导数的运算

2020-10-31 高中导数教案小学健康的教案

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师提高自己的教学质量。关于好的教案要怎么样去写呢？下面是由小编为大家整理的“导数的运算”，希望对您的工作和生活有所帮助。

§1.2导数的运算
§1.2.1常见函数的导数
目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数
（2）掌握基本初等函数的运算法则
教学内容
一．回顾函数在某点处的导数、导函数
思考：求函数导函数的流程图

新授；求下列函数的导数

思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？
几个常用函数的导数：
基本初等函数的导数：
（7）为常数）（8）且
（7）且（8）
（9）（10）（11）
例1．若直线为函数图像的切线，求及切点坐标。
例2．直线能作为下列函数图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由
（1）（2）

小结：（1）求函数导数的方法
（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式
作业：
（1）在曲线上一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为。

（2）当常数为何值时，直线才能与函数相切？并求出切点

§1.2.2函数的和、差、积、商的导数
目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数
重点难点：四则运算法则应用
教学内容：
一．填写下列函数的导数：
（1）（2）
（3）（为常数）（4）（且）
（5）（且）（6）
（7）（8）（9）（=
二．新授：
例1．求的导数

思考：（1）已知，怎样求呢？
（2）若，则M.jab88.COm

导数的四则运算法则：
（1）（2）
（3）（4）
（5）
特别，当(为常数)时，有．
例2．求下列函数的导数
（1）（2）

例3．求下列函数的导数：
（1）（2）
板演：
1．用两种方法求函数的导数

2．求下列函数的导数
（1）（2）

2．已知函数的导数是，求函数的导数。

小结：函数的四则运算法则
作业：
1．求下列函数的导数：

2．求曲线在处的切线方程。

3．已知点，点是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程。

§1.2.3简单复合函数的导数
目的要求：（1）掌握求复合函数的导数的法则
（2）熟练求简单复合函数的导数。
重点难点：复合函数的求导法则是本节课的重点与难点
教学内容：
一．回顾导数的四则运算法则
二．新授：
例1．求下列两个函数的导数：
（1）已知（2）

思考：如何求函数的导数？
例2．求下列函数的导数：
（1）（2）
例3．求下列函数的导数：
（1）（2）
例4．求下列函数的导数：

小结：本节课主要介绍了简单复合函数的求导方法，正确理解
§1.2导数的运算
习题课
目的要求：（1）回顾常见函数的导数、简单初等函数的导数，导函数的四则运算，简单复合函数的导函数
（2）函数导数几何意义的应用。已知点（在曲线上和曲线外）求切线、倾斜角；已知切线求切点。
教学内容：（回顾）
例1．求下列函数的导数：

例2．已知函数，求

例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2,–1)处与直线y=x–3相切，求实数a、b、c的值。
例4．求与曲线在的切线平行，并且在轴上的截距为3的直线方程
例5．（1）已知曲线上一点P(2,)求（1）过P点的切线的斜率（2）过P点的切线（2）方程过点（－1，－52）的直线是曲线的一条切线，求直线的方程

例6．已知曲线，过点Q(0,1)作C的切线，切点为P，（1）求证：不论a怎样变化，点P总在一条定直线上；（2）若a0，过点P且与l垂直的直线与x轴交与点T，求|OT|的最小值（O为坐标原点）
小结：
1．常见函数的导数
2.函数的和，差，积，商的导数
3.简单复合函数的函数
作业：

相关推荐

导数的四则运算法则

2.4导数的四则运算法则
教学过程：
一．创设情景
函数导数

四种常见函数、、、的导数公式及应用

二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表

函数导数

（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．

（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）y＝；
（3）y＝xsinxlnx；
（4）y＝；
（5）y＝．
（6）y＝（2x2－5x＋1）ex
（7）y＝
【点评】
①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）（2）
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
（1）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本练习
2．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y＝－12x＋8）

五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则

六．布置作业

高三数学导数的概念与运算教案17

11.3导数概念与运算
一、明确复习目标
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式；
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.
二．建构知识网络
1．导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作
；
2．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f′(x0).
过点P的切线方程为：y-y0=f′(x0)(x-x0).
3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f′(x0)，从而构成了一个新的函数f′(x0),称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.
4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导函数y=f(x)在点x0处连续.
5.依定义求导数的方法：
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
6．几种常见函数的导数：
(C为常数)；()；；；；；；。
7．导数的四则运算法则：
；；
；
8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或=f′(u)′(x).
9.求导数的方法:
(1)求导公式;(2)导数的四则运算法则;
(3)复合函数的求导公式;(4)导数定义.

三、双基题目练练手
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（）
A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－
2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于（）
A.B.C.D.
3．(2005湖南)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（）
A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx
4.(2006湖南)设函数,集合,若,则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
5.(2006全国Ⅰ)设函数若是奇函数，则__________
6．设函数若该函数在实数集R上可导，则该函数的最小值是____．

7.(2005北京)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.
8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是

简答:1－4.CDCC；5.π6；
6.答案:－14.依题意
作图易得函数的最小值是f(12)＝－14

7.（1，e）e；8.2n+1-2.
四、经典例题做一做
【例1】求下列函数的导数：
（1）y=（2）y=ln（x＋）;
（３）y=;
解:（1）y′=
=
=
（2）y′=（x＋）′
=（1＋）=
（３）y′==
◆提炼方法：题（1）是导数的四则运算法则；題（2）（3）是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.
【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
解：（1），
，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
（2）
解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.
【例3】若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数.
分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性.
（1）解:设f（－x）=g（x）,则
g′（a）=
=
=－=－f′（－a）
∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.
（2）证明:f′（－x）=
=
=－=－f′（x）
∴f′（x）为奇函数.
解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.
【例4】（2006浙江）已知函数＝x3+x2，数列{xn}（xn0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n时：
（I）；（II）

证明：（I）∵
∴曲线在处的切线斜率
∵过和两点的直线斜率是
∴.
（II）∵函数当时单调递增，
而
，
∴，即
因此
又∵
令则
∵∴
因此故
考查知识：函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
五．提炼总结以为师
1．了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；
2．会用定义式求导数；
3．了解导数的几何意义；会求切线方程；
4．掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；
5．掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。

同步练习11.3导数概念与运算
【选择题】
1.设函数f（x）在x=x0处可导,则（）
A与x0,h都有关B仅与x0有关而与h无关
C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关
2.已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为（）
Af（x）=（x－1）2+3（x－1）Bf（x）=2（x－1）
Cf（x）=2（x－1）2Df（x）=x－1
3．(2005湖北)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）
A．3B．2C．1D．0

4.(2006安徽)若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A．B．C．D．
【填空题】
5.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是________

6．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是．
7.设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,则f′（1）=_______
8.曲线y=2－x2与y=x3－2在交点处的切线夹角是__________（以弧度数作答）

简答.提示：1－4.BADA；5.1，2，4秒末；
6．y＝4x－4；7.∵f（1）=0,=2,
∴f′（1）====2

8.由消y得：（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2
∵y′=（2－x2）′=－x,∴y′|x=2=－2
又y′=（－2）′=x2,∴当x=2时,y′=3
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3,
||=1∴夹角为
【解答题】
9．下列函数的导数
①
②
③f（x）=e－x（cosx+sinx）
分析：利用导数的四则运算求导数
①法一：
∴
法二：
=+
②
∴
③f/(x)=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）
=－2e－xsinx,
10．如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．
解：切线与直线平行，斜率为4
又切线在点的斜率为
∵∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或
即或
11．(2005福建)已知函数
的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．
解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当
故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．
考查知识：函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

12.证明：过抛物线y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.
解：y′=2ax－a（x1+x2），
y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.
设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则tan=|kA|=|a（x1－x2）|，
tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.
又、β是锐角，则=β.

导数的四则运算法则(1)导学案

三大段一中心五环节高效课堂—导学案

制作人：张平安修改人：审核人：
班级：姓名：组名：
课题第十一课时导数的乘法与除法法则
学习

目标1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
学习
重点函数积、商导数公式的应用
学习
难点函数积、商导数公式
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
复习：两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.常见函数的导数公式：；
6.两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
探究新课
设函数在处的导数为，。我们来求在处的导数。
令，由于
知在处的导数值为。
因此的导数为。
一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
二师生互动
例1：求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）。

例2：求下列函数的导数：
（1）；（2）。

三、自我检测
课本练习1.
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
课本习题2-4：A组4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5

导数的四则运算法则高效课堂导学案

三大段一中心五环节高效课堂—导学案

制作人：张平安修改人：审核人：
班级：姓名：组名：
课题第十课时导数的加法与减法法则
学习

目标1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线
学习
重点函数和、差导数公式的应用
学习
难点函数和、差导数公式的应用
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.常见函数的导数公式：；
探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
证明：令，
，
∴，
即．