课题：一元二次方程根与系数的关系
教学目标1．知识与技能
（1）能够理解一元二次方程根与系数的关系。．
（2）能够应用一元二次方程根与系数的关系解决生活中的问题。
2．过程与方法
先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点教学重点：能够理解一元二次方程根与系数的关系。
教学难点：能够应用一元二次方程根与系数的关系解决生活中的问题。
教学过程
一、课前回顾
（2分钟）
学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。列方程解应用题的一般步骤
(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．
(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.的根的判别式是什么
3.一元二次方程的求根公式是什么？
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
一、情境引入（3分钟）
由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣
如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
二、探究1（10分钟）
如果一元二次方程的两个根分别是、，
能用这个结论的前提条件为△≥0
这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程都适合的呢？我们来证明一下
练习1：
利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
典题精讲
分析：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入．
几种常见的求值:
学以致用：
达标测试（5分钟）
课堂测试，检验学习结果1、说出下列各方程的两根之和与两根之积：
2、已知方程的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（B）
A.1B.-1C.2D.-2
3、方程的两根和为4，积为
-3，则a=8，b=—3。
4、设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．
应用提高（5分钟）
能力提升，学有余力的同学可以仔细研究已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答）
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。（用两种方法解答）

体验收获1、一元二次方程根与系数的关系。
布置作业教材48页习题第1、2题。

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2.4一元二次方程根与系数的关系教案新版湘教版

2.4一元二次方程根与系数的关系
课题*2.4一元二次方程根与系数的关系授课人
教
学
目
标知识技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
数学思考通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
问题解决根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．
情感态度通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．
教学重点
根与系数的关系及其推导过程.
教学难点
根与系数的关系的推导过程及其应用．

授课类型新授课课时
教具多媒体

教学活动
教学步骤师生活动设计意图
回顾提出问题：
(多媒体展示问题)
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程有实数根的条件是什么？
3．当Δ0，Δ＝0，Δ0时，一元二次方程的根的情况如何？
4．一元二次方程的求根公式是什么？通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课【课堂引入】
(多媒体展示)
问题：解下表中的方程，并完成填空：
方程x1x2x1＋x2x1·x2
x2－2x－3＝0
x2－3x＋2＝0
x2＋5x＋6＝0
师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.
问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？
学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.
活动
二：
实践
探究
交流新知1.填写上表后思考：
(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？
(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？
已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何证明以上发现的规律呢？
2.教师与学生共同整理证明过程.
证明：当Δ0时，由求根公式得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，
所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；
x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.
当Δ＝0时，x1＝x2＝－b2a，
所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.

归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.
1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.
2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.
3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.
活动
三：
开放
训练
体现
应用【应用举例】
例1(多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x1和x2的和与积．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结．
注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，然后利用根与系数的关系代入求值．
变式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于()
A．－4B．－1C．1D．4
变式二若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，求x1＋x2－x1x2的值.设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．

【拓展提升】
例2解答下列问题：
(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值．
(2)关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值．
例3若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求1x1＋1x2的值．
师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．
拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.
活动
四：
课堂
总结
反思【达标测评】
1．两根均为负数的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．

通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【当堂训练】
1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2．布置作业：
教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．
②[讲授效果反思]
重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问题能方便运算．
③[师生互动反思]
从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.

一元二次方程的根与系数的关系

19.4一元二次方程的根与系数的关系
1.设是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
①；②；③；④.

2.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程的两根的平方.
3.已知一元二次方程的两根分别是，求的值.

4．已知方程的两根之比为，求的值。

5.已知关于x的方程，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1.

6.已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值.

7.已知是关于x的方程的两个实根，k取什么值时，.

8.当k为何值时，一元二次方程的两实根的绝对值相等，求出与k值相应的实数根.

9.已知关于x的方程有两个正实根，求k的取值范围.

10．若矩形的长和宽是方程的两根，求矩形的周长和面积。

11．若方程的两根的绝对值相等，求的值及这个方程的根。

12．已知方程
（1）求证方程必有相异实根
（2）取何值时，方程有两个正根
（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）取何值时，方程有一根为零？

参考答案
1.①；②；③；④；
2.；
3.或；
4．;
5.①；②；③；④1或3；
6.；
7.－3；
8.时，时，时，；
9.（提示：需，两根和大于0，两根积也大于0）.
10．周长，面积6.
11．，
12．（1）（2）（3）（4）

九年级数学上册2.4一元二次方程根与系数的关系（湘教版）

做好教案课件是老师上好课的前提，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写多少教案课件范文呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《九年级数学上册2.4一元二次方程根与系数的关系（湘教版）》，希望对您的工作和生活有所帮助。

*2.4一元二次方程根与系数的关系
1．理解并掌握根与系数关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.
2．会用根的判别式及根与系数的关系解题．
阅读教材P46～47，完成下列问题：
(一)知识探究
当Δ≥0时，设ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.这个关系通常被称为韦达定理．
(二)自学反馈
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)x2－3x－1＝0；(2)2x2＋3x－5＝0；
(3)13x2－2x＝0.
活动1小组讨论
例1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3.
(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.
先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值．
例2已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
解：设另一根为x，由根与系数的关系得－3x＝－92，解得x＝32.
又∵－3＋32＝－k2，解得k＝3.
∴另一根是32，k的值是3.
本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．
活动2跟踪训练
1．两根均为负数的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．
2．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2)(x2－2)＝________.
3．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x＝15；(2)5x2－1＝4x2；
(3)x2－3x＋2＝10;(4)4x2－144＝0；
4．已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求代数式1x1＋1x2的值．
活动3课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
－baca
自学反馈
(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1.(2)x1＋x2＝－32，x1x2＝－52.
(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．C2.－43.(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1.(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8.(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.4.由根与系数的关系得，x1＋x2＝4，x1x2＝2.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝42＝2.

文章来源：//m.jab88.com/j/56973.html

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