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课时3向量的减法
【学习目标】
1.掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。
2.能正确作出两个向量的差向量,并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3.知道向量的减法运算可以转化为加法,是加法的逆运算。
4.通过本节学习,渗透化归思想和数形结合的思想,继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1.向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
【例题选讲】
例1.化简:
例2.如图,O是平行四边形ABCD的对角线的交点,若,试证:+-=
例3.如图,ABCD是一个梯形,AB//CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知,,试用,表示和
【归纳反思】
1.向量和它的相反向量的和为零向量。
2.向量的减法是加法的逆运算。
3.减去一个向量,等于加上它的相反向量。
4.重要不等式:
【课内练习】
1.下面有四个等式:①-(-)=;②-=;③+(-)=-;④-=,其中正确的等式为
2.在平行四边形ABCD中,,,,,则下列等式不成立的是
ABCD
3.若,为非零向量,则在下列命题中真命题为
①=,,同向共线;②=,,反向共线
③=,,有相等的模;④,同向共线
4.已知=10,=8,则的取值范围为
5.在矩形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,且,,,
证明:
【巩固提高】
1.下列四式中不能化为的是
AB
CD
2.如图,在△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,则等于
AB
CD
3.在平行四边形ABCD中,设,记,,则为
ABCD
4.正六边形ABCDEF,若,,则为
ABCD
5.在平面上有三点A、B、C,设,,若的长度相等,则有
AA、B、C三点在一条直线上B必为等腰三角形且B为顶角
C必为直角三角形且B为直角D必为等腰直角三角形
6.在四边形ABCD中,,,则四边形ABCD为形
7.已知向量的终点与向量的起点重合,向量的起点与向量的终点重合,则下列结论正确的为
①以的起点为终点,的起点为起点的向量为-(+)
②以的起点为终点,的终点为起点的向量为---
③以的起点为终点,的终点为起点的向量为--
8.在中,若,则边AB与边AD所夹的角=
9.已知两个合力的夹角是直角,且知它们的合力与的夹角为,=10N,求的大小。
10.如图,P、Q是ABC的边BC上的两点,且BP=QC,
求证:
11.若,是给定的不共线向量,试求满足下列条件的向量,使
2-=
并作图用,表示,
+2=
问题统计与分析
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助授课经验少的高中教师教学。那么,你知道高中教案要怎么写呢?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“向量的加减法运算”,欢迎阅读,希望您能够喜欢并分享!
向量的加减法运算
年级高一学科数学课题向量的加减法运算
授课时间撰写人刘艳宏时间
学习重点用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则,作两个向量的和与差向量
学习难点理解向量加减法的定义.
学习目标⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶理解向量加法的运算律
教学过程
一自主学习
向量的三角形及平行四边形法则
向量的反向量
向量加法与减法的几何意义
二师生互动
例1如图5,O为正六边形的中心,试作出下列向量:
(1);(2);
(3);
(4);
(5)
例2在中,是重心,、、分别是、、的中点,化简下列两式:
⑴;
⑵
练习。设,,,试用表示.
三巩固练习
1.平行四边形中,,,则等于().
A.B.C.D.
2.下列等式不正确的是().
A.B.
C.
D.
3.在中,等于().
A.B.C.D.
4.=;
=.
5.已知向量、满足且,则=.
6.在中,,则等于().
A.B.C.D.
7.化简的结果等于().
A.B.C.D.
8.在正六边形中,,,则=.
9.已知、是非零向量,则时,应满足条件.
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知是的对角线与的交点,
若,,,
试证明:.
2.在菱形中,,,求的值.
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向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点:理解向量加法的定义.
学法:
数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、设置情景:
1、复习:向量的定义以及有关概念
强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、情景设置:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
则两次的位移和:
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和:
(4)船速为,水速为,则两速度和:
二、探索研究:
1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
如图,已知向量a、b.在平面内任取一点,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b,规定:a+0-=0+a
探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;
(2)当向量与不共线时,+的方向不同向,且|+|||+||;
(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;若||||,则+的方向与相同,且|+b|=||-||.
(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加
3.例一、已知向量、,求作向量+
作法:在平面内取一点,作,则.
4.加法的交换律和平行四边形法则
问题:上题中+的结果与+是否相同?验证结果相同
从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
2)向量加法的交换律:+=+
5.向量加法的结合律:(+)+=+(+)
证:如图:使,,
则(+)+=,+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例:
例二(P94—95)略
练习:P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意:|+|≤||+||,当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业:
P103第2、3题
六、板书设计(略)
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为,求水流的速度.
2、一艘船距对岸,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为,船的实际航行的速度的大小为,方向与水流间的夹角是,求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶,同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是km/h,最小是km/h
5、已知两个力F1,F2的夹角是直角,且已知它们的合力F与F1的夹角是60,|F|=10N求F1和F2的大小.
6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
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