做好教案课件是老师上好课的前提，大家应该在准备教案课件了。教案课件工作计划写好了之后，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！哪些范文是适合教案课件？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2.4一元二次方程根与系数的关系教案新版湘教版》，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

2.4一元二次方程根与系数的关系
课题*2.4一元二次方程根与系数的关系授课人
教
学
目
标知识技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
数学思考通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
问题解决根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．
情感态度通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．
教学重点
根与系数的关系及其推导过程.
教学难点
根与系数的关系的推导过程及其应用．

授课类型新授课课时
教具多媒体

教学活动
教学步骤师生活动设计意图
回顾提出问题：
(多媒体展示问题)
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程有实数根的条件是什么？
3．当Δ0，Δ＝0，Δ0时，一元二次方程的根的情况如何？
4．一元二次方程的求根公式是什么？通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课【课堂引入】
(多媒体展示)
问题：解下表中的方程，并完成填空：
方程x1x2x1＋x2x1·x2
x2－2x－3＝0
x2－3x＋2＝0
x2＋5x＋6＝0
师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.
问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？
学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.
活动
二：
实践
探究
交流新知1.填写上表后思考：
(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？
(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？
已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何证明以上发现的规律呢？
2.教师与学生共同整理证明过程.
证明：当Δ0时，由求根公式得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，
所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；
x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.
当Δ＝0时，x1＝x2＝－b2a，
所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.

归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.
1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.
2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.
3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.
活动
三：
开放
训练
体现
应用【应用举例】
例1(多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x1和x2的和与积．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结．
注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，然后利用根与系数的关系代入求值．
变式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于()
A．－4B．－1C．1D．4
变式二若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，求x1＋x2－x1x2的值.设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．

【拓展提升】
例2解答下列问题：
(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值．
(2)关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值．
例3若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求1x1＋1x2的值．
师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．
拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.
活动
四：
课堂
总结
反思【达标测评】
1．两根均为负数的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．

通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【当堂训练】
1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2．布置作业：
教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．
②[讲授效果反思]
重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问题能方便运算．
③[师生互动反思]
从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.
M.jab88.COm

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一元二次方程的根与系数的关系

19.4一元二次方程的根与系数的关系
1.设是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
①；②；③；④.

2.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程的两根的平方.
3.已知一元二次方程的两根分别是，求的值.

4．已知方程的两根之比为，求的值。

5.已知关于x的方程，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1.

6.已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值.

7.已知是关于x的方程的两个实根，k取什么值时，.

8.当k为何值时，一元二次方程的两实根的绝对值相等，求出与k值相应的实数根.

9.已知关于x的方程有两个正实根，求k的取值范围.

10．若矩形的长和宽是方程的两根，求矩形的周长和面积。

11．若方程的两根的绝对值相等，求的值及这个方程的根。

12．已知方程
（1）求证方程必有相异实根
（2）取何值时，方程有两个正根
（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）取何值时，方程有一根为零？

参考答案
1.①；②；③；④；
2.；
3.或；
4．;
5.①；②；③；④1或3；
6.；
7.－3；
8.时，时，时，；
9.（提示：需，两根和大于0，两根积也大于0）.
10．周长，面积6.
11．，
12．（1）（2）（3）（4）

一元二次方程根与系数的关系（1）导学案（新版新人教版）

做好教案课件是老师上好课的前提，是时候写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！有没有好的范文是适合教案课件？下面是由小编为大家整理的“一元二次方程根与系数的关系（1）导学案（新版新人教版）”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

第6课时一元二次方程根与系数的关系（1）教版
一、学习目标掌握一元二次方程根与系数的关系；
能运用一元二次方程根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；
会求一元二次方程两根的倒数和与平方数、两根之差．
二、知识回顾1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为（）．
2．解一元二次方程的方法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法．
3．一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
三、新知讲解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么，．此定理又叫做韦达定理．
在使用根与系数的关系时，应注意：
不是一般式的要先化成一般式；
在使用时，注意“-”不要漏写；
能用韦达定理的前提条件是.
一元二次方程根的分布
对于一元二次方程根的分布的讨论，通常有以下几种情况：
有两个正根的条件：
（当a0时，简化为）；
有两个负根的条件：
（当a0时，简化为）；
两根异号的条件：
（当a0时，简化为c0）；
两根异号，且正根绝对值大的条件：
（当a0时，简化为）；
两根异号，且负根绝对值大的条件：
（当a0时，简化为）．
四、典例探究

1．不解方程求两个根之和与积
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积．

总结：在使用根与系数的关系时，应注意：
不是一般式的要先化成一般式；
前提条件是；
在使用时，注意“-”不要漏掉．
练1．（2014碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）
A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和
2．已知一元二次方程的两根求系数
【例2】（2014春富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．

总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．
练2．（2015枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2

3．已知一元二次方程的一个根求另一个根
【例3】（2015北塘区二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．
总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：
把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；
（2）根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．
练3．（2014秋秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根，求另一个根及c的值．

4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负
【例4】（2008南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（）
A．同号B．异号C．两根都为正D．两根都为负
总结：
不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；
首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；
如果判别式大于0，则计算的值，如果，可判断方程的根为一正一负；如果，再计算的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负．
练4．（2014秋夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（）
A．同号B．异号C．两根都为正D．不能确定
五、课后小测一、选择题
1．（2015溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
2．（2015金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
3．（2014浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）
A．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1x2=1
C．x1+x2=3，x1x2=﹣1D．x1+x2=3，x1x2=1
4．（2015衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
5．（2015广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
6．（2015平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）
A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1
7．（2015东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）
A．2B．3C．4D．8
8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（）
A．无解B．有两正根
C．有两负根D．有一正根及一负根
二、填空题
9．（2015滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为．
10．（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．
11．（2015春遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=，m+n=．
三、解答题
12．（2015东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1x2=q．

13．（2014秋番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

14．（2013防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．

典例探究答案：
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两个根的和与积．
分析：先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．
解答：解：设x1，x2是方程的两实数根，
方程化为一般式为3x2+4x+1=0，
根据题意得，x1+x2=﹣，x1x2=．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
练1．（2014碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）
A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和
分析：根据根与系数关系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2．x1+x2=；x1x2=即可．
解答：解：已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，
根据根与系数的关系：x1+x2==3；x1x2==．
故选D．
点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
【例2】（2014春富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．
分析：根据根与系数的关系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解两个方程即可．
解答：解：根据题意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，
所以p=﹣3，q=0．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．
练2．（2015枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2
分析：根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故选A．
点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．
【例3】（2015北塘区二模）已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．
分析：设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．
解答：解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t=6，
解得t=4．
故答案为4．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．
练3．（2014秋秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根，求另一个根及c的值．
分析：设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．
解答：解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+2﹣=4，x1（2﹣）=c，
∴x1=2+，
∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．
【例4】（2008南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（）
A．同号B．异号C．两根都为正D．两根都为负
分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析．
解答：解：设方程的两根是a，b，根据一元二次方程根与系数的关系，得
a+b=＞0，ab=﹣＜0，
根据两数的积为负数，则两数必异号，则a，b异号．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号．
练4．（2014秋夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（）
A．同号B．异号C．两根都为正D．不能确定
分析：首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=﹣＜0可知两根异号．
解答：解：∵ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0），
∴△=b2+4ac＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2，
∵x1x2=﹣＜0，
∴两根异号．
故选B．
点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．同时考查了根的判别式．
课后小测答案：
一、选择题
1．（2015溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
解：根据题意得x1+x2=﹣=．
故选D．
2．（2015金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
解：x1x2=﹣3．
故选D．
3．（2014浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）
A．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1x2=1
C．x1+x2=3，x1x2=﹣1D．x1+x2=3，x1x2=1
解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1．
故选A．
4．（2015衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
5．（2015广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故选：A．
6．（2015平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）
A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1
解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
当x2=1时，x1=﹣2，p=1；
当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．
故选C．
7．（2015东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）
A．2B．3C．4D．8
解：设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t，
由根与系数的关系得出：t+2=6，
则t=4．
故选：C．
8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（）
A．无解B．有两正根
C．有两负根D．有一正根及一负根
解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，
又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1x2==﹣＜0，
所以有一正根及一负根．
故选D．
二、填空题
9．（2015滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为5．
解：∵方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，
故答案为：5．
10．（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是﹣4．
解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
11．（2015春遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=2，m+n=4．
解：∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的两个根，
∴m+n=4，mn=2．
故答案为：2，4．
三、解答题
12．（2015东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1x2=q．
证明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1x2=.=q．
13．（2014秋番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
解：设方程另一根为x2，
由题意得2x2=﹣6，解得x2=﹣3，
∵2+（﹣3）=k，
∴k=﹣1．
即它的另一个根为﹣3，k的值为﹣1．
14．（2013防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，
∴，
解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．

一元二次方程根与系数的关系（2）导学案（新版新人教版）

第7课时一元二次方程根与系数的关系（2）
一、学习目标1．已知一元二次方程两根的关系求参数的取值范围；
2．已知一元二次方程两根的关系会求参数；
3．会求含有一元二次方程两根的代数式的值.
二、知识回顾1．一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
（）
3.判别式与一元二次方程根的情况：
是一元二次方程的根的判别式，设，则
（1）当时，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；
（3）当时，原方程没有实数根.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2与系数a,b,c的关系是什么？
，
三、新知讲解几种常见的求值：
1.

四、典例探究

1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围
【例1】已知关于x的方程设方程的两个根为x1,x2，若求k的取值范围.

总结：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则有．这是著名的韦达定理.
已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.
练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x1x2﹣x12﹣x22≥0，求k的取值范围.

【例2】（2015丹江口市一模）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．

总结：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△的关系如下：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两实数根x1，x2又有如下关系：，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数.
3.注意使用的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0.
练2（2015广水市模拟）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1、x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为负整数，求出m的值，并解出方程的根．

3．根据一元二次方程求含两根的代数式的值
【例3】（2015大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．

总结：
在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.
注意中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混.
如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
练3（2015合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.

五、课后小测一、选择题
1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是
－2B.2C.5D.6
2.（2011湖北荆州，9，3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是
A．1B．－1C．1或－1D．2
3.（2013四川泸州）设是方程的两个实数根，则的值为（）
A．5B．－5C．1D．－1
二、填空题
4．（2015泸州）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为________．
5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是．
6.（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=___________．
三、解答题
7．（2015梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
8.已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值.

9．（2015南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）

10．（2015华师一附中自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．

11．（2015孝感校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．

12．（2014广东模拟）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x1+x2=2（k﹣1），；
（3）求（x1﹣1）（x2﹣1）的最小值．

13.（2010黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m的取值范围．

14.（2015黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．
典例探究答案：
【例1】分析：先考虑判别式0，根据题意得，这说明k取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x1+x2=3k，x1x2=-6，代入即可求得k的取值范围.
解：根据题意，得，
所以k为任意实数，方程都有两个不相等的实数根.
∵x1+x2=3k，x1x2=-6，且，
∴，解得k-1.
综上，k的取值范围是k-1.
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.
练1．【解析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，变形后代入即可得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22≥0成立，
∴x1x2﹣（x12+x22）≥0，即x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]≥0，
∴k2+2k﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0，
∴k≤﹣或k≥1.
点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k的不等式．
【例2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2﹣4（m2﹣3）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，代入（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，计算即可求解．
解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
解得m≥﹣2；
（2）当m≥﹣2时，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3．
则（x1﹣x2）2﹣x1x2=（x1+x2）2﹣5x1x2=[2（m+1）]2﹣5（m2﹣3）=26，
即m2﹣8m+7=0，
解得m1=1＞﹣2，m2=7＞﹣2，
所以m1=1，m2=7．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
练2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，然后解不等式；
（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=1，x1x2=，把7+4x1x2＞x12+x22变形得7+6x1x2＞（x1+x2）2，所以7+6×＞1，解得m＞﹣3，于是得到m的取值范围﹣3＜m≤﹣，由于m为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m的值分别代入原方程，再解方程．
解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，
解得m≤﹣；
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=，
∵7+4x1x2＞x12+x22，
∴7+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴7+6×＞1，解得m＞﹣3，
∴﹣3＜m≤﹣，
∵m为负整数，
∴m=﹣2或m=﹣1，
当m=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；
当m=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．
点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．
解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴+===﹣3．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
练3．【解析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解：（1）△=4+4k，
∵方程有两个不等实根，
∴△＞0，即4+4k＞0
∴k＞﹣1
（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，
αβ=﹣k，
∴=，
点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
课后小测答案：
一、选择题
1.B
2.B
3.【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则
原式＝＝＝－5．
故选B．
点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．
二、填空题
4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，
故答案为：27．
点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
5.【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．
故答案为：1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
6.【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．
解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
故答案为：2026．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
三、解答题
7．【解析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m的方程，从而得到m的值，但前提条件是方程得有实数根.
解：原方程可变形为：.
∵、是方程的两个根，
∴△≥0,即：4（m+1）2-4m2≥0,∴8m+4≥0,m≥.
又、满足,∴=或=-,即△=0或+=0,
由△=0,即8m+4=0,得m=.
由+=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去)
所以,当时，m的值为.
点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值.
9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要是方程有整数解，那么x1x2=4﹣p2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．
解；（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x1x2=4﹣p2为整数即可，
∴当p=0，±1时，方程有整数解．
点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
10．【解析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；
（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．
解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式=﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．
11．【解析】由x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，可得x1+x2=﹣，x1x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，又由﹣x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值．
解：存在．
∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，
∴a＞0，
∵﹣x1+x1x2=4+x2，
∴x1x2=4+x2+x1，
即=4﹣，
解得：a=24．
点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，然后解不等式即可；
（2）利用求根公式得到x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣，然后分别计算x1+x2，x1x2的值即可；
（3）利用（2）中的结论得到（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．
（1）解：依题意得△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，
解得k≤；
（2）证明：∵△=4﹣8k，
∴x=，
∴x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣
∴x1+x2=k﹣1++k﹣1﹣=2（k﹣1）；
x1x2=（k﹣1+）（k﹣1﹣）=（k﹣1）2﹣（）2=k2；
（3）解：（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1=（k﹣1）2+2，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+2≥2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）的最小值为2．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．
13.【解析】由于方程x2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．
解：根据题意可得
△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，
解得m≤﹣1，
而x1+x2=2，x1x2=m+2，
①当m≤﹣2时，x1、x2异号，
设x1为正，x2为负时，x1x2=m+2≤0，
|x1|+|x2|=x1﹣x2==≤3，
∴m≥﹣，而m≤﹣2，
∴﹣≤m≤﹣2；
②当﹣2＜m≤﹣1时，x1、x2同号，而x1+x2=2，
∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3，
符合题意，m的取值范围为﹣2＜m≤﹣1．
故m的取值范围为：﹣≤m≤﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．
14.【解析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．
解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．
∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，
∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，
设x1，x2是此方程的两个根，
∴x1x2==，
∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
∴m=2；
（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0
当a=b时，
当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．
①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2
故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．
②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．
S△ABC=×（2）×=

综上，△ABC的面积为1或．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．

文章来源：http://m.jab88.com/j/70578.html

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