教学设计
1.3.2奇偶性
作者:韩双影
整体设计
教学分析
本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法,即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念.因此教学时,充分利用信息技术创设教学情境,会使数与形的结合更加自然.
值得注意的问题:对于奇函数,教材在给出的表格中留出大部分空格,旨在让学生自己动手计算填写数据,仿照偶函数概念建立的过程,独立地去经历发现、猜想与证明的全过程,从而建立奇函数的概念.教学时,可以通过具体例子引导学生认识,并不是所有的函数都具有奇偶性,如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数,可以通过图象看出也可以用定义去说明.
三维目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.
重点难点
教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.同学们,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(学生举例,再在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立平面直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?(学生发现:图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多,这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.
思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义,请同学们观察图形,说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性?引出课题:函数的奇偶性.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)如图1所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.
图1
(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?
表1
x-3-2-10123
f(x)=x2
表2
x-3-2-10123
f(x)=|x|
(3)请给出偶函数的定义.
(4)偶函数的图象有什么特征?
(5)函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗?
(6)偶函数的定义域有什么特征?
(7)观察函数f(x)=x和f(x)=1x的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质?
活动:教师从以下几点引导学生:
(1)观察图象的对称性.
(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后,教师指出:这样的函数称为偶函数.
(3)利用函数的解析式来描述.
(4)偶函数的性质:图象关于y轴对称.
(5)函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立.
(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.
(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称,再列表格观察自变量互为相反数时,函数值的变化情况,进而抽象出奇函数的概念,再讨论奇函数的性质.
给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;②由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);③具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;④可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.
讨论结果:(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
(2)
表1
x-3-2-10123
f(x)=x29410149
表2
x-3-2-10123
f(x)=|x|3210123
这两个函数的解析式都满足:
f(-3)=f(3);
f(-2)=f(2);
f(-1)=f(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).
(3)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
(4)偶函数的图象关于y轴对称.
(5)不是偶函数.
(6)偶函数的定义域关于原点对称.
(7)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.
应用示例
思路1
例1判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+1x;
(4)f(x)=1x2.
活动:学生思考奇偶函数的定义,利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x),
所以函数f(x)=x4是偶函数.
(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以函数f(x)=x5是奇函数.
(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+1-x=-x+1x=-f(x),
所以函数f(x)=x+1x是奇函数.
(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x),所以函数f(x)=1x2是偶函数.
点评:本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,对定义域内任意x,其相反数-x也在函数的定义域内,此时称为定义域关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系;
③作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
变式训练
设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
解析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;
B中设F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(-x)|f(x)|,此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;
C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数;
D中设F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.
答案:D
例2已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=__________.
活动:学生思考偶函数的解析式的性质,考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值,转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x),将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值,转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.
解析:当x∈(0,+∞)时,则-x<0.
又∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,
∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.
答案:-x-x4
点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性,将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.
变式训练
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+3x,求f(x).
解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;
当x<0时,-x>0,由于函数f(x)是奇函数,则
f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3-x]=-x2+3x,
综上所得,f(x)=
思路2
例1判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2x4,x∈[-1,2];
(2)f(x)=x3-x2x-1;
(3)f(x)=x2-4+4-x2;
(4)f(x)=1+x2+x-11+x2+x+1.
活动:学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R,有1+x2>x2=|x|≥-x,则1+x2+x>0.则函数的定义域是R.
解:(1)∵它的定义域关于原点不对称,∴函数f(x)=2x4,x∈[-1,2]既不是奇函数也不是偶函数.
(2)∵它的定义域为{x|x∈R,且x≠1},并不关于原点对称,∴函数f(x)=x3-x2x-1既不是奇函数也不是偶函数.
(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,
∴x=±2,
即f(x)的定义域是{-2,2}.
∵f(2)=0,f(-2)=0,
∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(2).
∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).
∴f(x)既是奇函数也是偶函数.
(4)函数的定义域是R.
∵f(-x)+f(x)
=1+x2-x-11+x2-x+1+1+x2+x-11+x2+x+1
=1+x2-(x+1)2+1+x2-(x-1)2(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)
=1+x2-x2-2x-1+1+x2-x2+2x-1(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)
=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
点评:本题主要考查函数的奇偶性.
定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等;(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数;(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数;(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.
判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
变式训练
函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+∞)上一定()
A.有最小值B.有最大值
C.是减函数D.是增函数
解析:函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,
由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,
所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,
即a<1.g(x)=f(x)x=x+ax-2,
下面用定义法判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
设1<x1<x2,
则g(x1)-g(x2)=(x1+ax1-2)-x2+ax2-2
=(x1-x2)+ax1-ax2
=(x1-x2)1-ax1x2
=(x1-x2)x1x2-ax1x2.
∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0.
又∵a<1,∴x1x2>a.
∴x1x2-a>0.
∴g(x1)-g(x2)<0.
∴g(x1)<g(x2).
∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值.
答案:D
例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1,
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)试比较f-52与f74的大小.
活动:(1)转化为证明f(-x)=f(x),利用赋值法证明f(-x)=f(x);(2)利用定义法证明单调性,证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小,利用函数的奇偶性,将函数值f-52和f74转化为同一个单调区间上的函数值.
(1)证明:令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
令x1=x2=-1,得f(1)=f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.
∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.
(2)证明:设x2>x1>0,则
f(x2)-f(x1)=fx1x2x1-f(x1)=f(x1)+fx2x1-f(x1)=fx2x1.
∵x2>x1>0,∴x2x1>1.∴fx2x1>0,即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:由(1)知f(x)是偶函数,则有f-52=f52.
由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f52>f74.∴f-52>f74.
点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
变式训练
已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
分析:(1)利用赋值法,令x=y=1得f(1)的值,令x=y=-1,得f(-1)的值;(2)利用定义法证明f(x)是奇函数,要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).
解:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1时,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1).
∴f(1)=0.
∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1).∴f(-1)=0.
(2)是奇函数.
∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).
将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
知能训练
课本本节练习,1,2.
【补充练习】
1.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=__________.
解析:∵函数y=f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).
∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2[f(1)+f(2)]=-6.∴f(1)+f(2)=-3.
答案:-3
2.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=__________,b=__________.
解析:∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1+2a=0.∴a=13.
∴f(x)=13x2+bx+1+b.又∵f(x)是偶函数,∴b=0.
答案:130
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为()
A.-1B.0C.1D.2
解析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
∴f(6)=0.故选B.
答案:B
拓展提升
问题:基本初等函数的奇偶性.
探究:利用判断函数的奇偶性的方法:定义法和图象法,可得
正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;
反比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;
一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时是奇函数,当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当b=0时是偶函数,当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
作业
课本习题1.3A组6,B组3.
设计感想
单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,而本节设计的题目不多,因此,在实际教学中,教师可以利用课余时间补充,让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中,注意培养学生的综合应用能力,以便满足高考要求.
备课资料
奇、偶函数的性质
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立.
(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数;如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同,那么复合函数y=f[g(x)]是偶函数,如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反,那么复合函数y=f[g(x)]是奇函数,简称为“同偶异奇”.
(6)如果函数y=f(x)是奇函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性;如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=f(x)-f(-x)2+f(x)+f(-x)2.
(8)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0;
若函数f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).
若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则有f(x)=0.
课题:1.3.2函数的奇偶性
一、三维目标:
知识与技能:使学生理解奇函数、偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法:通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。
情感态度与价值观:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质。
二、学习重、难点:
重点:函数的奇偶性的概念。
难点:函数奇偶性的判断。
三、学法指导:
学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固。
四、知识链接:
1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义:
2.分别画出函数f(x)=x3与g(x)=x2的图象,并说出图象的对称性。
五、学习过程:
函数的奇偶性:
(1)对于函数,其定义域关于原点对称:
如果______________________________________,那么函数为奇函数;
如果______________________________________,那么函数为偶函数。
(2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称。
(3)奇函数在对称区间的增减性;偶函数在对称区间的增减性。
六、达标训练:
A1、判断下列函数的奇偶性。
(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+(4)f(x)=
A2、二次函数()是偶函数,则b=___________.
B3、已知,其中为常数,若,则
_______.
B4、若函数是定义在R上的奇函数,则函数的图象关于()
(A)轴对称(B)轴对称(C)原点对称(D)以上均不对
B5、如果定义在区间上的函数为奇函数,则=_____.
C6、若函数是定义在R上的奇函数,且当时,,那么当
时,=_______.
D7、设是上的奇函数,,当时,,则等于()
(A)0.5(B)(C)1.5(D)
D8、定义在上的奇函数,则常数____,_____.
七、学习小结:
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。
八、课后反思:
教学目标
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学建议
一、知识结构
(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义,单调区间的概念函数的单调性的判定方法,函数单调性与函数图像的关系.
(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义,函数奇偶性的判定方法,奇函数、偶函数的图像.
二、重点难点分析
(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
三、教法建议
(1)函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.
(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.
函数的奇偶性教学设计方案
教学目标
1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.
3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.
教学重点,难点
重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
难点是对概念的认识
教学用具
投影仪,计算机
教学方法
引导发现法
教学过程
一.引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.
对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?
(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?
学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.
二.讲解新课
2.函数的奇偶性(板书)
教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.
(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)
(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)
提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.
(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)
(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)
例1.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);
(3);;
(5);(6).
(要求学生口答,选出1-2个题说过程)
解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.
(3),是偶函数.
前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题,指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)
从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.
教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?
可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)
由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.
经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?
例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)
证明:既是奇函数也是偶函数,
=,且,
=.
,即.
证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)
例3.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);(3).
由学生回答,不完整之处教师补充.
解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.
(3)当时,于是,
当时,,于是=,
综上是奇函数.
教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.
三.小结
1.奇偶性的概念
2.判断中注意的问题
四.作业略
五.板书设计
2.函数的奇偶性例1.例3.
(1)偶函数定义
(2)奇函数定义
(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结
具备奇偶性的必要条件
(4)函数按奇偶性分类分四类
探究活动(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?
(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.
在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:
设为三角形的三条边,求证:.
一名优秀的教师就要对每一课堂负责,作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境,帮助高中教师缓解教学的压力,提高教学质量。高中教案的内容具体要怎样写呢?下面是由小编为大家整理的“《函数的奇偶性》教案”,欢迎阅读,希望您能阅读并收藏。
《函数的奇偶性》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解函数的奇偶性及其几何意义.
【过程与方法】
利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题.
【情感态度与价值观】
体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重难点
【重点】
函数的奇偶性及其几何意义
【难点】
判断函数的奇偶性的方法与格式.
三、教学过程
(一)导入新课
取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题:
1以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形;
问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?
答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于y轴对称;
(2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等.
(二)新课教学
1.函数的奇偶性定义
像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数,操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.
(1)偶函数(evenfunction)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(学生活动):仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
(2)奇函数(oddfunction)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:
1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
2.具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
3.典型例题
(1)判断函数的奇偶性
例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论,师生共同总结具体方法步骤)
解:(略)
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
(三)巩固提高
1.教材P46习题1.3B组每1题
解:(略)
说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数.
2.利用函数的奇偶性补全函数的图象
(教材P41思考题)
规律:
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据.
(四)小结作业
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
课本P46习题1.3(A组)第9、10题,B组第2题.
四、板书设计
函数的奇偶性
一、偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
二、奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
三、规律:
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
文章来源:http://m.jab88.com/j/13146.html
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