第一课时柱体、锥体、台体的表面积
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式).
(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
(3)培养学生空间想象能力和思维能力.
2.过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,培养转化化归能力.
3.情感、态度与价值观
通过学习,使学生感受到几面体表面积的求解过程,激发学生探索创新的意识,增强学习的积极性.
(二)教学重点、难点
重点:柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.
难点:展开图与空间几何体的转化.
(三)教学方法
学导式:学生分析交流与教师引导、讲授相结合.
教学环节教学内容师生互动设计意图
新课导入问题:现有一棱长为1的正方体盒子AC′,一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点,问这只蚂蚁走边的最短路程是多少?
学生先思考讨论,然后回答.
学生:将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图
则即所求.
师:(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用,这节课,我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.情境生动,激发热情教师顺势带出主题.
探索新知1.空间多面体的展开图与表面积的计算.
(1)探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.
(2)已知棱长为a,各面均为等边三角形S–ABC(图1.3—2),求它的表面积.
解:先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,交B于D,因为BC=a,
∴.
∴四面体S–ABC的表面积
.
师:在初中,我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?
生:相等.
师:对于一个一般的多面,你会怎样求它的表面积.
生:多面体的表面积就是各个面的面积之和,我们可以把它展成平面图形,利用平面图形求面积的方法求解.
师:(肯定)棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的体积?
……
生:它的表面积都等于表面积与侧面积之和.
师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例,利用多媒体设备投放它们的展开图,并肯定学生说法.
师:下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.
师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.
生:由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.
学生分析,教师板书解答过程.
让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.
推而广之,培养探索意识会
探索新知2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导
S圆柱=2r(r+1)
S圆锥=r(r+1)
S圆台=(r12+r2+r1l+rl)
(2)讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
(3)例题分析
例2如图所示,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升,可用计算器)?
分析:只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积,再减去底面圆孔的面积.
解:如图所示,由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积
≈1000(cm2)=0.1(m2).
涂100个花盆需油漆:0.1×100×100=1000(毫升).
答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.师:圆柱、圆锥的侧面展开图是什么?
生:圆柱的侧面展开图是一个矩形,圆锥的侧面展开图是一个扇形.
师:如果它们的底面半径均是r,母线长均为l,则它们的表面积是多少?
师:打出投影片(教材图1.3.3和图1.3—4)
生1:圆柱的底面积为,侧面面积为,因此,圆柱的表面积:
生2:圆锥的底面积为,侧面积为,因此,圆锥的表面积:
师:(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环,如果它的上、下底面半径分别为r、r′,母线长为l,则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=
所以它的表面积为
现在请大家研究这三个表面积公式的关系.
学生讨论,教师给予适当引导最后学生归纳结论.
师:下面我们共同解决一个实际问题.
(师放投影片,并读题)
师:本题只要求出花盆外壁的表面积,就可求出油漆的用量,你会怎样用它的表面积.
生:花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积,再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)让学生自己推导公式,加深学生对公式的认识.
用联系的观点看待三者之间的关系,更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握,灵活运用公式解决问题.
随堂练习1.练习圆锥的表面积为acm2,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.
2.如图是一种机器零件,零件下面是六棱柱(底面是正六边形,侧面是全等的矩形)形,上面是圆柱(尺寸如图,单位:mm)形.电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌0.11kg,问电镀10000个零件需锌多少千克(结果精确到0.01kg)
答案:1.m;
2.1.74千克.学生独立完成
归纳总结1.柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.
2.柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结,老师补充、完善
作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备用例题
例1直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为Q1,Q2,求直平行六面体的侧面积.
【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征,直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体,它的两个对角面是矩形.
【解析】如图所示,设底面边长为a,侧棱长为l,两条底面对角线的长分别为c,d,即BD=c,AC=d,则
由(1)得,由(2)得,代入(3)得,
∴,∴.
∴S侧=.
例2一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积.
【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.
设底面边长为a,则,∴a=4.
∴正三棱柱的表面积为
S=S侧+2S底=3×4×2+2×
(mm2).
例3有一根长为10cm,底面半径是0.5cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕8圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.01cm)
【解析】如图,把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上,得到矩形ABCD.
由题意知,BC=10cm,AB=2cm,点A与点C就是铁丝的起止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
∴AC=(cm).
所以,铁丝的最短长度约为27.05cm.
【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何问题.探究几何体表面上最短距离,常将几何体的表面或侧面展开,化折(曲)为直,使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化,是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
例4.粉碎机的下料是正四棱台形如图,它的两底面边长分别是80mm和440mm,高是200mm.计算制造这一下料斗所需铁板是多少?
【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积,欲求侧面积,需求出斜高,可在有关的直角梯形中求出斜高.
【解析】如图所示,O、O1是两底面积的中心,则OO1是高,设EE1是斜高,在直角梯形OO1E1E中,
EE1=
=
∵边数n=4,两底边长a=440,a′=80,斜高h′=269.
∴S正棱台侧==(mm2)
答:制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.
第二课时柱体、锥体、台体的体积
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解几何体体积的含义,以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式)
(2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
(3)培养学生空间想象能力和思维能力.
2.过程与方法
(1)让学生通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
(2)通过相关几何体的联系,寻找已知条件的相互转化,解决一些特殊几何体体积的计算.
3.情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
(二)教学重点、难点
重点:柱体、锥体、台体的体积计算.
难点:简单组合体的体积计算.
(三)教学方法
讲练结合
教学环节教学内容师生互动设计意图
新课导入1.复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问,学生回忆
师:今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量:体积.复习巩固
点出主题
探索新知柱体、锥体、台体的体积
1.柱体、锥体、台体的体积公式:
V柱体=Sh(S是底面积,h为柱体高)
V锥体=(S是底面积,h为锥体高)
V台体=(S′,S分别为上、下底面面积,h为台体的高)
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
师:我们已经学习了正方体,长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式是什么?
生:V=Sh(S为底面面积,h为高)
师:这个公式推广到一般柱体也成立,即一般柱体体积.公式:V=Sh(S为底面面积,h为高)
师:锥体包括圆锥和棱锥,锥体的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离(投影或作出).锥体的体积公式都是V=(S为底面面积,h为高)
师:现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.
生:锥体体积同底等高的柱体体积的.
师:台体的结构特征是什么?
生:台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体,截得两平行平面间的部分.
师:台体的体积大家可以怎样求?
生:台体的体积应该等于两个锥体体积的差.
师:利用这个原理我们可以得到台体的体积公式
V=
其中S′、S分别为上、下底面面积,Q为台体的高(即两底面之间的距离)
师:现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系?
生:令S′=0,得到锥体体积公式.
令S′=S,得到柱体体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解,故采用讲授式效率会更高.
因台体的体积公式的推导需要用到后面知识,故此处不予证明,只要学生了解公式及公式的推导思路.
培养探索意识,加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析例1有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12cm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个(取3.14,可用计算器)?
解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.师:六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么?你准备怎样计算它的体积?
生:六角螺帽表示的几何体是一个组合体,在一个六棱柱中间挖去一个圆柱,因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
学生分析,教师板书过程.
师:求组合体的表面积和体积时,要注意组合体的结构特征,避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.
典例分析例2已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积.
【解析】如图,设等边圆柱的底面半径为r,则高h=2r,
∵S=S侧+2S底=2+,∴.
∴内接正四棱柱的底面边长a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4,
即圆柱的内接正四棱柱的体积为.教师投影例2并读题
师:要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考,要求内接正四棱柱的体积,只需求出等边圆柱的底面圆半径r,根据已知条件可以用S表示它.大家想想,这个轴截面最好选择什么位置.
生:取内接正四棱柱的对角面.
师:有什么好处?
生:这个截面即包括圆柱的有关量,也包括正四棱柱的有关量.
学生分析,教师板书过程.
师:本题是正四棱柱与圆柱的相接问题.解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等,正四棱柱的高与圆柱的母线长相等,通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面,找到这个截面,就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
随堂练习1.下图是一个几何体的三视图(单位:cm),画出它的直观图,并求出它的表面积和体积.
答案:2325cm2.
2.正方体中,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点,现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几?
答案:.学生独立完成培养学生理解能力,空间想象能力.
归纳总结1.柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2.简单组合体体积的计算.
3.等积变换学生归纳,教师补充完善.巩固所学,提高自我整合知识能力.
课后作业1.3第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备用例题
例1:三棱柱ABC–A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF–A1B1C1是一个棱台,一个底面的面积与棱柱的底面积相等,另一个底面的面积等于棱柱底面的;V2对应的是一个不规则的几何体,显然这一部分的体积无法直接表示,可以考虑间接的办法,用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2=7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时,是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2:一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6cm,高为20cm的一个圆锥形铅锤,当铅锤从中取出后,杯里的水将下降几厘米?(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x,则小圆柱的体积为(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x,解此方程得x=0.6(cm).
答:铅锤取出后,杯中水面下降了0.6cm.
第6讲柱体锥体台体的体积
¤学习目标:了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式(不要求记忆公式);能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点:1.体积公式:
体积公式体积公式
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
2.柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体.因而体积会有以下的关系:
.
¤例题精讲:
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则长方体的体积是.
解:设长方体的长宽高分别为,则,
三式相乘得.
所以,长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.
在中,,
所以,于是.
依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为,母线长为6,现将该容器盛满水,然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为.
解:容器中水的体积为.
流出水的体积为,如图,.
设圆柱的母线与水平面所成的角为α,则,解得.
所以,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.
点评:抓住流水之后空出部分的特征,它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱.从而由等体积法可计算出高度,解直角三角形而得所求角.
【例4】在边长为a的正方形中,剪下一个扇形和一个圆,分别作为圆锥的侧面和底面,求所围成的圆锥的体积.
解:剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的.设扇形半径为x,圆半径为r,则
,∴x=4r,.
又AB=,∴,解得.
圆锥的高,
∴.
点评:求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系.搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变,哪些发生了变化.
二课时柱体、锥体、台体的体积
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解几何体体积的含义,以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式)
(2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
(3)培养学生空间想象能力和思维能力.
2.过程与方法
(1)让学生通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
(2)通过相关几何体的联系,寻找已知条件的相互转化,解决一些特殊几何体体积的计算.
3.情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
(二)教学重点、难点
重点:柱体、锥体、台体的体积计算.
难点:简单组合体的体积计算.
(三)教学方法
讲练结合
教学环节教学内容师生互动设计意图
新课导入1.复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问,学生回忆
师:今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量:体积.复习巩固
点出主题
探索新知柱体、锥体、台体的体积
1.柱体、锥体、台体的体积公式:
V柱体=Sh(S是底面积,h为柱体高)
V锥体=(S是底面积,h为锥体高)
V台体=(S′,S分别为上、下底面面积,h为台体的高)
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
师:我们已经学习了正方体,长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式是什么?
生:V=Sh(S为底面面积,h为高)
师:这个公式推广到一般柱体也成立,即一般柱体体积.公式:V=Sh(S为底面面积,h为高)
师:锥体包括圆锥和棱锥,锥体的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离(投影或作出).锥体的体积公式都是V=(S为底面面积,h为高)
师:现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.
生:锥体体积同底等高的柱体体积的.
师:台体的结构特征是什么?
生:台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体,截得两平行平面间的部分.
师:台体的体积大家可以怎样求?
生:台体的体积应该等于两个锥体体积的差.
师:利用这个原理我们可以得到台体的体积公式
V=
其中S′、S分别为上、下底面面积,Q为台体的高(即两底面之间的距离)
师:现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系?
生:令S′=0,得到锥体体积公式.
令S′=S,得到柱体体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解,故采用讲授式效率会更高.
因台体的体积公式的推导需要用到后面知识,故此处不予证明,只要学生了解公式及公式的推导思路.
培养探索意识,加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析例1有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12cm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个(取3.14,可用计算器)?
解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.师:六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么?你准备怎样计算它的体积?
生:六角螺帽表示的几何体是一个组合体,在一个六棱柱中间挖去一个圆柱,因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
学生分析,教师板书过程.
师:求组合体的表面积和体积时,要注意组合体的结构特征,避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.
典例分析例2已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积.
【解析】如图,设等边圆柱的底面半径为r,则高h=2r,
∵S=S侧+2S底=2+,∴.
∴内接正四棱柱的底面边长a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4,
即圆柱的内接正四棱柱的体积为.教师投影例2并读题
师:要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考,要求内接正四棱柱的体积,只需求出等边圆柱的底面圆半径r,根据已知条件可以用S表示它.大家想想,这个轴截面最好选择什么位置.
生:取内接正四棱柱的对角面.
师:有什么好处?
生:这个截面即包括圆柱的有关量,也包括正四棱柱的有关量.
学生分析,教师板书过程.
师:本题是正四棱柱与圆柱的相接问题.解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等,正四棱柱的高与圆柱的母线长相等,通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面,找到这个截面,就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
随堂练习1.下图是一个几何体的三视图(单位:cm),画出它的直观图,并求出它的表面积和体积.
答案:2325cm2.
2.正方体中,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点,现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几?
答案:.学生独立完成培养学生理解能力,空间想象能力.
归纳总结1.柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2.简单组合体体积的计算.
3.等积变换学生归纳,教师补充完善.巩固所学,提高自我整合知识能力.
课后作业1.3第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备用例题
例1:三棱柱ABC–A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF–A1B1C1是一个棱台,一个底面的面积与棱柱的底面积相等,另一个底面的面积等于棱柱底面的;V2对应的是一个不规则的几何体,显然这一部分的体积无法直接表示,可以考虑间接的办法,用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2=7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时,是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2:一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6cm,高为20cm的一个圆锥形铅锤,当铅锤从中取出后,杯里的水将下降几厘米?(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x,则小圆柱的体积为(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x,解此方程得x=0.6(cm).
答:铅锤取出后,杯中水面下降了0.6cm.
文章来源:http://m.jab88.com/j/18595.html
更多