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向量的减法

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课时3向量的减法
【学习目标】
1.掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。
2.能正确作出两个向量的差向量,并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3.知道向量的减法运算可以转化为加法,是加法的逆运算。
4.通过本节学习,渗透化归思想和数形结合的思想,继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1.向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
【例题选讲】
例1.化简:

例2.如图,O是平行四边形ABCD的对角线的交点,若,试证:+-=

例3.如图,ABCD是一个梯形,AB//CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知,,试用,表示和
【归纳反思】
1.向量和它的相反向量的和为零向量。
2.向量的减法是加法的逆运算。
3.减去一个向量,等于加上它的相反向量。
4.重要不等式:
【课内练习】
1.下面有四个等式:①-(-)=;②-=;③+(-)=-;④-=,其中正确的等式为
2.在平行四边形ABCD中,,,,,则下列等式不成立的是
ABCD
3.若,为非零向量,则在下列命题中真命题为
①=,,同向共线;②=,,反向共线
③=,,有相等的模;④,同向共线
4.已知=10,=8,则的取值范围为
5.在矩形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,且,,,
证明:

【巩固提高】
1.下列四式中不能化为的是
AB
CD
2.如图,在△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,则等于
AB
CD
3.在平行四边形ABCD中,设,记,,则为
ABCD

4.正六边形ABCDEF,若,,则为
ABCD

5.在平面上有三点A、B、C,设,,若的长度相等,则有
AA、B、C三点在一条直线上B必为等腰三角形且B为顶角
C必为直角三角形且B为直角D必为等腰直角三角形

6.在四边形ABCD中,,,则四边形ABCD为形

7.已知向量的终点与向量的起点重合,向量的起点与向量的终点重合,则下列结论正确的为
①以的起点为终点,的起点为起点的向量为-(+)
②以的起点为终点,的终点为起点的向量为---
③以的起点为终点,的终点为起点的向量为--
8.在中,若,则边AB与边AD所夹的角=

9.已知两个合力的夹角是直角,且知它们的合力与的夹角为,=10N,求的大小。

10.如图,P、Q是ABC的边BC上的两点,且BP=QC,
求证:

11.若,是给定的不共线向量,试求满足下列条件的向量,使
2-=
并作图用,表示,
+2=

问题统计与分析

扩展阅读

向量的减法运算及其几何意义


向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
1.了解相反向量的概念;
2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点:减法运算时方向的确定.
学法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律:
例:在四边形中,.
解:
二、提出课题:向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作a
(2)规定:零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
(3)向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差.
即:ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
3求作差向量:已知向量a、b,求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法:在平面内取一点O,
作=a,=b
则=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意:1表示ab.强调:差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.

2.探究:
1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是ba.

2)若a∥b,如何作出ab?
三、例题:
例一、(P97例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.
解:在平面上取一点O,作=a,=b,=c,=d,
作,,则=ab,=cd

例二、平行四边形中,a,b,
用a、b表示向量、.
解:由平行四边形法则得:
=a+b,==ab
变式一:当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直?(|a|=|b|)
变式二:当a,b满足什么条件时,|a+b|=|ab|?(a,b互相垂直)
变式三:a+b与ab可能是相当向量吗?(不可能,∵对角线方向不同)
练习:P98
四、小结:向量减法的定义、作图法|
五、作业:P103第4、5题
六、板书设计(略)
七、备用习题:
1.在△ABC中,=a,=b,则等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设=a,=b,=c,=d,则
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
3.如图,在四边形ABCD中,根据图示填空:?
a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.?
4、如图所示,O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a、b、c、d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.

向量的加法和减法例题讲解


例题讲解:向量的加法和减法
本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算,故要安排范例与足够的练习,使学生对向量的线性运算有相当的掌握.向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几何命题基础,也应配备适当例题,提高学生这方面能力,开始还要给出一些辨识相等向量的图形和使用向量各种表示记号的训练.
例1.如图5-4已知梯形ABCD中,两底角∠A=∠B=60°,E为AB中点,且ED∥BC,适当添加箭头后,写出分别与向量、、相等的向量.
由已知可断定(?)图中3个正三角形全等.
故与相等的向量有、.
与相等的向量有.
与相等的向量有.

例2.用五边形ABCDE,作出下列向量:
(1),,,;(2)+;
(3)+++;(4).
如图5-5
(1)略
(2)即
(3)原式=
过B作∥原式=
(4)原式==+=
还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练,但也要适可而止.

例3.如图5-6,ABCD中E、F分别是BC、CD的中点,若记,,试用、表示向量、、和
从图中可知由、可先求出=2=2-2
若记=,=
则=,=
而有+=,
联立以上二式,可得==

∴=

例4.证明三角形中位线定理.
已知:图5-7中D、E分别是边AB、AC的中点,
求证:DE∥BC且DE=BC.
证明:D、E分别为AB、AC的中点

=
∴DE∥BC且DE=BC.

例5.图5-8,△ABC中,点C分OA边为1∶3,点D分OB边为2∶3,AD与BC交于点P,延长OP交AB于E,求E点分AB所成的比,
解:记,,则=,
∵点P在直线AD上,存在tR使=

∴=(1-t)+①
相仿由点P在BC上可得=(1-m)+②
比较①、②求出t=,
∴=+③
又由点E在AB上可有④
∵与共线,==⑤
比较④、⑤可得S=



则=2∶1
而点E分AB边的比为2∶1

第二章平面向量第3课时2.2向量的减法教案


第3课时§2.2向量的减法
【教学目标】
一、知识与技能
1.掌握向量减法及相反向量的的概念;
2.掌握向量减法与加法的逆运算关系,并能正确作出已知两向量的差向量;
3.能用向量运算解决一些具体问题。
二、过程与方法
通过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟数学发展的过程及其思想.
三、情感、态度与价值观
(1)在学完向量加法后再学习向量减法指导学生辨证的看待和解决问题。
(2)数学与生活的联系能够引导学生注意用联系的观点看问题
【教学重点】向量减法定义和法则
【教学难点】向量减法法则的应用
【教学过程】
一、复习:
1.向量的加法法则。
2.数的运算:减法是加法的逆运算
二、讲解新课:
1.相反向量:与长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,记作。
说明:(1)规定:零向量的相反向量是零向量。
(2)性质:;.
2.向量的减法:求两个向量差的运算,叫做向量的减法。表示.
3.向量减法的法则:
已知如图有,,求作.
(1)三角形法则:在平面内任取一点,作,,则.

说明:可以表示为从的终点指向的终点的向量(,有共同起点).
(2)平行四边形:在平面内任取一点,作,,
则.
思考:若,怎样作出?
四、例题分析:
例1、如图,是平行四边形的对角线的交点,若,,
试证明..
例2、用向量方法证明:对角线互相平行的四边形是平行四边形

例3、试证:对任意向量,都有.

五、课时小结:
1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义;
2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则

高一数学向量的减法及其几何意义030


第3课时
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
1.了解相反向量的概念;
2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点:减法运算时方向的确定.
学法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.
教具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律:
例:在四边形中,.
解:
二、提出课题:向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作a
(2)规定:零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0
如果a、b互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
(3)向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差.
即:ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
3.求作差向量:已知向量a、b,求作向量
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法:在平面内取一点O,
作=a,=b
则=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意:1表示ab.强调:差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.
4.探究:
1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是ba.

2)若a∥b,如何作出ab?
三、例题:
例一、(P97例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.
解:在平面上取一点O,作=a,=b,=c,=d,
作,,则=ab,=cd

例二、平行四边形中,a,b,
用a、b表示向量、.
解:由平行四边形法则得:
=a+b,==ab
变式一:当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直?(|a|=|b|)
变式二:当a,b满足什么条件时,|a+b|=|ab|?(a,b互相垂直)
变式三:a+b与ab可能是相当向量吗?(不可能,∵对角线方向不同)
练习:P98
四、小结:向量减法的定义、作图法|
五、作业:P103第4、5题
六、板书设计(略)
七、备用习题:
1.在△ABC中,=a,=b,则等于()?
A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设=a,=b,=c,=d,则A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
3.如图,在四边形ABCD中,根据图示填空:?
a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.?
4、如图所示,O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a、b、c、d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.

文章来源:http://m.jab88.com/j/37719.html

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