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九年级数学重要复习资料：因式分解法九大方式

(一)运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式
1.平方差公式
(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解
1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法
我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.
原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以
原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)?(a+b).
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.
(六)提公因式法
1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.
2.运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：
1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.
2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;
②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.
3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.
(七)分式的乘除法
1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.
3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.
4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.
5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.
6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.
(八)分数的加减法
1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.
2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.
3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.
4.通分的依据：分式的基本性质.
5.通分的关键：确定几个分式的公分母.
通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.
6.类比分数的通分得到分式的通分：
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。
8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.
10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.
11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化.
12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.
(九)含有字母系数的一元一次方程
1.含有字母系数的一元一次方程
引例：一数的a倍(a≠0)等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程ax=b(a≠0)
在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

相关知识

九年级数学上册《因式分解法》知识点总结人教版

九年级数学上册《因式分解法》知识点总结人教版

21.2．3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求

两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，?,x1x2=22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间

的等量关系。

（2）设：是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等

含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4）解：就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6）答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

b

a

ca

（1）数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.（2）增长率问题

设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1?x）2=b。（3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率（4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分基础知识

1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y?ax2的性质

（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax2（a?0）.

中考数学因式分解复习

章节第一章课题
课型复习课教法讲练结合
教学目标（知识、能力、教育）1．了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）．
2.通过乘法公式，的逆向变形，进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力
教学重点掌握用提取公因式法、公式法分解因式
教学难点根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
教学媒体学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．分解因式：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式:；
完全平方公式:；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
（二）：【课前练习】
1.下列各组多项式中没有公因式的是（）
A．3x－2与6x2－4xB.3（a－b）2与11（b－a）3
C．mx—my与ny—nxD．ab—ac与ab—bc
2.下列各题中，分解因式错误的是（）

3.列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
4.分解因式：x2+2xy+y2－4=_____
5.分解因式：（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）以上三题用了公式
二：【经典考题剖析】
1.分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）
分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”
③注意，
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
2.分解因式：（1）；（2）；（3）
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。
3.计算：（1）
（2）
分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。
（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。
4.分解因式：（1）；（2）
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，
5.（1）在实数范围内分解因式：；
（2）已知、、是△ABC的三边，且满足，
求证：△ABC为等边三角形。
分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证，
从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式，
即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：
∴；即△ABC为等边三角形。
三：【课后训练】
1.若是一个完全平方式，那么的值是（）
A．24B．12C．±12D．±24
2.把多项式因式分解的结果是（）
A．B．C．D．
3.如果二次三项式可分解为，则的值为（）
A．－1B．1C．－2D．2
4.已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（）
A．61、63B．61、65C．61、67D．63、65
5.计算：1998×2002＝，＝。
6.若，那么＝。
7.、满足，分解因式＝。
8.因式分解：
（1）；（2）
（3）；（4）
9.观察下列等式：
……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来：。
10.已知是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴△ABC为Rt△。④
试问：以上解题过程是否正确：；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；错误原因是；本题结论应为。
四：【课后小结】
布置作业地纲
教后记

《因式分解》复习学案

每个老师不可缺少的课件是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。将教案课件的工作计划制定好，新的工作才会如鱼得水！你们会写一段适合教案课件的范文吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“《因式分解》复习学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

第3课时《因式分解》复习学案
班级：_________姓名：__________评价：__________
【考点扫描】
1.分解因式：．
2.下列式子中是完全平方式的是（）
A．B．C．D．
3．若．
4.分解因式：=。
5.分解因式:m2-n2+2m-2n＝.
6.分解因式:.
【例题精讲】
1、分解因式：
2、分解因式：=.
3、因式分解：___________________.
4、已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2（2）a2+b2

5、在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．
B．
C．
D．
【当堂检测】
一．选择题：
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）
A．B．
C．D．
2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）
A．x2–yB．x2+2xC．x2+y2D．x2–xy+y2
二．填空题：
（将下列各式因式分解）
1．=
2．．
3．=______________．
4．．
5．＝___________________.
6．若是一个完全平方式，则
三．解答题：
1．已知，，求的值。

2．如图所示，边长为的矩形，它的周长为14，面积为10，求的值．

【能力提升】
1．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状.
阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴△ABC为直角三角形。④
试问：以上解题过程是否正确：；
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；
错误原因是；
本题的结论应为.

文章来源：http://m.jab88.com/j/72021.html

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