每个老师不可缺少的课件是教案课件，大家在认真写教案课件了。只有写好教案课件计划，未来工作才会更有干劲！你们知道适合教案课件的范文有哪些呢？以下是小编为大家精心整理的“九年级数学圆复习学案”，希望能为您提供更多的参考。

九年级数学期末复习（4）---圆（2）

班级学号姓名

一、导学提纲

１.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ABC=30°，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D，则∠D=.

2.如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点C，使BC=OB，过点C作⊙O的切线CD，D为切点.判断△ACD的形状：.

第1题图第2题图

3.圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是________

4.用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为()

A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm

5.两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为.

6.用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为__cm．

7.如图，OA=OB=5㎝，AB=8㎝，⊙O的半径为3㎝．AB与⊙O相切吗？为什么？

8.圆锥母线长10cm，底面半径为6cm，那么它的侧面展形图的圆心角是多少度？

二、展示交流

1.如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，求证：PO⊥OQ

2.如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，已知AP=1cm，BQ=9cm，求⊙O的半径.

3.圆心角为120°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长.

4.若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，求其侧面展开图中扇形的圆心角的度数．M.JAb88.coM

5.如图，为⊙O的直径，为⊙O的切线，交⊙O于点，为上一点，．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

三、反馈练习

1.下列说法中，正确的是（）

A垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B圆有且只有一个外切三角形

C三角形有且只有一个内切圆D.三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等

2.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）

A60°B90°C120°D180°

3.圆锥的母线为13cm，侧面展开图的面积为65πcm2，则这个圆锥的高为

4.正十二边形的每一个外角为°每一个内角是°该图形绕其中心至少旋转°和自身重合

5.两圆的半径分别为10cm和R、圆心距为13cm，若这两个圆相切，则R的值是____.

6.两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．

7.如图：△ABC中，∠C＝900，点O在BC上，以OC为半径的半圆切AB于点E，交BC于点D,若BE＝4,BD＝2,求⊙O的半径和边AC的长．

8.两条边分别是6和8的直角三角形，求其内切圆的半径.

9.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．

（1求证：OD∥BE;

(2)求证:．

10.△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，∠A＝600，BC＝7,⊙O的半径为．

求△ABC的周长．

11.如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．(结果保留π)

12.如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的

延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=.

（1）求证：CD∥BF；

（2）求⊙O的半径；

（3）求弦CD的长.

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九年级数学竞赛圆与圆辅导教案

教案课件是每个老师工作中上课需要准备的东西，是认真规划好自己教案课件的时候了。只有规划好了教案课件新的工作计划，才能促进我们的工作进一步发展！你们知道多少范文适合教案课件？考虑到您的需要，小编特地编辑了“九年级数学竞赛圆与圆辅导教案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

【例题求解】

【例1】如图，⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙Ol经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=，那么∠BAF=度．

(重庆市中考题)

思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出∠DO2A的度数．

注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．

(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．

【例2】如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol与⊙O2的半径之比为()

A．2：5B．1：2C．1：3D．2：3

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．

【例3】如图，已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙Ol上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙Ol于点N．

(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E，求证：PA=PE；

(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．

(重庆市中考题)

思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PBPC=PDPA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．

【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2．

(1)求大圆半径长；

(2)求线段BF的长；

(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．

(宜宾市中考题)

思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．

注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．

【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为．

(1)试建立以为自变量的函数的解析式；

(2)求函数的最小值．

(太原市竞赛题)

思路点拨设两圆半径分别为R、r，对于(1)，，通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因=R+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围．

注：如图，半径分别为r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分别为两圆的公切线，OlO2与AB交于P点，则：

(1)AB=2；

(2)∠ACB=∠OlMO2=90°；

(3)PC2=PAPB；

(4)sinP=；

(5)设C到AB的距离为d，则．

学力训练

1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B两点，且⊙Ol经过点O2，若∠AOlB=90°，则∠AO2B的度数是．

2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围．

(2003年上海市中考题)

3．如图；⊙Ol、⊙O2相交于点A、B，现给出4个命题：

(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C，AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D，则AB2=BCBD；

(2)连结AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则OlO2=25cm；

(3)若CA是⊙Ol的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上，

(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙Ol于点C，直线CA交⊙O2于点E，连结DE，则DE2=DBDC，则正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．

(厦门市中考题)

4．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M，设⊙Ol的半径为，AM的长为，则与的函数关系是，自变量的取值范围是．

(昆明市中考题)

5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是()

A．2B．C．D．

6．如图，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点，且点Ol在⊙O2上，过A作⊙Oll的切线AC交BOl的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙Ol于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为()

A．B．C．D．

(武汉市中考题)

7．如图，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PBPC=OlAO2A．

上述结论，正确结论的个数是()

A．1B．2C．3D．4

(郴州市中考题)

8．两圆的半径分别是和r(Rr)，圆心距为d，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是()

A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切

(连云港市中考题)

9．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙Ol于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．

（1）求证：PC平分∠APD；

(2)求证：PDPA=PC2+ACDC；

(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．

10．如图，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙Ol于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙Ol的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．

(四川省中考题)

11．如图，已知A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点M是OlO2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙Ol、⊙O2于B、C．

(1)求证：AB=AC；

(2)若OlA切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=O1O2；

(3)在(2)的条件下，若dld2=1，设⊙Ol、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2=R2r2．

(山西省中考题)

12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．

(全国初中数学联赛试题)

13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．

(全国初中数学联赛试题)

14．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙Ol的圆心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙Ol与⊙O2的直径之比为()

A．2：7B．2：5C．2：3D．1：3

15．如图，⊙Ol与⊙O2相交，P是⊙Ol上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是()

A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，4

(安徽省中考题)

16．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立()

A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆

C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对

(太原市竞赛题)

17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙PP于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．

（1）求证：BC是⊙P的切线；

(2)若CD=2，CB=，求EF的长；

(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．

(青岛市中考题)

18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．

(1)若PC=PD，求PB的长；

(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；

(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．

请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．(浙江省嘉兴市中考题)

19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．

(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；

(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．

(全国初中数学联赛试题)

20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．

操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图)．

方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，

探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；

(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；

(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．

(大连市中考题)

九年级数学下册《点与圆的位置关系》复习学案

九年级数学下册《点与圆的位置关系》复习学案

学习目标：1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；

2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；

3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念

学习过程

一、点与圆的位置三种位置关系

生活现象：阅读课本P43—p44第一段，完成以下问题

1、在平面内，点和圆的位置关系有：

点在圆；点在圆；点在圆

2、判断点和圆的位置关系的方法：

设O的半径为r，点P到圆心O的距离为OP=d。

点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内；

二、多少个点可以确定一个圆

问题：在圆上的点有多个，那么究竟多少个点就可以确定一个圆呢？

试一试

第5课时点与圆的位置关系导学案画图准备：

1、圆的确定圆的大小，圆确定圆的位置；

也就是说，若如果圆的和确定了，

那么，这个圆就确定了。

2、如图2，点O是线段AB的垂直平分线

上的任意一点，则有OAOB图2

画图：

第5课时点与圆的位置关系导学案1、画过一个点的圆。

右图，已知一个点A，画过A点的圆．

小结：经过一定点的圆可以画个。

第5课时点与圆的位置关系导学案2、画过两个点的圆。

右图，已知两个点A、B，画过同时经过A、B两点的圆．

提示：画这个圆的关键是找到圆心，

画出来的圆要同时经过A、B两点，

那么圆心到这两点距离，可见，

圆心在线段AB的上。

小结：经过两定点的圆可以画个，但这些圆的圆心在线段的上

3、画过三个点（不在同一直线）的圆。

第5课时点与圆的位置关系导学案提示：如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，

而经过B、C两点所画的圆的圆心在

线段BC的垂直平分线上，此时，这

两条垂直平分线一定相交，设交点为O，

则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，

OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C

三点的圆．

小结：不在同一条直线上的三个点确定个圆．

在同一直线上的三点能作圆吗？

三、自学课本p45页最后一段并填空。

我们已经知道，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的．这个三角形叫做这个圆的．三角形的外心就是三角形交点．

第5课时点与圆的位置关系导学案如图：如果O经过ABC的三个顶点，

则O叫做ABC的，圆心O叫

做ABC的，反过来，ABC叫做

O的。

ABC的外心就是AC、BC、AB边的交点。

四．当堂检测

1、判断题

任意一个三角形一定有一个外接圆。（）

任意一个圆有且只有一个内接三角形（）

经过三点一定可以确定一个圆（）

三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。（）

2、填空

（1）在平面内，O的半径为5cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与O的位置关系是

（2）直角三角形ABC中，∠C=900，AC=3,BC=4,如果以点A为圆心，AC为半径作A，那么斜边中点D与A的位置关系是

（3）如图，ABC中，点O是它的外心，BC=24cm，点O到BC的A

距离是5cm，则ABC外接圆的半径是cm。

（4）、直角三角形的两条直角边分别是12cm、5cm，这个三角形的外接圆的半径是．

3、画图

在下图中，作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，从中发现什么规律？

五．本节课有哪些收获？

第5课时点与圆的位置关系导学案六．课后作业

1.如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米

（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

2.如上图矩形ABCD中，AB=3,BC=4,现以A为圆心，使B、C、D三点至少有一个在圆内，至少有一个在圆外，则A的半径r的取值范围是。

九年级数学圆的有关性质总复习

第24讲圆的有关性质
[锁定目标考试]

考标要求考查角度
1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.
[导学必备知识]
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1．圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧；
(3)________相等的两个圆是等圆；
(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．
二、垂径定理及推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．
2．推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________．
4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
四、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
自主测试
1．(2012重庆)如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为()
A．45°B．35°C．25°D．20°
2．(2012山东泰安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()
A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()
A．45°B．85°C．90°D．95°
4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
5．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝23，OC＝1，则半径OB的长为__________．
6．(2012山东青岛)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__________°.
[探究重难方法]

考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()
A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米
分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=12AB=3，CF=12CD=4，设OE=x，则OF=x-1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.
解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝12AB＝3，CF＝12CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4.
∴半径OA＝32＋42＝5.∴直径MN＝2OA＝10(分米)．
故选C．
答案：C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD．
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
解：(1)证明：∵AB＝BC，
∴＝.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC．
(2)由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB．
∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA．∴ABBE＝BDAB.
∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.
∴AB2＝BEBD＝3×9＝27.∴AB＝33.
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．
触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为()
A．40°B．50°C．80°D．90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝()
A．116°B．32°C．58°D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD．还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
答案：B
方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．
触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.
[品鉴经典考题]

1．(2012湖南湘潭)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()
A．20°B．40°C．50°D．80°
2．(2012湖南益阳)如图，点A，B，C在圆O上，∠A＝60°，则∠BOC＝__________.
3．(2012湖南娄底)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝__________.
4.(2012湖南长沙)如图，点A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD．
5.(2012湖南怀化)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD，DB．
(1)当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
(2)若AC＝23，求证：△ACD∽△OCB．
[研习预测试题]

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为()
A．5B．4C．3D．2
2.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()
A．12B．34C．32D．45
3.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()
A．16B．10C．8D．6
4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为()
A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位
5．如图，已知在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝________.
6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径等于________．
8.如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：
(1)△ABD为等腰三角形；
(2)ACAF=DFFE.
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)圆心半径
2．(1)线段(2)部分(3)半径(4)重合
二、1.平分平分
2．(1)不是直径(2)圆心两条
3．相等
三、1.相等相等
四、1.圆心圆相交
2．(1)弧(2)圆心角(3)相等相等(4)直角直径
导学必备知识
自主测试
1．A∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝45°.故选A.
2．D∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；
B为的中点，即CB＝DB，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，
∴△ACM≌△ADM(SAS)，
∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D.
3．B∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，
∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.
4．8如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm.
在Rt△AOD中，
∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)．
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
故答案为8.
5．2∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23，
∴BC＝12AB＝3.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，
OB＝OC2＋BC2＝12＋(3)2＝2.
故答案为2.
6．150因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.
探究考点方法
触类旁通1.24连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝OA2－OP2＝132－52＝12，所以AB＝24cm.
触类旁通2.B由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.
触类旁通3.48°因为的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.
品鉴经典考题
1．D∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝40°.
∴∠BOD＝2∠C＝2×40°＝80°.
2．120°∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°.
3．24°连接OB，∵CD⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝48°.
∴∠BDC＝12∠BOC＝12×48°＝24°.
4．(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于点D，∴OD＝12OB＝4.
5.(1)解：连接OA.
∵∠ADC=18°，
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)证明：过点O作OE⊥AB于点E.
在Rt△OBE中，OB＝4，∠OBC＝30°，
∴BE＝OBcos30°＝4×32＝23.
∵OE⊥AB，∴AB＝2BE＝43.
∵AC＝23，∴C，E重合．
∴∠ACD＝∠OCB＝90°，
∠AOC＝∠COB＝90°－∠OBC＝60°.
∴∠ADC＝12∠AOC＝30°.
∴∠ADC＝∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研习预测试题
1．C2.C3.A4.B
5．150°6.18°
7.52连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又∵∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD=AEAC.∵在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，
∴AD=4.∴AE=52.
8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，
∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴＝.
又∵BC＝AF，∴＝，∠CDB＝∠FDA，
∴＝，∴CD＝DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，
∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①
∠FAE＝∠BDE.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE＝CDAF，
∴ACAF＝CDFE.
而CD＝DF，∴ACAF＝DFFE.

文章来源：http://m.jab88.com/j/75474.html

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