正玄定理和余弦定理导学案及练习题

2020-08-07 高中物理动能定理教案高中素质练习教案

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。写好一份优质的教案要怎么做呢？下面是小编为大家整理的“正玄定理和余弦定理导学案及练习题”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

【学习目标】
理解正弦定理的推理过程；掌握正弦定理的内容；能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。
【学习重难点】
能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。JaB88.COM

【教材助读】（课前完成）
1.三角形的内角和定理____
2.在所对的边，若ab则
3.在中，设，则sinA=_______,sinB=________,又因为sinC=1，
,所以：==.
4．若为锐角（图（1）），过点作于，此时有，，所以即．同理可得，所以==。．
5.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的相等，正弦定理的数学表达式
6.一般地,把三角形的三个角和它们的分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.

【预习自测】
1.已知在△ABC中，∠A=45○，∠C=30○，c=10,求a的值。

【拓展提升】
探究题型1已知两角和任意一边，求其他两边和一角
例1已知在

探究题型2已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角
例2在

【归纳总结】
利用正弦定理可以解决两类三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角
(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角
【课堂达标】
1.已知△ABC，A=600,B=300，a=3,解角形。

2.已知△ABC中，若a=1,b=,∠A=300,求其他的边角。

扩展阅读

正余弦定理的应用

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助授课经验少的高中教师教学。那么如何写好我们的高中教案呢？下面的内容是小编为大家整理的正余弦定理的应用，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

课时5正弦定理，余弦定理的综合应用
一、课前演练：
1、ΔABC中,sin2A=sin2B则ΔABC的形状为
2、在中，各边分别为，且，
则外接圆的直径为
3、在中，，则=
4、在一幢20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为600，塔底的仰角为450，那么这座塔的高度是_________米.
5、在中，若则的面积为
6、三角形的两边分别是5和3，他们夹角的余弦是方程的
根，则三角形的面积
7、在中，满足条件,,,则，
的面积等于
8、在中，且，求和.

二、例题剖析：
例1：在中，分别是内角的对边，，求边。

例2：已知三角形的一个角为，面积为，周长为，求三角形的各边长。

例3：在中，角对边分别为，且,
（1）.求的值.（2）若，且，求的面积.

例4：如图所示，在地面上有一旗杆，为测得它的高度，在地面上取一线段，，在处测得点的仰角，在处测得点的仰角，又测得。求旗杆的高度（精确到）。

例5：某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间（）

例6:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值

三、课后反馈：
1.在中，若，则
2.在中，已知，则.
3.在中，①；②；③；
④.其中恒为常数的是
4.若，则是
5.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为
6.在中，的对应边分别为，且，则为
7、某人向正东方向走了km后向右转了，然后沿新方向走了km，结果离出发点恰好为km，那么的值为；
8、有一长为m的斜坡，它的倾斜角是，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改成，则坡底要延伸m；
9、甲船在B岛的正南A处，km，甲船以km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以km/h的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是h;
10、一艘船以km/h的速度沿着与水流方向成的方向航行，已知河水流速为km/h，则经过h，该船实际航程为;
11、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，那么B岛和C岛间的距离是海里；
12.已知中,，且，求.

13、如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间?

14.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成角的直线上，设火车的速度是100km/h,求宝塔离铁路线的垂直距离。

15、如图，测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平内的两个测点C和D.现测得，CD=s，并在点C测得塔尖A的仰角为，求塔高AB.

正余弦定理的综合应用

正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理：，其中为外接圆的半径。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：
(1)余弦定理：
；；.
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.
（2）余弦定理的推论：
；；.
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式：==
4.三角形的性质：
①.A+B+C=,,
,
②.在中,＞c,＜c;A＞B＞,
A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B
③.若为锐角，则＞,B+C＞,A+C＞;
＞，＞，＋＞
5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角
一解两解一解
若，则无解；
（2）当A≥90
若ab,则一解
若a≤b，则无解
典例剖析
题型一三角形多解情况的判断
例1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．
（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．
（5）由于为锐角，又，即，
∴无解．
评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为x2，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝x2，
在△ADB中，cosADB＝AD2＋BD2－AB22ADBD＝42＋（x2）2－522×4×x2
在△ADC中，cosADC＝AD2＋DC2－AC22ADDC＝42＋（x2）2－322×4×x2
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.
∴42＋（x2）2－522×4×x2＝－42＋（x2）2－322×4×x2
解得，x＝2
所以，BC边长为2.
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.
备选题正、余弦定理的综合应用
例3在△ABC中，已知，求△ABC的面积.
解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
.
故所求面积
解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得
故所求面积
评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
点击双基
一.选择题：
1.在中，，则A为（）
解：
答案：A
2.在（）
解：由题意及正弦定理可得
答案：B
3.以4、5、6为边长的三角形一定是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形
解：：长为6的边所对角最大，设它为
则
答案A
4.在中，化简___________
解：利用余弦定理，得原式
答案：a
5.在中，，则_______，________
解：
又
答案：
课外作业
一、选择
1.在中，，则A等于（）
解：由余弦定理及已知可得
答案：C
2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是（）
A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定
解：bsinC=20c,无解
答案：C
3.在中，，则三角形为（）
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案C
4.在中，，则是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.正三角形
解：原不等式可变形为
答案：C
5在△ABC中，若，则其面积等于（）
ABCD
解：
答案：D
6在△ABC中，角均为锐角，且
则△ABC的形状是（）
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
解：都是锐角，则
答案：C
7.在△ABC中，cos=,则△ABC的形状是（）
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解：原式可化为=，cosA+1=cosA=
由余弦定理，得，a△ABC为直角三角形
答案：B
8.在△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）
A.4B.4
C.6D.6
解：，==2=2,b+c==2(sinB+sin())==2()=6
a+b+c=6
答案：D
二.填空题：
9.在中，已知，则___________
解：由正弦定理得
设1份为k，则
再由余弦定理得
答案：
10.在中，A、B均为锐角，且，则是_________
解：由得
A、B均为锐角，
而在上是增函数
即
答案：钝角三角形
11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为
解：由题意得或2（舍去）
答案：2
三.解答题：
12..根据下列条件，判断是否有解？有解的做出解答．
①a=7,b=8,A=105②a=10,b=20,A=80
③b=10,c=5,C=60④a=2,b=6,A=30
解：①a=7,b=8,ab,A=10590本题无解
②a=10,b=20,ab,A=8090
bsinA=20sin8020sin60=10absinA
本题无解
③b=10,c=5,bc,C=6090,本题有一解
sinB==
B=45,A=180-(B+C)=75
a====5()
④a=2,b=6,ab,A=3090
又bsinA=6sin30=3,absinA本题有两解
由正弦定理得sinB===
B=60或120
当B=60时，C=90,c===4
当B=120时，C=30,c===2
B=60，C=90,c=4或B=120，C=30,c=2
13：在中，，，，求的值和的面积.
解，又
14.已知的外接圆半径是，且满足条件。
（1）求角C。
（2）求面积的最大值。
解：（1）
即
由正弦定理知
即
由余弦定理得
（2）
当A＝B时，S有最大值

正、余弦定理的应用举例

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助授课经验少的高中教师教学。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？以下是小编为大家收集的“正、余弦定理的应用举例”欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

2.2.2正、余弦定理的应用举例（2）
知识梳理
2.解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。
3.解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。
典例剖析
题型一正、余弦定理在几何中的应用
例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视?
题型二正、余弦定理在函数中的应用
例2如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，
起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，
则
，
∴起初，两人的距离是．
（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，
则，，
当时，；
当时，，
所以，．
（3），
∴当时，即在第分钟末，最短。
答：在第分钟末，两人的距离最短。
评析：（2）中，分0t和t两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。
备选题正、余弦定理的综合应用
例3如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；表示为的函数，
（2）求y＝的最大值与最小值。
解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，由正弦定理
得，
则S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2）
因为，
所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240，当＝时，y取得最小值ymin＝216。
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点。
点击双基
1．在△ABC中，，则△ABC的面积为（）
A.B.C.D.1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案：C

2.如图所示:在一幢20m高的楼顶A测得对面一塔顶C的仰角为60,塔基D的俯角为45,则这座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以这座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°
C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°
解：A,B可根据余弦定理求解，只有一解，选项C中，A为锐角，且ab,只有一解.
选项D中所以有两个解。
答案：D
4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每小时航行____。
解：10海里
5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的关系为（）
A.B.
C.D.不能确定大小
解：依题意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案：C
课后作业
1.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案：A
2.边长分别为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A.90B.120C.135D.150
解：用余弦定理算出中间的角为60.
答案：B
3.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）
A.sinA+cosA=B.＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）
A．B．C．D．
解：a
答案：B
5.某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）
A．450a元B．225a元C．150a元D.300a元
解：S==150购买这种草皮至少要150a元
答案：C
6.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）
A．分钟B．分钟C．21.5分钟D．2.15分钟
解：设航行时间为t小时，则两船相距
=
t=-小时=分钟
答案：A
7.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为60°，这时飞机与地面目标的水平距离为（）
A．5000米B．5000米C．4000米D．米

解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案：A
8如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A75°B60°C50°D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大
答案：C
二．填空题
9.某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向。这时灯塔C与D相距海里
答案：
10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围是
解：asinBba,即xsin602x
答案：
11．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
km
答案：
三．解答题
12.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得MC===35
从而有MB=MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
13．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在中，由余弦定理，

14.在中，角A、B、C的对边分别为、、，
，又的面积为.（1）求角C的大小；（2）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因为，所以，
又因为，所以
所以，===5
●思悟小结
1.三角形中的边角问题的求解，或三角形的形状的判定，及其与三角形有关的问题的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角恒等变形去解决。
2.判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及三角变换将已知的边角关系全转化为边的关系或全转化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后判定三角形的形状。注意变换过程中等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能。
3.正确理解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡脚、坡比等名词术语。

余弦定理导学案

余弦定理导学案
高二年级数学组
知能目标解读
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.?
2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.?
3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.?
4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.
重点难点点拨
重点：余弦定理的证明及其应用.?
难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.
学习方法指导
一、余弦定理?
1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.
?注意：
（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.?
（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.?
2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.?
cosA=，cosB=，cosC=.?
由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.?
二、余弦定理的证明?
教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.?
证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.?

则A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),?
由两点间的距离公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0)2,?
即a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可证b2=a2+c2-2accosB,?
c2=a2+b2-2abcosC.
方法2：（几何法）如图.当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CD=bsinA,?

AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.?
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA)2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?
如图，当△ABC为钝角三角形时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，

则AD=bcosA,CD=bsinA.?
BD=AD-AB=bcosA-c.?
在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.?
所以a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
三、余弦定理的应用?
余弦定理主要适用以下两种题型:?
（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；?
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.
注意：?
在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.
知能自主梳理
1.余弦定理
（1）语言叙述：?
三角形任何一边的平方等于减去的积的.?
（2）公式表达:?
a2=;?
b2=;?
c2=.?
(3)变形:?
cosA=;?
cosB=;?
cosC=.?
2.余弦定理及其变形的应用?
应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其解三角形，另一类是已知解三角形.
［答案］1.(1)其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍(2)b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC(3)
2.夹角三边?
思路方法技巧
命题方向已知三边解三角形
［例1］在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC.
?［分析］在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大.
?［解析］∵a＞c＞b,∴A为最大角,?
由余弦定理得，cosA==＝，?
又∵0°＜A＜180°,?∴A=120°，
∴sinA=sin120°=.?
由正弦定理＝得，?
sinC===.?
∴最大角A为120°，sinC=.?
［说明］（1）求sinC也可用下面方法求解：?
cosC===，
∴C为锐角.?
sinC==＝.?
(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.
变式应用1
在△ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大内角.?
［解析］设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0).?
则a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.?
∴a是最大边，即角A是△ABC的最大角.?
由余弦定理，得cosA==-,?
∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角为120°.
命题方向已知两边及一角解三角形
［例2］△ABC中，已知b=3,c=3,∠B=30°,解三角形.
［分析］由题目可知以下信息：?
①已知两边和其中一边的对角.?
②求另外的两角和另一边.?
解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A，角C.
［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,?
得32=a2+(3)2-2a×3×cos30°,?
∴a2-9a+18=0,得a=3或6.?
当a=3时，∠A=30°,∠C=120°.?
当a=6时，由正弦定理sinA===1.?
∴∠A=90°,∴∠C=60°.?
解法二：由bc,∠B=30°,bcsin30°=3×=知本题有两解.?
由正弦定理sinC===,?
∴∠C=60°或120°，?
当∠C=60°时，∠A=90°,?
由勾股定理a===6.?
当∠C=120°时，∠A=30°，△ABC为等腰三角形，?
∴a=3.?
［说明］知两边和一角解三角形时有两种方法：?
（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.?
(2)直接用正弦定理，先求角再求边.?
用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.?
变式应用2
在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且cosA=,若a=4,b+c=6,且bc,求b、c的值.?
［解析］余弦定理得?
cosA==，?
∴=,?
又b+c=6,a=4,
∴bc=8,?
b=2
c=4
b=4
c=2
又bc,∴b=2,c=4.?
命题方向判断三角形的形状
［例3］△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状.?［分析］由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边.?
［解析］解法一：利用角的关系来判断.?
∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).?
又∵2cosAsinB=sinC,?
∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,?
∴sin(A-B)=0.?
∵A与B均为△ABC的内角，∴A=B.?
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?
∴(a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,
根据余弦定理，上式可化为2abcosC+2ab=3ab,?
解得cosC=,∴C=60°.?
故△ABC为等边三角形.?
解法二：利用边的关系来确定.?
由正弦定理，得=.?
由2cosAsinB=sinC,得?
cosA==.?
又∵cosA=,∴=,?
即c2=b2+c2-a2,∴a=b.
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?
∴(a+b)2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,?
∴b=c,∴a=b=c.?
因此△ABC为等边三角形.?
［说明］判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法.
变式应用3
△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是()?
A.锐角三角形B.直角三角形?
C.钝角三角形D.非钝角三角形?
［答案］C?
［解析］利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断.?因为cosB==-0,所以B为钝角，即△ABC是钝角三角形.
探索延拓创新
命题方向利用余弦定理确定范围问题
［例4］设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.?
［分析］一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角三角形，则有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC为钝角三角形，最大边为a,则一定有a2＞b2+c2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的.?
［解析］2a+1,a,2a-1是三角形的三边,?

2a+1＞0
∴a＞0?
2a-1＞0，

解得a＞,此时2a+1最大.?
∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三边，还需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.?
设最长边2a+1所对的角为θ,则cosθ==＜0,?
解得＜a＜8,∴a的取值范围是2＜a＜8.
?［说明］本题易忽视构成三角形的条件a＞2,而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大.
变式应用4.
已知锐角三角形三边长分别为2，3，x，求x的取值范围.
［解析］由三角形三边的关系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.?
又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和.?

x2＜22+32
即
32＜x2+22

x2＜13

x2＞5
5＜x2＜13
即
x＞0

解得＜x＜，?
∴x的取值范围为（，）.
课堂巩固训练
一、选择题?
1.在△ABC中，若abc,且c2a2+b2,则△ABC为（）?
A.直角三角形B.锐角三角形?
C.钝角三角形D.不存在?
［答案］B?
［解析］∵abc,且c2a2+b2,∴∠C为锐角.又∵∠C为最大角.故选B.
2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2=ac，且c=2a,则cosB=（）?
A.B.
C.D.
［答案］B?
［解析］由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB===.
3.（2011四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()
A.(0,］B.［,π)?
C.(0,］D.［,π)?
［答案］C?
［解析］本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,
∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA=≥=，∴0A≤，故选C.
二、填空题?
4.已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边的长是.
［答案］?
［解析］解2x2+3x-2=0，得x1=或x2=-2（舍去）.
∴夹角的余弦值为，根据余弦定理得第三边长为=.
5.在△ABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于，则三边长为.?
［答案］3，5，7?
［解析］∵a-b=2,b-c=2，∴abc,?
∴最大角为A.sinA=，若A为锐角，则A=60°，?又CBA,∴A+B+C180°，这显然不可能，∴A为钝角.
∴cosA=-,?
设c=x,则b=x+2,a=x+4.?
∴=-，
∴x=3，故三边长为3，5，7.
三、解答题?
6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABC的面积.
［解析］∵b2-bc-2c2=0,∴()2--2=0,?
解得=2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,与b=2c
联立解得b=4,c=2.∵cosA=,?
∴sinA==,?
∴S△ABC=bcsinA=.
?

课后强化作业
一、选择题?
1.在△ABC中，b=5,c=5,A=30°,则a等于（）?
A.5B.4C.3D.10
［答案］A
［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,?
∴2×5×5×cos30°＝52＋（5）2-a2,
∴a2=25,∴a=5.
2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为（）?
A.B.C.D.或
［答案］C
［解析］∵a2=b2+c2+bc,?
∴cosA===,?
又∵0Aπ,∴A=.
3.在△ABC中，若a=+1,b=-1,c=,则△ABC的最大角的度数为（）?
A.60°B.90°C.120°D.150°
［答案］C?
［解析］显然＞+1＞-1,?
∴cosC==-＝－,∴C=120°.
4.△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a，b，c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则∠C的大小为()?
A.B.C.D.π
［答案］B?
［解析］∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)且p∥q，
∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，?
即a2+b2-c2=ab,
∴cosC===.?
∴C=.
5.在△ABC中，已知2a2=c2+(b+c)2,则∠A的值为（）?
A.30°B.45°C.120°D.135°
［答案］D
［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc,?
∴a2=b2+c2+bc,
∴b2+c2-a2＝-bc,?
又b2+c2-a2=2bccosA,
∴2bccosA=-bc,
∴cosA=-,
∴A=135°.
6.（2011重庆理，6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b)2-c2=4，且C=60°，则ab的值为()?
A.B.8-4C.1D.
［答案］A?
［解析］本题主要考查余弦定理的应用.?
在△ABC中，C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,?
∴(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,选A.
7.在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则等于()?
A.19B.-14?C.-18D.-19
［答案］D
［解析］在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,?
则cosB==.?
又=｜｜｜｜cos(π-B)?
=-｜｜｜｜cosB?
＝－7×5×=-19.
8.在△ABC中，若△ABC的面积S=(a2+b2-c2)，则∠C为（）?
A.B.C.D.
［答案］A
［解析］由S=(a2+b2-c2),得absinC=×2abcosC,∴tanC=1,∴C=.
二、填空题?
9.在△ABC中，b=,c=2,A=45°,那么a的长为.?
［答案］
［解析］由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2××2×=+8-==,所以a=.
10.在△ABC中，AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为.?
［答案］
［解析］如图，cosA=＝，
∴sinA=.?

∴.BD=ABsinA=.
11.在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12，则cos2C=.
［答案］
［解析］由题意得S△ABC=ACBCsinC=12,
即×5×8×sinC=12,则sinC=.?
∴cos2C=1-2sin2C=1-2×（）2=.
12.在△ABC中，B=60°,b2=ac,则三角形的形状为.?
［答案］等边三角形?
［解析］由余弦定理得b2=a2+c2-ac,?
∵b2=ac,?
∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c)2=0,?
∴a=c.?
又∵B=60°,∴A=C=60°.?
故△ABC为等边三角形.
三、解答题?
13.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.
［解析］解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180°，知B=60°.
由a+c=8,ac=15,则a、c是方程x2-8x+15=0的两根.
解得a=5,c=3或a=3,c=5.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5×＝19.?
∴b=.?
解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180°，?
∴B=60°.?
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×＝19.?
∴b＝.
14.(2011大纲文，18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA+csinC-asinC=bsinB.?
(1)求B；?
（2）若A=75°,b=2,求a,c.
［分析］利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinC-asinC=bsinB中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.?
［解析］（1）∵asinA+csinC-asinC=bsinB
∴a2+c2-ac=b2?
∴a2+c2-b2=ac?
∴cosB===
∴B=45°?
(2)由(1)得B=45°?
∴C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°?
由正弦定理==
∴a====
c=.?
［点评］本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.
15.在△ABC中，A=120°,b=3,c=5.?
(1)求sinBsinC;?
(2)求sinB+sinC.?
［分析］已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sinB,sinC.?
［解析］（1）∵b=3,c=5,A=120°,?
∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA
=9+25-2×3×5×（-）=49.?
∴取正值a=7.?
由正弦定理，得sinB==,?
sinC=
∴sinBsinC=.?
(2)由（1）可得sinB+sinC=.
16.已知三角形的一个角为60°,面积为10cm2，周长为20cm，求此三角形各边长.
［解析］设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60°,则依题意，得?
a+b+c=20?
cos60°=
acsin60°=10,
a+b+c=20,①?
∴b2=a2+c2-ac，②?
ac=40.③
由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④?
将②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,?
再将③代入④，得a+c=13.?