古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？下面是小编精心为您整理的“函数的奇偶性”，希望对您的工作和生活有所帮助。

课题：1.3.2函数的奇偶性
一、三维目标：
知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。
情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
二、学习重、难点：
重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
三、学法指导：
学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。
四、知识链接：
1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义：

2.分别画出函数f(x)=x3与g(x)=x2的图象,并说出图象的对称性。
五、学习过程：
函数的奇偶性：
（1）对于函数，其定义域关于原点对称：
如果______________________________________，那么函数为奇函数；
如果______________________________________，那么函数为偶函数。
（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。
（3）奇函数在对称区间的增减性；偶函数在对称区间的增减性。
六、达标训练：
A1、判断下列函数的奇偶性。
（1）f（x）＝x4；（2）f（x）＝x5；

（3）f（x）＝x＋（4）f（x）＝

A2、二次函数()是偶函数,则b=___________.
B3、已知，其中为常数，若，则
_______.
B4、若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）
（A）轴对称（B）轴对称（C）原点对称（D）以上均不对
B5、如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_____.
C6、若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当
时，=_______.
D7、设是上的奇函数，，当时，，则等于（）
（A）0.5（B）（C）1.5（D）
D8、定义在上的奇函数，则常数____,_____.

七、学习小结：
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。

八、课后反思：m.JaB88.COm

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函数的奇偶性教案

函数的奇偶性
学习目标1.函数奇偶性的概念
2.由函数图象研究函数的奇偶性
3.函数奇偶性的判断
重点：能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性
难点：理解函数的奇偶性
知识梳理：
1.轴对称图形：
2中心对称图形：
【概念探究】
1、画出函数，与的图像；并观察两个函数图像的对称性。
2、求出，，时的函数值，写出，。

结论：，。
3、奇函数：___________________________________________________
4、偶函数：______________________________________________________
【概念深化】
（1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。
（2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。
5、奇函数与偶函数图像的对称性：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于轴对称，则这个函数是___________。
6.根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.

题型一：判定函数的奇偶性。
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）（2）（3）
（4）（5）

练习：教材第49页，练习A第1题
总结：根据例题，你能给出用定义判断函数奇偶性的步骤？
题型二：利用奇偶性求函数解析式
例2：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x(1-x),求当时f(x)的解析式。
练习：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x|x-2|,求当x0时f(x)的解析式。
已知定义在实数集上的奇函数满足：当x0时，，求的表达式
题型三：利用奇偶性作函数图像
例3研究函数的性质并作出它的图像

练习：教材第49练习A第3，4，5题，练习B第1，2题

当堂检测
1已知是定义在R上的奇函数，则（D）
A.B.C.D.
2如果偶函数在区间上是减函数，且最大值为7，那么在区间上是（B）
A.增函数且最小值为-7B.增函数且最大值为7
C.减函数且最小值为-7D.减函数且最大值为7
3函数是定义在区间上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（C）
A.B.C.D.
4已知函数为奇函数，若，则-1
5若是偶函数，则的单调增区间是
6下列函数中不是偶函数的是（D）
ABCD
7设f(x)是R上的偶函数，切在上单调递减，则f（-2），f(-),f(3)的大小关系是（A）
ABf(-)f（-2）f(3)Cf(-)f(3)f（-2）Df(-)f（-2）f(3)
8奇函数的图像必经过点（C）
A(a,f(-a))B(-a,f(a))C(-a,-f(a))D(a,f())
9已知函数为偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是（A）
A0B1C2D4
10设f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)=,则f(-2)=_-5__
11若f(x)在上是奇函数，且f(3)f（1），则f(-3)___f（-1）

12.解答题
用定义判断函数的奇偶性。

13定义证明函数的奇偶性
已知函数在区间D上是奇函数，函数在区间D上是偶函数，求证：是奇函数
14利用函数的奇偶性求函数的解析式：
已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，求这个函数在区间上的解析表达式。

函数单调性与奇偶性

函数单调性与奇偶性

教学目标
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.

教学建议

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

三、教法建议

（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.

（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.

函数的奇偶性教学设计方案

教学目标

1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

难点是对概念的认识

教学用具

投影仪,计算机

教学方法

引导发现法

教学过程

一.引入新课

前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)

结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?

学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二.讲解新课

2.函数的奇偶性(板书)

教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?

学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)

从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)

(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)

提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)

学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)

(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)

例1.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求学生口答,选出1-2个题说过程)

解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.

(3),是偶函数.

前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)

从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)

证明:既是奇函数也是偶函数,

=,且,

=.

,即.

证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)

例3.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);(3).

由学生回答,不完整之处教师补充.

解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.

(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.

(3)当时,于是,

当时,,于是=,

综上是奇函数.

教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.

三.小结

1.奇偶性的概念

2.判断中注意的问题

四.作业略

五.板书设计

2.函数的奇偶性例1.例3.

(1)偶函数定义

(2)奇函数定义

(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结

具备奇偶性的必要条件

(4)函数按奇偶性分类分四类

探究活动

(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?

(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.

在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:

设为三角形的三条边,求证:.

1.3.2函数的奇偶性教学设计

§1.3.2函数的奇偶性

教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）学会判断函数的奇偶性．

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

教学过程：一：引入课题

1．实践操作：（也可借助计算机演示）

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．

2．观察思考

（一）函数的奇偶性定义

象上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．

1．偶函数（evenfunction）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2．奇函数（oddfunction）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）典型例题

1．判断函数的奇偶性

例1．（例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．例2．（习题1．3B组每1题）说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．2．利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）规律：偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．3．函数的奇偶性与单调性的关系

（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．

例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

一、归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．二、作业布置

1．书面作业：课本P46习题1．3（A组）第9、10题，B组第2题．2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：1；23；4（）3．课后思考：已知是定义在R上的函数，设，1试判断的奇偶性；2试判断的关系；3由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．

奇偶性

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？小编经过搜集和处理，为您提供奇偶性，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

§1.3.2奇偶性
一、内容与解析
（一）内容：奇偶性。
（二）解析：函数奇偶性是用代数方法研究函数图象整体对称性，是学生在学习了函数的概念和单调性的基础上学习的又一个重要性质，所以对本节课的理解与掌握对巩固前面学习的知识，以及为后面进一步学好指数函数、对数函数、三角函数等内容都具有十分重要的意义。
二、目标及其解析：
（一）教学目标
（1）函数奇偶性的概念和判定；
（二）解析
（1）根据高一学生的认知规律和特点，按照“由具体到抽象”和“抓联系、促迁移”的原则进行教学，使学生体验类比思想、数形结合思想在认识函数中的作用，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，具体来讲就是要经历概念教学的四个阶段：第一阶段：感性认识阶段，即通过分析问题情景中的生活实例与数学实例等素材，分解内含属性，找出共同属性；第二阶段：分化本质属性阶段，即舍弃非本质属性，从共同属性中抽象出结构上的本质属性，迁移到研究函数图象的对称性问题中；第三阶段：概括形成定义阶段：即通过“图像语言→自然语言→数学语言→符号语言”的迁移，刻画函数奇偶性的特征，得到定义；第四阶段：应用于强化阶段，即通过例习题的教与学说明如何用定义进行判定和证明函数的奇偶性，并挖掘要注意的问题，从而感悟概念的内涵与外延。。
三、问题诊断分析
函数奇偶性的判断，一个重要的依据就是定义，学生容易出现的问题的没有考虑函数的定义域，从而导致错误。
四、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
（一）研探新知：
（1）奇偶函数的定义：
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
思考：判断函数的奇偶性．
解析：函数是非奇非偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
温馨提示：
①定义中的“定义域内的任意一个”说明：函数的奇偶性是函数的整体性质，而非同单调性的区间性质；
②定义中的“都有”说明：函数具有奇偶性必须首先满足一个先决条件，即对于定义域内的任意一个，也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数，其中，函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性．
④等式的等价形式：
．；
.
据此，可把逻辑推理转换为代数运算.
（2）奇偶函数的图象特征：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
思考：函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝.
解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
温馨提示：若一个函数的图象关于轴对称，则此函数是偶函数；若关于原点对称，则为奇函数.
（3）奇偶性性质：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域（非空）上：
奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
②已知函数是奇函数，且有定义，则.
设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会运用定义解题的基本方法。
（二）类型题探究
题型一函数的奇偶性的判定
例1．判断下列函数的奇偶性
（1）；
（2）
思路分析：根据定义，先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）函数的定义域为，所以解析式可以化简为，
因为
所以，函数在上为奇函数。
（2）当＞0时，－＜0，于是
；
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R*上是奇函数．
规律总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论.
误区警示：第（1）题中，若忽略定义域的求解，就不能有效化简函数式，会错误的认为函数不具备奇偶性；第（2）题中，往往忽略或不能准确讨论自变量的取值范围。
题型二函数的奇偶性的性质
例2.辨析正误
(1)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
(2)已知函数是奇函数或偶函数，方程=0有实根，那么方程=0的所有实根之和为零。
思路分析：函数的一般性性质辨析题可从反例、特例入手解决。
解：（1）错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数或偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,，，可以看出函数都是定义域上的奇函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
（2）正确。方程=0的实数根即为函数与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若，则。
误区警示：在处理奇、偶函数的和差积商的属性时，易忽略定义域的判定，导致错误解答与应用.
题型三利用函数的奇偶性求解析式中的参数
例3.设函数为奇函数，则实数______________。
思路分析：借助奇偶性的定义，利用对应相等可以准确解决问题.
解1：，
即，.
解2：
，即，，
经验证适合题意.
解3：
，，经验证适合题意.
规律总结：
利用函数奇偶性求解析式中的参数的思路：
①定义法；准确但不快捷；
②特值法：快捷但不准确，必须加以验证.
(三）小结：
六、目标检测
目标检测一
1.下列图象表示的函数中具备奇偶性的是（B）
2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(C)
（A）3（B）－3（C）2（D）7
3.在定义域为（a0）内，函数、均为奇函数，则为（A）
（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）无法判断奇偶性
4.以下四个函数：（1）；（2）；（3）；
（4），其中奇函数是（1），偶函数是（3），非奇非偶函数是（4），即奇又偶函数是（2）.
5.函数在[－5，5]上为奇函数，其在[0，5]上的图象如图所示，则使0的x的取值范围为
6.函数在实数集上是奇函数，则a=0.
7.已知是定义在R上的函数，设，
⑴试判断的奇偶性；⑵试判断的关系；
⑶由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
解析：⑴利用奇偶性的定义可得：分别为偶函数与奇函数；
⑵；
⑶定义在R上任何一个函数均可分解为一个奇函数与一个偶函数的和的形式.
目标检测二
1.函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)，其定义域为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是(D)
（A）{x|－1≤x≤1且x≠0}
（B）{x|－1≤x0}
（C）{x|－1≤x0或12x≤1}
（D）{x|－1≤x—12或0x≤1}
2.已知对任意实数都成立，则函数是（A）
（A）奇函数（B）偶函数
（C）可以是奇函数也可以是偶函数（D）不能判定奇偶性
解析：显然的定义域是，它关于原点对称．在中，
令，得，令，得，
∴，∴，即，∴是奇函数．
3.设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（A）
（A）（B）（C）（D）
4.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________________.
解析：由于f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，
f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，
∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b＝－2，又其最大值为4，
∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.
5.定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。
解析：，因为函数为奇函数，所以，又因为函数在上是减函数，
所以，解之得a无解.

文章来源：http://m.jab88.com/j/6040.html

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