2.1平面向量的实际背景及基本概念
编审:周彦魏国庆
【学习目标】
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的概念,掌握向量的几何表示,学会用字母表示向量;
2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.
【新知自学】
新知梳理
1.向量的概念:我们把既有又有的量叫向量.
2、叫做有向线段.以A为起点,B为终点的有向线段记作.有向线段包括三个要素:、、.
3、向量的表示方法有两种,即或
4、向量的大小,也就是向量的(或模),记作.长度为0的向量叫做;长度为1的向量叫做.
5、的向量叫做平行向量.向量与向量平行,通常记作.规定零向量与向量平行.
6、的向量叫做相等向量,若向量与向量相等,记作
7、共线向量与相等向量的关系是
思考感悟
1、数量与向量有何区别?
2、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
3、共线向量用有向线段表示时必须在同一直线上吗?
对点练习:
1.判断正误:
(1)不相等的向量一定不平行.
(2)平行向量一定方向相同.
(3)共线向量一定在同一直线上.
2.填空:
(1)与零向量相等的向量必定是________向量
(2)与任意向量都平行的向量是_________向量
(3)两个非零向量相等,当且仅当__________
(4)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是_______向量
3.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.正确的是()
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
4.下列说法错误的是()
A.向量与的长度相同
B.单位向量的长度都相等
C.向量的模是一个非负实数
D.非零向量与是平行向量,则直线与直线平行
【合作探究】
典例精析:
例1.如图,设是正六边形的中心,
分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式练习1:例1中,与向量长度相等的向量有多少个?
变式练习2:例1中,是否存在与向量、、长度相等、方向相反的向量?
例2..如图,D、E、F分别是ΔABC的边AB、BC、CA的中点,写出以A、B、C、D、E、F这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中,与平行的所有向量.
变式练习3:例2中,与向量共线的向量有哪些?
【课堂小结】
【当堂达标】
1.关于零向量,下列说法中错误的是()
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度是0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
2.若向量与任意向量都平行,则=___;若||=1,则向量是.
3.把平面上一切单位向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是.
4.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是_______.
5.如图,ABCD的对角线交于点O,则在以A、B、C、D、O这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中,与和都不平行的向量有哪些?
【课时作业】
1.给出下列命题:
①向量的大小是实数②平行向量的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④单位向量都相等正确的有.
2.给出下列命题:①若||=0,则=0;②若是单位向量,则||=1;③与不平行,则与都是非零向量.④如果//,//,那么//其中真命题是
(填序号)
3.下列各组中的两个量是不是向量?如果是向量,说明它们是不是平行向量.
(1)两个平面图形各自的面积.
(2)停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力.
(3)小船驶向河对岸的速度与水流速度.
(4)浮在水面的物体受到的重力与与浮力.
4.如图所示,已知矩形,对角线上向量与的关系是
5.如图所示,四边形ABCD和BCED都是平行四边形,
(1)写出与BC→相等的向量:_______.
(2)写出与BC→共线的向量:_______.
*(3)写出与的模相等的向量:
*6.如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点,写出与向量的模相等的所有向量.
*7.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向,向西偏北的方向走450m到达C点,最后又改变方向,向东走200m到达D点.
(1)做出向量(1cm表示200米);
(2)求的模.
【延伸探究】
在矩形ABCD中,AB=2BC=2,M、N分别是AB和CD的中点,在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中,回答下列问题:
(1)与向量相等的向量有哪些?向量的相反向量有哪些?
(2)与向量相等的向量有哪些?向量的相反向量有哪些?
(3)在模为的向量中,相等的向量有几对?
(4)在模为1的向量中,相等的向量有几对?
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平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1平面向量基本定理
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型:新授课
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ|=|λ|||;(2)λ0时λ与方向相同;λ0时λ与方向相反;λ=0时λ=
2.运算定律
结合律:λ(μ)=(λμ);分配律:(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ
3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ.
二、讲解新课:
平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2.
探究:
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的数量
三、讲解范例:
例1已知向量,求作向量2.5+3.
例2如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,,和
例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+++=4
例4(1)如图,,不共线,=t(tR)用,表示.
(2)设不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且.求证:A、B、P三点共线.
例5已知a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习:
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系
A.不共线B.共线C.相等D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=.
5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结(略)
六、课后作业(略):
七、板书设计(略)
八、课后记:
一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,教师要准备好教案,这是教师的任务之一。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道怎么写具体的教案内容吗?经过搜索和整理,小编为大家呈现“平面向量的基本定理”,仅供参考,欢迎大家阅读。
2.3.1平面向量基本定理
一、课题:平面向量基本定理
二、教学目标:1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系;
2.正确地用坐标表示向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示;
3.掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
三、教学重、难点:1.平面向量的坐标运算;
2.对平面向量的坐标表示的理解。
四、教学过程:
(一)复习:
1.平面向量的基本定理:;
2.在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对实数表示,那么,每一个向量可否也用
一对实数来表示?
(二)新课讲解:
1.向量的坐标表示的定义:
分别选取与轴、轴方向相同的单位向量,作为基底,对于任一向量,,(),实数对叫向量的坐标,记作.
其中叫向量在轴上的坐标,叫向量在轴上的坐标。
说明:(1)对于,有且仅有一对实数与之对应;
(2)相等的向量的坐标也相同;
(3),,;
(4)从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
例1如图,用基底,分别表示向量、、、,并求出它们的坐标。
解:由图知:;
;
;
2.平面向量的坐标运算:
问题:已知,,求,.
解:
即.
同理:.
结论:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3.向量的坐标计算公式:
已知向量,且点,,求的坐标.
.
归纳:(1)一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标;
(2)两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4.实数与向量的积的坐标:
已知和实数,求
结论:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
例2已知,,求,,的坐标.
解:=;;
.
例3已知ABCD的三个顶点的坐标分别为、、,求顶点的坐标。
解:设顶点的坐标为.
∵,,
由,得.
∴∴∴顶点的坐标为.
例4(1)已知的方向与轴的正向所成的角为,且,则的坐标为,
.
(2)已知,,,且,求,.
解:(2)由题意,,
∴∴.
五、课堂小结:1.正确理解平面向量的坐标意义;
2.掌握平面向量的坐标运算;
3.能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。
六、作业:
补充:1.已知向量与相等,其中,,求;
2.已知向量,,,,且,求.
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课时5平面向量基本定理
【学习目标】
1.掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。
2.能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。
【知识梳理】
若,是不共线向量,是平面内任一向量
在平面内取一点O,作=,=,=,使=λ1=λ2
==+=λ1+λ2
得平面向量基本定理:
注意:1、必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底
2这个定理也叫共面向量定理
3λ1,λ2是被,,唯一确定的实数。
【例题选讲】
1.如图,ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于M,,,试用基底、表示。
2.设、是平面内一组基底,如果=3-2,=4+,=8-9,求证:A,B,D三点共线。
3.设、是平面内一组基底,如果=2+k,=--3,=2-,若A,B,D三点共线,求实数k的值。
4.中,,DE//BC,与边AC相交于点E,中线AM与DE交于点N,如图,,,试用、表示。
【归纳反思】
1.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础,它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
2.在解具体问题时适当地选取基底,使其它向量能够用基底来表示,选择了两个不共线地向量,平面内的任何一个向量都可以用唯一表示,这样几何问题就可以转化为代数问题,转化为只含的代数运算。
【课内练习】
1.下面三种说法,正确的是
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底;
(2)一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底;
(3)零向量不可为基底中的向量;
2.如果、是平面内一组基底,,那么下列命题中正确的是
(1)若实数m,n,使m+n=,则m=n=0;
(2)空间任一向量可以表示为=m+n,这里m,n是实数;
(3)对实数m,n,向量m+n不一定在平面;
(4)对平面内的任一向量,使=m+n的实数m,n有无数组。
3.若G是的重心,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则=
4.如图,在中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,BN与CM交于点P,设,试用,表示。
5.设,,,求证:A、B、D三点共线。
【巩固提高】
1.设是平面内所有向量的一组基底,则下面四组中不能作为基底的是
A+和-B3-2和-6+4
C+2和+2D和+
2.若,,,则=
A+B+C+D+
3.平面直角坐标系中,O为原点,A(3,1),B(-1,3),点C满足,其中,且=1,则点C的轨迹方程为
4.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,则P的轨迹一定通过的心
5.若点D在的边BC上,且=,则3m+n的值为
6.设=+5,=-2+8,=3(-),求证:A、B、D三点共线。
7.在图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD,求证:M,N,C三点共线。
8.已知=5+2,=6+y,,,是一组基底,求y的值。
9.如图,在中,D、E分别是线段AC的两个四等份点,点F是线段BC的中点,设,,试用,为基底表示向量。
问题统计与分析
文章来源:http://m.jab88.com/j/37768.html
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