一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？以下是小编为大家收集的“§3．1.1变化率问题”仅供参考，欢迎大家阅读。

§3．1.1变化率问题
§3．1.2导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
(1)引入变化率和瞬时速度1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
2.确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：
要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：
位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量)
为导数概念的引入做铺垫
平均速度
根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt.时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度
瞬时速度
所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度
(2)例题讲解例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2，其中位移单位m，时间单位s，g=9.8m/s2.求t=3这一时段的速度.
解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs=g(3+Δt)2－g32=(6+Δt)Δt，平均速度g(6+Δt)
瞬时速度为：
由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g3=3g=29.4m/s
例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(1)当t=2，Δt=0.01时，求.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.
让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.

分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出的越接近某时刻的速度.
解：∵=4t+2Δt
∴(1)当t=2，Δt=0.01时，=4×2+2×0.01=8.02cm/s
(2)当t=2，Δt=0.001时，=4×2+2×0.001=8.002cm/s
(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=8cm/s
(3)导数的概念
设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率.
要让学生理解导数概念
例3、求y=x2在点x=1处的导数.
分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求.
解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx
∴=(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2.
注意：(Δx)2括号别忘了写.
学生自学教材P75例1
(4)课堂小结(1)理解函数的概念。
（2）求函数的导数的一般方法：
①求函数的改变量.
②求平均变化率.
③取极限，得导数＝.

补充题目：1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度
2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度
解：瞬时速度v=
(10+Δt)=10m/s.
∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.
3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.
解：瞬时速度v=
=(8+2Δt)=8cm/s.

相关推荐

平均变化率

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“平均变化率”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

课题：平均变化率
教学目标：
1.通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地导数的几何意义。
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。
教学重难点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义
教学过程：
一、问题情境
1、情境：
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”

时间4月18日4月19日4月20日
日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃

该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:
问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？
问题2：分别计算AB、BC段温差
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度
问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？
曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=

二、建构数学
一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：

说明：
(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？

(1)1kg/月
(2)0.4kg/月
结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。
变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：
（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？
（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？
图1图2

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：）计算第一个10s内V的平均变化率。

解:在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为

注：负号表示容器甲中水在减少

变式1：
一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水前ts容器里水的体积的平均变化率.
解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3
由题意知V=nt，在[0,t]内容器里水的体积的平均变化率为:

由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的平均变化率保持不变。

例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；（3）[1，1.1]；
（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001

例3引申：已知函数
问题(1)求函数在[1,a](a1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a](a1)上的平均变化率为a+1

问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率有何趋势？
(2)当a趋近于1时，函数在[1,a]上的平均变化率趋近于2

求函数y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：

小结：
问题1：本节课你学到了什么？
①函数的平均变化率的概念；
②利用平均变化率来分析解决实际问题
问题2、解决平均变化率问题需要注意什么？
①分清所求平均变化率类型
(即什么对象的平均变化率)
②两种处理手段：
(1)看图(2)计算
问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？
①数形结合的思想方法
②从特殊到一般、从具体到抽象的推理
方法

变化的快慢与变化率

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《变化的快慢与变化率》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

2.1变化的快慢与变化率
教学过程：
一、引入：
1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片
2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的
陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？
3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。
二、例举分析：
（一）登山问题
例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示

问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？
分析：1、选取平直山路AB放大研究
若
自变量x的改变量：
函数值y的改变量：
直线AB的斜率：
说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（为定值）时，垂直距离变化量（）越大，则这段山路越陡峭；
2、选取弯曲山路CD放大研究
方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD1的陡峭程度可用直线CD1的斜率表示。（图略）
结论：函数值变化量（）与自变量变化量的比值反映了山坡的陡峭程度。各段的不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。当越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。
所以，——高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率。
三、函数的平均变化率与应用。
（一）定义：已知函数在点及其附近有定义，
令；
。
则当时，比值
叫做函数在到之间的平均变化率。
（二）函数平均变化率的应用
例2.某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”。

问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？
分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，，由此可知；
2、选择该市2004年4月18日最高气温18.60C与4月20日33.40C进行比较，
，由此可知
结论：函数值的平均变化率反映了温度变化的剧烈程度。
各段的不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同。当越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓。
（三）课堂练习：
甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图
（1）（2）所示，试问：（1）甲乙二人哪一个跑得快？
（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快

四、瞬时变化率以及应用:
例3：已知函数，分别计算函数在下列区间上的平均变化率。
解：函数的平均变化率计算公式为：
变化区间自变量改变量
平均变化率

（1，1.1）0.12.1
（1，1.01）0.012.01
(1,1.001)0.0012.001
(1,1.0001)0.00012.0001
………
结论：当时间间隔越来越小（趋于０）时，平均变化率趋于常数２

例4：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
解：自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.
当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.
因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：
从而，.
结论：越小，越接近29.4米/秒
当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.
（一）定义：
设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，
函数值相应地改变
如果当时，平均变化率趋近于一个常数，
则数称为函数在点处的瞬时变化率。
（二）函数瞬时变化率的应用：
例：设一个物体的运动方程是：，其中是初速度，时间单位为ｓ，求：ｔ＝２ｓ时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）。
五、课堂小结：

六、布置作业：课本：预习：

1.12瞬时变化率—导数

古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。教案的内容要写些什么更好呢？下面的内容是小编为大家整理的1.12瞬时变化率—导数，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

1.12瞬时变化率—导数

教学目标：

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处

的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

一、复习引入

1、什么叫做平均变化率；

2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率

3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为，设x1－x0=△x，则x1=△x＋x0，∴当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线斜率。2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：

，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：(3)瞬时速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量和位置改变量2.再求平均速度3.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v为瞬时速度(4)速度的平均变化率：(5)瞬时加速度：当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用

例1、已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。变式:1.求过点(1,1)的切线方程2.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________3.已知曲线上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?例2.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）

Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；

Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度

例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=(1)求t=t0s时的瞬时速度(2)求t=3s时的瞬时速度(3)求t=3s时的瞬时加速度点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景

变化的快慢与变化率(1)导学案

三大段一中心五环节高效课堂—导学案

制作人：张平安修改人：审核人：
班级：姓名：组名：
课题第二课时变化的快慢与变化率——瞬时变化率
学习

目标1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
学习
重点知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢
学习
难点对于平均速度与瞬时速度的关系的理解
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
复习：函数平均变化率的概念
1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
二师生互动
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。

例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
。
估计该合金棒在x=2m处的线密度。

三、自我检测
课本练习2：1、2.
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
课本习题2-1：A3、4、5

文章来源：http://m.jab88.com/j/37873.html

更多