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第8课时一元二次方程的应用（1）
一、学习目标会列出一元二次方程解应用题；
学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；
通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
二、知识回顾1．解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；
（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；
（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；
（4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；
（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（6）验：检验方程的解是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）．
三、新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤
审：指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；
设：指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量；
列：指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
解：指解方程，即求出所列方程的解；
验：指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%，等等．
答：写出答案．
列一元二次方程解应用题的常见题型
传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等．
四、典例探究

1．一元二次方程的应用——传播问题
【例1】（2014秋剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

总结：
传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播.
解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
练1．（2014秋集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？

2．一元二次方程的应用——增长率问题
【例2】（2015珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
总结：
增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.
若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前基数为a，增长（或降低）n次后的最后产量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注意1与x的位置不能调换.
增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．
练2．（2014秋丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？

3．一元二次方程的应用——与图形有关的问题
【例3】（2014秋番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米.

总结：
解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.
对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．
练3．（2014金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．
（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．
（2）怎样围能得到面积最大的草坪？

五、课后小测一、选择题
1．（2015山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）
A．39B．40C．50D．60
2．（2015兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）
A．5B．6C．7D．8
3．（2015泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%
4．（2015江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）
A．18元B．36元C．64元D．80元
5．（2015槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（）
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
6．（2014春信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有人被传染．
7．（2015春富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是．
8．（2015东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为m．

三、解答题
9．（2014襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

10．（2014东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

11．（2014泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？

12．（2014春淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．

13．（2014香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？

14．（2014红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？

15．（2014长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．

16．（2015赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有28块，白色瓷砖有42块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？

典例探究答案：
【例1】（2014秋剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=121，
x=10或x=﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；
（2）121+121×10=1331（人）．
答：第三轮后将有1331人被传染．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．
练1．（2014秋集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？
分析：设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．
解答：解：由题意，得
n+n2+1=111，
解得：n1=﹣11（舍去），n2=10．
故n的值是10．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．
【例2】（2015珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8，
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）.
答：增长率为20%；
（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36（万元）
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解．
练2．（2014秋丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
分析：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x），第二次后的价格是60（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答：解：设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
60（1﹣x）2=48.6，
解方程得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
答：平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用﹣﹣增长率（下降率）问题，关键是读懂题意，掌握公式：“a（1±x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．
【例3】（2014秋番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的六块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米？
分析：试验田的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．
解答：解：设道路为x米宽，
由题意得20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=504，
整理得x2﹣36x+68=0，
解得x=2，x=34，
经检验x=2，x=34都是原方程的解，但是x=34＞20，因此不合题意舍去．
答：每条道路的宽度为2m．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外应熟悉以下关系：整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．本题也可通过平移，把分散的小路集中到一起，得到的试验田为一个矩形，由此可得出方程（x-2x）（20-x）=504，并求解.
练3．（2014金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．
（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．
（2）怎样围能得到面积最大的草坪？
分析：（1）可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解；
（2）根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪．
解答：解：（1）设矩形草坪BC边的长为x米，则
x=120，
解得x1=12，x2=20（舍去）．
故该矩形草坪BC边的长为12米，．
（2）s=x=﹣x2+16x=﹣（x﹣16）2+128，
故当矩形草坪长为16米，宽为8米的时候，所围的草坪面积最大．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．（2015山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）
A．39B．40C．50D．60
解：设九（1）班共有x人，根据题意得：
x（x﹣1）=780，
解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），
答：九（1）班共有40名学生．
故选B．
2．（2015兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）
A．5B．6C．7D．8
解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，
解得：x=6或x=﹣8（舍去），
则x的值为6．
故选：B．
3．（2015泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%
解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）x%，
故选D
4．（2015江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）
A．18元B．36元C．64元D．80元
解：∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，
∴降价后的药品价格为100（1﹣36%）=64元，
设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
100（1﹣x）2=64，
解方程得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去），
第一次降价的价格为100×（1﹣20%）=80元．
故选D．
5．（2015槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（）
A．7B．6C．5D．4
解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，
根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]=24，
解得：x=6或x=﹣2（舍去），
故选B．
二、填空题
6．（2014春信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有648人被传染．
解：设一个患者一次传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=81，
解得：x1=8，x2=﹣10（舍去），
第三轮被传染的人数是：81×8=648人．
故答案为：648．
7．（2015春富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是20%．
解：设平均每次下调的百分率是x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
故答案为：20%．
8．（2015东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为2m．
解：设路的宽度是xm．根据题意，得
（40﹣2x）（26﹣x）=864，
x2﹣46x+88=0，
（x﹣2）（x﹣44）=0，
x=2或x=44（不合题意，应舍去）．
答：路的宽度是2m．
三、解答题
9．（2014襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
答：每支支干长出9个小分支．
10．（2014东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=49
x=6或x=﹣8（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人；
（2）49×6=294（人）．
答：第三轮将又有294人被传染．
11．（2014泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．
根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，
解得x1=0.1，x2=﹣3.1（不合题意，舍去）．
答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．
12．（2014春淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
20（1﹣x）2=12.8
解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意舍去）．
答：每次降价的百分率为：20%．
13．（2014香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？
解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．
根据题意得：5000（1+x）2=7200，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，
则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．
答：预测2014年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．
14．（2014红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？
解：设道路的宽应为x米．由题意得：
（80﹣x）（60﹣x）=4524，
化简得：x2﹣140x+276=0，
解得：x1=2，x2=138（不符合题意舍去）．
答：道路的宽应为2米．
15．（2014长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
解：设小路的宽为x米，根据题意得：（40﹣2x）（60﹣2x）=800，
解得：x=10或x=40（舍去）
答：小路的宽为10米．
16．（2015赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有28块，白色瓷砖有42块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
解：（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；
当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；
当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块；
则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），
当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；
故答案为：28，42；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：
0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，
解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去），
白色瓷砖块数为n（n+1）=240，
黑色瓷砖块数为4（n+1）=64，
所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元．
答：每间教室瓷砖共需要5440元．

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一元二次方程的应用学案

每个老师为了上好课需要写教案课件，大家在认真写教案课件了。我们要写好教案课件计划，这对我们接下来发展有着重要的意义！你们会写多少教案课件范文呢？以下是小编收集整理的“一元二次方程的应用学案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系.

2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.

学习过程：

前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。

想一想，列方程解应用题的关键是什么？

一.自主学习

例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？

分析：这个问题中的等量关系是：

解：

例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？

解：设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长____m.

根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.

解这个方程，得＝，＝

根据题意，舍去_________________.

所以，花圃的宽是________m.

二.对应练习

1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48.求原正方形木板的面积.

2.有一块矩形的草坪，长比宽多4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽.

三.当堂检测

1.两个数的和是20，积是51，求这两个数.

2.如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发，

以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，

他们之间的直线距离仍然是1000？

解一元二次方程——配方法导学案（新版新人教版）

第3课时解一元二次方程-配方法
一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；
2．学会利用配方法解一元二次方程.
二、知识回顾1．形如(≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.
2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x＝±或mx＋n=±．
三、新知讲解1．配方法的依据
配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．
2．配方法的步骤
（1）化——化二次项系数为1
如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.
（2）移——移项
通过移项使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.
（3）配——配方
在方程两边都加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式把原方程变为(≥0)的形式．
（4）解——用直接开平方法解方程.
四、典例探究
1．配方法解一元二次方程
【例1】（2015科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把二次项的系数化为1；
（2）把常数项移到等号的右边；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法解这个方程.
练1用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.

2．用配方法求多项式的最值
【例2】（2015春龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．

总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.
练2（2014甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

练3（2014秋崇州市期末）已知a、b、c为△ABC三边的长．
（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．

五、课后小测一、选择题
1．（2015延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（）
A．（x+1）2+4B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4D．（x+1）2+2
2．（2015东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）
A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17
二、填空题
3．（2015春盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a=．
4．（2014秋营山县校级月考）当x=时，代数式3x2﹣6x的值等于12．
三、解答题
5．（2015东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

6．（2013秋安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？

7．（2014秋蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小华：能．求解过程如下：
因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7
而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
问题：
（1）小华的求解过程正确吗？
（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．

8．（2014秋安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值为4
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．

9．（2014春乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．

10．（2014秋江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a=﹣1．
①当x=时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．
②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．
③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

典例探究答案：
【例1】【解析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．
故选：B．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
练1．【解析】（1）移项，得x2﹣2x=24，
配方，得：x2﹣2x+1=24+1，
即：（x﹣1）2=25，
开方，得：x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
（2）两边除以3，得：,
移项，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：
∴
（3）整理，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得：
∴
点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．
解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．
练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；
（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．
解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
∵a、b、c为△ABC三边的长，
∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，
∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形．
点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．

课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．
解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．
故选：B．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
2．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．
解：移项，得x2﹣8x=1，
配方，得x2﹣8x+16=1+16，
即（x﹣4）2=17．
故选A．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．
二、填空题
3．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．
解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；
故答案为：9．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．
解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，
开方得：x﹣1=±，
解得：x=1±．
故答案为：1±．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题
5．【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
6．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．
解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3
=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，
当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．
点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．
解：（1）正确
（2）能．过程如下：
x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+
∵（x﹣）2≥0，
所以x2﹣3x+4的最小值是．
点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．
8．【解析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5．
点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．【解析】先将原式变形为x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．
解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．
∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，
∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23
解得m=﹣2或m=
点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．
10．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；
②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；
③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．
解：①∵（x﹣1）2≥0，
∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，
则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；
②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，
则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；
③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
故答案为：①1；大；3；②2；大；7
点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

一元二次方程导学案

第1课时一元二次方程
一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；
3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；
4．理解一元二次方程根的概念．
二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是三次二项式，其中最高次项是3x2y，二次项系数为0，一次项系数为-2，常数项是-1．
2．含有未知数的等式叫方程，我们学过的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．
三、新知讲解1．一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分.如果明确了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．
3．一元二次方程的根的概念
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．
概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
四、典例探究

1．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程
【例1】（2015浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2+2x﹣y=3B．C．（3x2﹣1）2﹣3=0D．x2﹣8=x
总结：一元二次方程必须满足四个条件：
是整式方程；
含有一个未知数；
未知数的最高次数是2；
二次项系数不为0.
练1（2015科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a=时，方程是一元二次方程；当a=时，方程是一元一次方程．

2．把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）
【例2】（2014秋忠县校级期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）
（1）特别要注意a≠0的条件；
（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．
练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．

练3（2014东西湖区校级模拟）将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（）
A．5，81B．5，﹣81C．﹣5，81D．5x，﹣81

3．根据一元二次方程的根求参数
【例3】（2015临淄区校级模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m的值为（）
A．1B．0C．1或2D．2
总结：
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.
可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.
若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.
练4（2014绵阳模拟）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=．
练5（2015绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=．
五、课后小测一、选择题
1．（2015春莒县期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）
A．ax2+bx+c=0B．x+y=2C．x2+3y﹣5=0D．x2﹣1=0
2．（2014泗县校级模拟）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2014秋沈丘县校级期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）
A．a≠0B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
4．（2015石河子校级模拟）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）
A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，2
5．（2015石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）
A．0B．﹣C．D．0或，
6．（2014祁阳县校级模拟）已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是（）
A．B．﹣
C．±D．以上答案都不对
7．（2014秋南昌期末）关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
二、填空题
8．（2015东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．
9．（2014秋西昌市校级期中）方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
10．（2015厦门校级质检）若m是方程x2﹣2x=2的一个根，则2m2﹣4m+2010的值是．
三、解答题
11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）5x2=3x；
（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；
（3）（7x﹣1）2﹣3=0；
（4）（﹣1）（+1）=0；
（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．

12．（2015春亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．

13．（2015春嵊州市校级月考）已知，下列关于x的一元二次方程
（1）x2﹣1=0（2）x2+x﹣2=0（3）x2+2x﹣3=0…（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．
（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．

14．关于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少．

典例探究答案：
【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；
B、不是整式方程，故选项错误；
C、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．
解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．
当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．
故答案是：﹣1；1．
点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．
故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．
去括号，得x2-x=5x－10.
移项、合并同类项，
得x2-6x＋10=0．
其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．
练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，
二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，
故选：B．
点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．
解：∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，
∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．
练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．
解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0，即a=±1；
∵a+1≠0，∴a≠﹣1；
∴a=1．
练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案为：26．
点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．

课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．
解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；
C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．
解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．
故选：B．
点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
3．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
4．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

5．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，
故选：D．
点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．
6．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．
解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，
∴3×32+2a×3﹣3a=0，
解得：a=﹣9，
则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，
解得y=．
故选：C．
点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．
7．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．
解：A、当x=1时，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当x=﹣1时，k+2+k﹣2=0，所以当k=0时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；
C、当x=2时，4k+8﹣2k﹣2=0，所以当k=﹣3时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为2，所以C选项错误；
D、当x=﹣2时，4k+8+2k﹣2=0，所以当k=﹣1时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
二、填空题
8．【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．
解：根据题意得m﹣2≠0，
所以m≠2．
故答案为：m≠2．
点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．
点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号
10．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2，再变形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得m2﹣2m=2，
所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．
故答案为2014．
点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
三、解答题
11．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，
二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；
（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，
二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；
（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，
二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；
（4）方程整理得：x2﹣1=0，
二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；
（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，
二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．
点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．【解析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
当m=1时，5x=0，
解得x=0．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
13．【解析】（1）利用因式分解法分别求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程（n）的根；
（2）观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．
解：（1）（1）x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1；
（2）x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；
（3）x2+2x﹣3=0，
（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=1；
…
猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；
（2）上述几个方程都有一个公共根是1．
点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．
14．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．
解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，
则方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．
点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

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