:
例1.求的导数

思考:(1)已知,怎样求呢?
(2)若,则M.jab88.COm

导数的四则运算法则:
(1)(2)
(3)(4)
(5)
特别,当(为常数)时,有.
例2.求下列函数的导数
(1)(2)

例3.求下列函数的导数:
(1)(2)
板演:
1.用两种方法求函数的导数

2.求下列函数的导数
(1)(2)

2.已知函数的导数是,求函数的导数。

小结:函数的四则运算法则
作业:
1.求下列函数的导数:

2.求曲线在处的切线方程。

3.已知点,点是曲线上的两点,求与直线平行的曲线的切线方程。

§1.2.3简单复合函数的导数
目的要求:(1)掌握求复合函数的导数的法则
(2)熟练求简单复合函数的导数。
重点难点:复合函数的求导法则是本节课的重点与难点
教学内容:
一.回顾导数的四则运算法则
二.新授:
例1.求下列两个函数的导数:
(1)已知(2)

思考:如何求函数的导数?
例2.求下列函数的导数:
(1)(2)
例3.求下列函数的导数:
(1)(2)
例4.求下列函数的导数:

小结:本节课主要介绍了简单复合函数的求导方法,正确理解
§1.2导数的运算
习题课
目的要求:(1)回顾常见函数的导数、简单初等函数的导数,导函数的四则运算,简单复合函数的导函数
(2)函数导数几何意义的应用。已知点(在曲线上和曲线外)求切线、倾斜角;已知切线求切点。
教学内容:(回顾)
例1.求下列函数的导数:

例2.已知函数,求

例3.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,–1)处与直线y=x–3相切,求实数a、b、c的值。
例4.求与曲线在的切线平行,并且在轴上的截距为3的直线方程
例5.(1)已知曲线上一点P(2,)求(1)过P点的切线的斜率(2)过P点的切线(2)方程过点(-1,-52)的直线是曲线的一条切线,求直线的方程

例6.已知曲线,过点Q(0,1)作C的切线,切点为P,(1)求证:不论a怎样变化,点P总在一条定直线上;(2)若a0,过点P且与l垂直的直线与x轴交与点T,求|OT|的最小值(O为坐标原点)
小结:
1.常见函数的导数
2.函数的和,差,积,商的导数
3.简单复合函数的函数
作业:

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导数的四则运算法则


2.4导数的四则运算法则
教学过程:
一.创设情景
函数导数

四种常见函数、、、的导数公式及应用

二.新课讲授
(一)基本初等函数的导数公式表

函数导数

(二)导数的运算法则
导数运算法则
1.
2.
3.

(2)推论:
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)

三.典例分析
例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有
所以(元/年)
因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.
例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.
(1)
(2)y=;
(3)y=xsinxlnx;
(4)y=;
(5)y=.
(6)y=(2x2-5x+1)ex
(7)y=
【点评】
①求导数是在定义域内实行的.②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)(2)
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
(1)因为,所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
(2)因为,所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,.它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
四.课堂练习
1.课本练习
2.已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;
(y=-12x+8)

五.回顾总结
(1)基本初等函数的导数公式表
(2)导数的运算法则

六.布置作业

高三数学导数的概念与运算教案17


11.3导数概念与运算
一、明确复习目标
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式;
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.
二.建构知识网络
1.导数的概念:设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义,如果Δx→0时,Δy与Δx的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数,记作

2.导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率,即斜率为f′(x0).
过点P的切线方程为:y-y0=f′(x0)(x-x0).
3.导函数、可导:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数,即对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f′(x0),从而构成了一个新的函数f′(x0),称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数,简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.
4.可导与连续的关系:如果函数y=f(x)在点x0处可导函数y=f(x)在点x0处连续.
5.依定义求导数的方法:
(1)求函数的改变量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数=
6.几种常见函数的导数:
(C为常数);();;;;;;。
7.导数的四则运算法则:
;;

8.复合函数的导数:设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f((x))在点x处也有导数,且或=f′(u)′(x).
9.求导数的方法:
(1)求导公式;(2)导数的四则运算法则;
(3)复合函数的求导公式;(4)导数定义.

三、双基题目练练手
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为()
A.Δx++2B.Δx--2C.Δx+2D.2+Δx-
2.设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于()
A.B.C.D.
3.(2005湖南)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2005(x)=()
A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx
4.(2006湖南)设函数,集合,若,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
5.(2006全国Ⅰ)设函数若是奇函数,则__________
6.设函数若该函数在实数集R上可导,则该函数的最小值是____.

7.(2005北京)过原点作曲线的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.
8.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是

简答:1-4.CDCC;5.π6;
6.答案:-14.依题意
作图易得函数的最小值是f(12)=-14

7.(1,e)e;8.2n+1-2.
四、经典例题做一做
【例1】求下列函数的导数:
(1)y=(2)y=ln(x+);
(3)y=;
解:(1)y′=
=
=
(2)y′=(x+)′
=(1+)=
(3)y′==
◆提炼方法:题(1)是导数的四则运算法则;題(2)(3)是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.
【例2】(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度
分析:根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
解:(1),
,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0
因此曲线在(1,1)处的切线方程为y=1
(2)
解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.
【例3】若f(x)在R上可导,(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;(2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数.
分析:(1)需求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数;(2)求f′(x),然后判断其奇偶性.
(1)解:设f(-x)=g(x),则
g′(a)=
=
=-=-f′(-a)
∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.
(2)证明:f′(-x)=
=
=-=-f′(x)
∴f′(x)为奇函数.
解题点注:用导数的定义求导数时,要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.
【例4】(2006浙江)已知函数=x3+x2,数列{xn}(xn0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:曲线y=在处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线平行(如图)。求证:当n时:
(I);(II)

证明:(I)∵
∴曲线在处的切线斜率
∵过和两点的直线斜率是
∴.
(II)∵函数当时单调递增,


∴,即
因此
又∵
令则
∵∴
因此故
考查知识:函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。
五.提炼总结以为师
1.了解导数的概念,初步会用定义式解决一些问题;
2.会用定义式求导数;
3.了解导数的几何意义;会求切线方程;
4.掌握常见函数的导数公式,并会正确运用;
5.掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。

同步练习11.3导数概念与运算
【选择题】
1.设函数f(x)在x=x0处可导,则()
A与x0,h都有关B仅与x0有关而与h无关
C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关
2.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()
Af(x)=(x-1)2+3(x-1)Bf(x)=2(x-1)
Cf(x)=2(x-1)2Df(x)=x-1
3.(2005湖北)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是()
A.3B.2C.1D.0

4.(2006安徽)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.C.D.
【填空题】
5.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为,那么速度为零的时刻是________

6.过点(0,-4)与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是.
7.设f(x)在x=1处连续,且f(1)=0,=2,则f′(1)=_______
8.曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是__________(以弧度数作答)

简答.提示:1-4.BADA;5.1,2,4秒末;
6.y=4x-4;7.∵f(1)=0,=2,
∴f′(1)====2

8.由消y得:(x-2)(x2+4x+8)=0,∴x=2
∵y′=(2-x2)′=-x,∴y′|x=2=-2
又y′=(-2)′=x2,∴当x=2时,y′=3
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3,
||=1∴夹角为
【解答题】
9.下列函数的导数


③f(x)=e-x(cosx+sinx)
分析:利用导数的四则运算求导数
①法一:

法二:
=+


③f/(x)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)
=-2e-xsinx,
10.如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程.
解:切线与直线平行,斜率为4
又切线在点的斜率为
∵∴

∴切点为(1,-8)或(-1,-12)
切线方程为或
即或
11.(2005福建)已知函数
的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.
解:(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是,知
故所求的解析式是
(Ⅱ)
解得


故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.
考查知识:函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

12.证明:过抛物线y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1x2)上两点A(x1,0)、B(x2,0)的切线,与x轴所成的锐角相等.
解:y′=2ax-a(x1+x2),
y′|=a(x1-x2),即kA=a(x1-x2),y′|=a(x2-x1),即kB=a(x2-x1).
设两条切线与x轴所成的锐角为、β,则tan=|kA|=|a(x1-x2)|,
tanβ=|kB|=|a(x2-x1)|,故tan=tanβ.
又、β是锐角,则=β.

导数的四则运算法则(1)导学案


三大段一中心五环节高效课堂—导学案

制作人:张平安修改人:审核人:
班级:姓名:组名:
课题第十一课时导数的乘法与除法法则
学习

目标1、了解两个函数的积、商的求导公式;2、会运用上述公式,求含有积、商综合运算的函数的导数;3、能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。
学习
重点函数积、商导数公式的应用
学习
难点函数积、商导数公式
学法
指导探析归纳,讲练结合
学习过程
一自主学习
复习:两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义:设函数在处附近有定义,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即
2.导数的几何意义:是曲线上点()处的切线的斜率因此,如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,
4.求函数的导数的一般方法:
(1)求函数的改变量(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数=
5.常见函数的导数公式:;
6.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即
探究新课
设函数在处的导数为,。我们来求在处的导数。
令,由于
知在处的导数值为。
因此的导数为。
一般地,若两个函数和的导数分别是和,我们有
特别地,当时,有
二师生互动
例1:求下列函数的导数:
(1);(2);(3)。

例2:求下列函数的导数:
(1);(2)。

三、自我检测
课本练习1.
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识?学到什么新的方法?
2、你觉得哪些知识,哪些知识还需要课后继续加深理解?
五、拓展提高
课本习题2-4:A组4(1)、(2)、(3)、(5)、(6);5

导数的四则运算法则高效课堂导学案


三大段一中心五环节高效课堂—导学案

制作人:张平安修改人:审核人:
班级:姓名:组名:
课题第十课时导数的加法与减法法则
学习

目标1、了解两个函数的和、差的求导公式;2、会运用上述公式,求含有和、差综合运算的函数的导数;3、能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线
学习
重点函数和、差导数公式的应用
学习
难点函数和、差导数公式的应用
学法
指导探析归纳,讲练结合
学习过程
一自主学习
复习:导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义:设函数在处附近有定义,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即
2.导数的几何意义:是曲线上点()处的切线的斜率因此,如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,
4.求函数的导数的一般方法:
(1)求函数的改变量(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数=
5.常见函数的导数公式:;
探析新课
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即
证明:令,

∴,
即.

二师生互动
例1:求下列函数的导数:
(1);(2);(3);(4)。

例2:求曲线上点(1,0)处的切线方程。
三、自我检测
课本练习:1、2.
补充题:1、求y=x3+sinx的导数.
2、求y=x4-x2-x+3的导数.

四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识?学到什么新的方法?
2、你觉得哪些知识,哪些知识还需要课后继续加深理解?
五、拓展提高课本习题2-4:A组2、3B组2

文章来源:http://m.jab88.com/j/38416.html

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