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高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,高中教师要准备好教案,这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。所以你在写高中教案时要注意些什么呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案》,仅供参考,欢迎大家阅读。

石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标:
1、了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点:
复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点:
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定i的第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾:
数的概念是从实践中产生和发展起来的,由于计数的需要,就产生了1,2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数,叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究:
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1,即;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
2.与-1的关系:就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-!
2、的周期性:4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即,把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.
7、两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等
这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d
复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对如果两个复数都是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部,有没有纯虚数?
答:它们都是虚数,它们的实部分别是2,-3,0,-;虚部分别是3,,-,-;-i是纯虚数.
例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?
答:实部是3.14,虚部是-2.
易错为:实部是-2,虚部是3.14!
例3实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
[分析]因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;
(3)当m+1=0,且m-1≠0时,即m=-1时,复数z是纯虚数.
例4已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y.
解:根据复数相等的定义,得方程组,所以x=,y=4
课堂巩固
1、设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足()
A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2
3、复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i.
归纳反思M.jAB88.com

课后探究
1、设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数,求m的值.

2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实数m的值.

相关知识

高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案


古人云,工欲善其事,必先利其器。高中教师要准备好教案,这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐,帮助高中教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢?以下是小编收集整理的“高二数学选修1-2复数的乘法和除法导学案”,欢迎您参考,希望对您有所助益!

石油中学高二数学选修1-2导学案---复数
§3-3复数的乘法和除法
学习目标:
掌握复数的乘法法与除法的运算法则,了解其几何意义,能用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题。
学习重点:复数的乘法与除法的运算法则。
学习难点:复数的乘法与除法的几何意义。

一、自主学习
一)合作探究
1、复数乘法运算法则:
z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

2、乘法运算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3、复数的乘方:
(1)zmzn=zm+n(2)(zm)n=zmn(3)(z1z2)m=z1mz2m(n、m∈N)

4、几个特殊结论:规定i0=1
(1)i的周期性:i4n+1=ii4n+2=-1i4n+3=-ii4n=1(n∈N)
(2)如果,则=,,,
1+,,,=。
(3)(1-i)2=,(1+i)2=。

5、复数的除法运算法则
(1)定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(a,b,c,d,x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商,记为:(a+bi)÷(c+di)或者

(2)法则
==
(3)特殊结论:,,。
6、复数积与商的模:
(1)|z1z2|=|z1||z2|;(2)|zn|=|z|n(n∈N);(3)|z1/z2|=|z1|/|z2|(z2≠0);
(4)|z1|-|z2|≤≤|z1|+|z2|
7、(1);(2)(z2≠0)
8、复数的平方根与立方根
如果复数(c+di)和(a+bi)(a,b,c,d,x,y∈R)满足(a+bi)2=(c+di),那么称(a+bi)为复数c+di的一个平方根。同样-(a+bi)也是复数c+di的另一个平方根。

二)典例剖析
例1求(a+bi)(a-bi).

例2计算.
例3设=,求证:(1)1+;(2).

例4计算(1+2i)(3-4i)

例5已知,求
例6已知.
(1)若求;
(2)若,求的值。

例7求复数的平方根:(1)-3;(2)7-24i。

二、当堂检测
1、等于_____________.
2、设复数z=1+2i,则的值为________________.
3、若复数z满足z(1+i)=2,则z的实部是_________________.

三、课堂小结

四、课后探究
在复数范围内解方程(为虚数单位).
教师备课
学习资料

数系的扩充与复数的概念


3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
(3)了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点:引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1:我们知道,对于实系数一元二次方程,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?

问题2:类比引进,就可以解决方程在有理数集中无解的问题,怎么解决在实数集中无解的问题呢?

问题3:把实数和新引进的数i像实数那样进行运算,并希望运算时有关的运算律仍成立,你得到什么样的数?
二、学生活动
1.复数的概念:
⑴虚数单位:数__叫做虚数单位,具有下面的性质:
①_________
②______________________________________________
⑵复数:形如__________叫做复数,常用字母___表示,全体复数构成的集合叫做______,常用字母___表示.
⑶复数的代数形式:_________,其中____叫做复数的实部,___叫做复数的虚部,复数的实部和虚部都是___数.
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当_____时,它是实数;
当且仅当_____时,它是实数0;
当_______时,叫做虚数;
当_______时,叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?
3.练习:
(1).下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么?
2+2i,0.618,2i/7,0,
5i+8,3-9i
(2)、判断下列命题是否正确:
(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数
(3)若a为实数,则Z=a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1实数m分别取什么值时,复数
z=m+1+(m-1)i
是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
解:

归纳总结:
确定复数z=a+bi是实数、虚数、纯虚数的条件是:练习:实数m分别取什么值时,复数
z=m2+m-2+(m2-1)i
是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
两个复数相等,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.也就是
a+bi=c+di_______________________(a、b、c、d为实数)
由此容易出:a+bi=0_______________________
例2已知x+2y+(2x+6)i=3x-2,其中,x,y为实数,求x与y.

四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数,且2x-2y+(x+y)i=x-2i
求x与y.

2、若x为实数,且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0,求x的值.

2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案(苏教版)


俗话说,凡事预则立,不预则废。高中教师要准备好教案,这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案(苏教版)》,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

3.1数系的扩充
问题1:方程2x2-3x+1=0.试求方程的整数解?方程的实数解?
提示:方程的整数解为1,方程的实数解为1和.
问题2:方程x2+1=0在实数范围内有解吗?
提示:没有解.
问题3:若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗?
提示:有解,x=i.
问题4:实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果记作a+bi,这一新数集形式如何表示?
提示:C={a+bi|a,bR}.
1.虚数单位i
我们引入一个新数i,叫做虚数单位,并规定:
(1)i2=-1.
(2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.复数的概念
形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C.
3.复数的代数形式
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1:复数z=a+bi(a,bR),当b=0时,z是什么数?
提示:当b=0时,z=a为实数.
问题2:复数z=a+bi(a,bR),当a=0时,z是什么数?
提示:当a=b=0时,z=0为实数;当a=0,b0,z=bi为纯虚数.
1.复数z=a+bi
2.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.
1.注意复数的代数形式z=a+bi中a,bR这一条件,否则a,b就不一定是复数的实部与虚部.
2.复数集是实数集的扩充,两个实数可以比较大小,但若两个复数不全为实数,则不能比较大小.在复数集里,一般没有大小之分,但却有相等与不相等之分.
[例1]实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
[思路点拨]分清复数的分类,根据实部与虚部的取值情况进行判断.
[精解详析](1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义,即m-10,解得m=-3.
(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-30,且有意义,即m-10,解得m1且m-3.
(3)要使z是纯虚数,m需满足=0,且m2+2m-30,解得m=0或m=-2.
[一点通]z=a+bi(a,bR)是复数的基本定义,由a,b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零.在解题时,关键是确定复数的实部和虚部.
1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为________.
解析:∵z=(x2-1)+(x-1)i是纯虚数,
x=-1.
答案:-1
2.已知复数2+,i,0i,5i+8,i(1-),i2,其中纯虚数的个数为________.
解析:∵0i=0,i2=-1,
纯虚数有i,i.
答案:2
3.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
解:(1)当
即m=2时,
复数z是实数;
(2)当m2-2m0,
即m0.
且m2时,
复数z是虚数;
(3)当
即m=-3时,复数z是纯虚数.
[例2]已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若MP=P,求实数m的值.
[思路点拨]因为MP=P,所以M?P,从而可建立关于m的关系式,进而求得m的值.
[精解详析]∵M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},
P={-1,1,4i},且MP=P.
M?P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.

m=1或m=2.
[一点通](1)一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小.
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据,是复数问题实数化的桥梁纽带.
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用.
4.当关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m=________.
解析:设实根为x0,则x+x0+2x0i+3m+i=0.
即x+x0+3m+(2x0+1)i=0.
m=.
答案:
5.已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求实数x、y的值.
解:∵x,y为实数,
2x-1,y+1,x-y,-x-y均为实数,由复数相等的定义,

6.已知m是实数,n是纯虚数,且2m+n=4+(3-m)i,求m,n的值.
解:设n=bi(bR且b0)
由2m+n=4+(3-m)i得2m+bi=4+(3-m)i,
m的值为2,n的值为i.
[例3]若不等式m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.
[思路点拨].
[精解详析]∵m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10,
解上式得:m=3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系,只有相等或不等.由两个复数可以比较大小,知两个数必全为实数,进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解.
7.已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+2+(y2-1)i,试求实数x,y的取值范围.
解:∵x2-1+(y+1)i2x+2+(y2-1)i,(x,yR),
8.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR),且z0,求实数k.
解:∵z0,zR.
k2-5k+6=0.
k=2或k=3.但当k=3时,z=0不符合题意.
k=2时,z=-20符合题意.
k=2.
1.区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确:实数也是复数,要把复数与实数加以区别.对于纯虚数bi(b0,bR)不要只记形式,要注意b0.
2.应用两复数相等的充要条件时,首先要把等号左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解.
3.若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必是实数.即a+bi0(a,bR).
一、填空题
1.下列命题中,
①若aR,则(a+1)i是纯虚数;
②若a,bR且a>b,则a+i>b+i;
③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=1;
④两个虚数不能比较大小.
其中正确的命题是________.
解析:①若a=-1,则(a+1)i=0,①错;②复数中的虚数只能说相等或不相等,不能比较大小.②错;③中x=-1则x2+3x+2=0,x=-1不适合,③错;④是正确的.
答案:④
2.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为________.
解析:由复数相等的充要条件可知
解得a=-4.
答案:-4
3.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)是纯虚数,则a的取值为________.
解析:∵复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i是纯虚数,
解之得a=-1.
答案:-1
4.已知M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},MN={3},则实数a=________.
解析:∵MN={3},(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,即解之得a=-1.
答案:-1
5.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中aR,z1z2,则a的值为________.
解析:∵z1z2,

故a=0.
答案:0
二、解答题
6.已知复数(2k2-3k-2)+(k2-k)i,实部小于零,虚部大于零,求实数k的取值范围.
解:由题意得即
即解得-k0或1k2.
7.求适合方程xy-(x2+y2)i=2-5i的实数x,y的值.
解:由复数相等的条件可知:
解得或或或
8.设复数z=lg(m2-2m-14)+(m2+4m+3)i,试求实数m的值,使(1)z是实数;(2)z是纯虚数.
解:(1)∵z为实数,
虚部m2+4m+3=0,
则m=-1或m=-3.
而当m=-1时,m2-2m-14=1+2-140(舍去);
当m=-3时,m2-2m-14=10.
当m=-3时z为实数.
(2)∵z为纯虚数,
实部lg(m2-2m-14)=0,
且m2+4m+30,即解得m=5.
当m=5时z为纯虚数.

选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案


作为杰出的教学工作者,能够保证教课的顺利开展,教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容要写些什么更好呢?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案”,欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!

第三章数系的扩充与复数的引入
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.是复数为纯虚数的()
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件
2.设,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.()
A.B.C.D.
4.复数z满足,那么=()
A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i
5.如果复数的实部与虚部互为相反数,那么实数b等于()
A.2B.23C.2D.-23
6.集合{Z︱Z=},用列举法表示该集合,这个集合是()
A{0,2,-2}B.{0,2}
C.{0,2,-2,2}D.{0,2,-2,2,-2}
7.设O是原点,向量对应的复数分别为,那么向量对应的复数是()
8、复数,则在复平面内的点位于第()象限。
A.一B.二C.三D.四
9.复数不是纯虚数,则有()
10.设i为虚数单位,则的值为()
A.4B.-4C.4iD.-4i
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上。)
11.设(为虚数单位),则z=;|z|=.
12.复数的实部为,虚部为。
13.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=
14.设,,复数和在复平面内对应点分别为A、B,O为原点,则的面积为。
三.解答题(本大题共6小题,每小题74分,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(本小题满分12分)
已知复数z=(2+)).当实数m取什么值时,复数z是:
(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。

(本小题满分13分)

17.(本小题满分13分)
设R,若z对应的点在直线上。求m的值。

18.(本小题满分14分)
已知关于的方程组有实数,求的值。

19.(本小题满分14分)

20(本小题满分13分)
若复数,求实数使。(其中为的共轭复数)

第三章数系的扩充与复数的引入
1.解析:B
2.解析:D点拨:。
3.解析:B点拨:原式==
4.解析:B点拨:化简得
5.解析:D点拨:,由因为实部与虚部互为相反数,即,解得。
6.解析:A点拨:根据成周期性变化可知。
7.解析:B点拨:
8.解析:D点拨:
9.解析:C点拨:需要,即。
10.解析:B点拨:=-4
11.解析:,点拨:
12.解析:1,点拨:
13.解析:点拨:设代入解得,故
14.解析:1点拨:
16.解:
将上述结果代入第二个等式中得
20.解析:由,可知,代入得:
,即
则,解得或。

文章来源:http://m.jab88.com/j/28119.html

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