古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？为此，小编从网络上为大家精心整理了《高中数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

2.1平面向量的实际背景及基本概念
编审：周彦魏国庆

【学习目标】
1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示，学会用字母表示向量；
2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.
【新知自学】
新知梳理
1.向量的概念：我们把既有又有的量叫向量.
2、叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作.有向线段包括三个要素:、、.
3、向量的表示方法有两种，即或
4、向量的大小，也就是向量的（或模），记作.长度为0的向量叫做；长度为1的向量叫做.
5、的向量叫做平行向量.向量与向量平行，通常记作.规定零向量与向量平行.
6、的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作
7、共线向量与相等向量的关系是
思考感悟
1、数量与向量有何区别？

2、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

3、共线向量用有向线段表示时必须在同一直线上吗？

对点练习：
1.判断正误：
（1）不相等的向量一定不平行.
（2）平行向量一定方向相同.
（3）共线向量一定在同一直线上.
2.填空：
（1）与零向量相等的向量必定是________向量
（2）与任意向量都平行的向量是_________向量
（3）两个非零向量相等，当且仅当__________
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是_______向量

3．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是()
A.①②③是数量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量，①③⑤是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

4.下列说法错误的是()
A.向量与的长度相同
B.单位向量的长度都相等
C.向量的模是一个非负实数
D.非零向量与是平行向量，则直线与直线平行

【合作探究】
典例精析：
例1．如图，设是正六边形的中心，
分别写出图中与向量、、相等的向量.

变式练习1：例1中，与向量长度相等的向量有多少个？

变式练习2：例1中，是否存在与向量、、长度相等、方向相反的向量？

例2..如图，D、E、F分别是ΔABC的边AB、BC、CA的中点，写出以A、B、C、D、E、F这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与平行的所有向量.

变式练习3：例2中，与向量共线的向量有哪些？

【课堂小结】

【当堂达标】
1.关于零向量，下列说法中错误的是()
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度是0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的

2.若向量与任意向量都平行，则=___；若||=1,则向量是.

3.把平面上一切单位向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是.

4.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_______.

5.如图，ABCD的对角线交于点O,则在以A、B、C、D、O这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与和都不平行的向量有哪些？

【课时作业】
1.给出下列命题：
①向量的大小是实数②平行向量的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④单位向量都相等正确的有.

2.给出下列命题：①若||=0,则=0；②若是单位向量，则||=1；③与不平行，则与都是非零向量.④如果//,//,那么//其中真命题是
(填序号)

3.下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量.
(1)两个平面图形各自的面积.

(2)停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力.

(3)小船驶向河对岸的速度与水流速度.

(4)浮在水面的物体受到的重力与与浮力.

4.如图所示，已知矩形，对角线上向量与的关系是

5.如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,
（1）写出与BC→相等的向量：_______.
（2）写出与BC→共线的向量：_______.
*（3）写出与的模相等的向量:

*6.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量的模相等的所有向量.
*7.某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向，向西偏北的方向走450m到达C点，最后又改变方向，向东走200m到达D点.
（1）做出向量(1cm表示200米)；
（2）求的模.

【延伸探究】
在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M、N分别是AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中，回答下列问题：
（1）与向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？
（2）与向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？
（3）在模为的向量中，相等的向量有几对？
（4）在模为1的向量中，相等的向量有几对？

延伸阅读

第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念讲义

平面向量的实际背景及基本概念

预习课本P74～76，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？

[新知初探]
1．向量的概念和表示方法
(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．
(2)向量的表示：
表示法
几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如，…

字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头
[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．
(2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作：||，|a|.
(3)特殊向量：
①长度为0的向量为零向量，记作0；
②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
3．向量间的关系
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.
(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．
[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．()
(2)向量的模是一个正实数．()
(3)单位向量的模都相等．()
(4)向量与向量是相等向量．()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
其中可以看成是向量的个数()
A．1B．2C．3D．4
答案：B
3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()
A．也可以用表示B．方向是由M指向N
C．始点是MD．终点是M
答案：D
4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有______．
答案：，
向量的有关概念
[典例]有下列说法：①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．
[解析]对于①，||＝||＝AB，故①正确；
对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；
对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；
对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．
[答案]①
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手
①是否有大小；②是否有方向．
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

[活学活用]
有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中正确说法的个数是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．
向量的表示

[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝42，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
[活学活用]
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
解：如图所示．
共线向量或相等向量

[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．
解：与向量相等的向量有，，.
2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

层级一学业水平达标
1．下列说法正确的是()
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2.如图，在圆O中，向量，，是()
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4.如图，在ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选C根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
5．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()
A．＝B．＝或＝－
C．＝1D．||＝||
解析：选D由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错．又与均为单位向量．∴||＝||，故C错D对．
6．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以||＝3.
答案：3
7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与向量相等的向量是.
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()
A．＝B．＝
C．＝D．＝
解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
2．下列说法正确的是()
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．终点相同的两个向量不共线
C．若a≠b，则a一定不与b共线
D．单位向量的长度为1
解析：选DA中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．
3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.
其中正确的是()
A．①④B．③
C．③④D．②③
解析：选Ba为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.
4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()

A．一组B．二组
C．三组D．四组
解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
5．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.
答案：，，，，，
7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量．
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量．
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，
，，，，，，.
(2)与相等的向量是，.
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A0，－22，B(x，y)是m上的点．求
(1)x，y为何值时，＝0；
(2)x，y为何值时，为单位向量．
解：(1)要使＝0，当且仅当点A与点B重合，于是x＝0，y＝－22.
(2)如图，要使得是单位向量，必须且只需||＝1.
由已知，l∥m且点A的坐标是0，－22，
所以B1点的坐标是22，0.在Rt△AOB1中，有
||2＝||2＋||2＝222＋222＝1，
即||＝1.
上式表示，向量是单位向量．
同理可得，当B2的坐标是－22，－2时，向量AB2―→也是单位向量．
综上有，当x＝22，y＝0或x＝－22，y＝－2时，向量是单位向量．

高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案

2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理

【学习目标】
1.了解平面向量基本定理；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

【新知自学】
知识回顾：
1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：
（1）|λ|=
（2）λ0时，λ与方向；
λ0时，λ与方向；
λ=0时，λ=
2．运算定律：
结合律：λ(μ)=；
分配律：(λ+μ)=，
λ(+)=

3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.

新知梳理：
1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，

2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使
不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：
(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；
(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.

3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。

当=，、同向；
当=，、反向；统称为向量平行，记作
如果=，与垂直，记作⊥。

对点练习：
1.设、是同一平面内的两个向量，则有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）
A.不共线B.共线
C.相等D.无法确定

3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，
与．(填共线或不共线).

【合作探究】
典例精析：
例1：已知向量，求作向量2.5+3

变式1：已知向量、(如图),求作向量：
（1）+2.?（2）-+3

例2:如图，，不共线，且
，用，来表示

变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.

【课堂小结】
知识、方法、思想

【当堂达标】
1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的则真命题的个数是()（）
A．1B．2C．3D

2.如图，正六边形ABCDEF中，=
A．B．C．D．

3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）

【课时作业】
1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）
A．=,=B．=0,=0
C．=0,=D．=,=0
2．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()
A．1B.12C.14D.18

3．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．

4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和

5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．

7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4

高中数学必修四2.3平面向量基本定理及坐标表示小结导学案

2.3平面向量基本定理及坐标表示小结
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.

【知识重温】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝__________.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴______的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得＝__________，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作__________，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，＝(x，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝__________________，

2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，则
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.

(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.

思考感悟
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。
平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2．向量坐标与点的坐标区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量＝＝(x，y)．

当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

对点练习：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，则12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)

2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋与4－2平行，则实数x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2

3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ为实数，(＋λ)∥，则λ＝()
A.14B.12
C．1D．2

4．下列各组向量中，能作为基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④

【自学探究】
考点一平面向量基本定理
例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝，＝，试用，表示，.

规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

变式1：如图，在△ABC中，＝13，P是BN上的一点，若＝m＋211，则实数m的值为__________．

考点二平面向量的坐标运算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求满足＝m＋n的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
变式2在ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)

考点三平面向量共线的坐标表示
例3、平面内给定三个向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列问题：
(1)若(＋k)∥(2－)，求实数k；
(2)设＝(x，y)满足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．
变式3、
(1)(2013陕西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，则实数m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__________．

【课堂小结】
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
4．要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。
【当堂达标】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，则2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)

2．(2014揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，则点B的坐标为()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)

3．(2015许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)

4.已知两点在直线AB上，求一点P是。

【课时作业】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4

2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）

3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,,则P点坐标为()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)

4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0

5、已知点A（－1，5），若向量与向量＝（2，3）同向，且＝3，则点B的坐标为_____________

6、平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_______________

7、已知点A（－1，2），B（2，8）及，，求点C、D和的坐标。

8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。
【延伸探究】
如图，中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。

高中数学必修四2.3.3平面向量的坐标运算导学案

2．3．3平面向量的坐标运算

【学习目标】
1.理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；
2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

【新知自学】
知识回顾：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=______________
(1)不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组；
(2)由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解；分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的实数对；
2.向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=，、同向，当=，
、反向，当=，与垂直，记作⊥。
3．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，取=(1,0)，=(0,1)作为一组基底,设=x+y，则向量的坐标就是点的坐标。
新知梳理：
1．平面向量的坐标运算
已知：=(),=()，我们考虑如何得出、、的坐标。
设基底为、，
则=
=
即=，
同理可得=
结论：(1)若=(),=()，
则，
即：两个向量和与差的坐标分别等于.
（2）若=(x,y)和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考感悟：
已知，，怎样来求的坐标？
若，，==
则=
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的

对点练习：
1.设向量，坐标分别是（-1，2），（3，-5）则+=__________，
-=________，3=_______，2+5=___________
2.如右图所示，平面向量的坐标是（）
A.B.
C.D.

3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2=.

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.

变式1：已知，求：
（1）
（2）
（3）

例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标。

*变式2：设，，,用表示

【课堂小结】

【当堂达标】
1、设则=___________
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，则=（）
A．（-8，1）B．
C．（-16,2）D．(8,-1)
3、若点A的坐标是，向量=，则点B的坐标为（）
A．
B．
C．
D．
4、已知
则=（）
A．（6，-2）B．（5，0）
C．（-5，0）D．（0，5）

【课时作业】
1．如图，已知，，
点是的三等分点，则（）
A.B.
C.D.

2．若M(3，-2)N(-5，-1)且，则P点的坐标

*3．已知
，
则

*4.在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝________.

5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)

6.已知＝(1,2)，＝(－2,3)，＝(－1,2)，以，为基底，试将分解为的形式．

7.已知三个力=(3，4)，=(2，5)，=(x，y)的合力++=，求的坐标.

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求第四个顶点的坐标。

9.已知点，若，
（1）试求为何值时，点P在第一、三象限的交平分线上？
（2）试求为何值时，点P在第三象限？

【延伸探究】
已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

文章来源：http://m.jab88.com/j/27837.html

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